第二章控制系统的数学描述方法.

第二章控制系统的数学描述方法本章主要内容与重点控制系统的时域数学模型控制系统的微分方程非线性微分方程的线性化拉氏变换及其应用传递函数动态结构图一般反馈控制系统相似原理本章主要内容本章重点本章介绍了建立控制系统数学模型和简化的相关知识。包括线性定常系统微分方程的建立、非线性系统的线性化方法、传递函数概念与应用、方框图及其等效变换、梅逊公式的应用等。通过本章学习，应着重了解控制系统数学模型的基本知识，熟练掌握建立线性定常系统微分方程的建立、传递函数的概念和应用知识、控制系统方框图的构成和等效变换方法、典型闭环控制系统的传递函数的基本概念和梅逊公式的应用。2-1控制系统的时域数学模型在讨论控制系统的分析和设计时，首先要采用适当的描述方法来描述它。常用的方法是数学描述，即数学模型。1、何为控制系统的数学模型?控制系统的数学模型是描述系统内部物理量（或变量）之间的数学表达式。数学模型具有简捷、方便、通用等许多优点，因而得到了广泛的应用。2、静态（数学）模型和动态（数学)模型在静态条件下（即变量各阶导数为零），描述变量之间关系的代数方程(组)叫静态（数学）模型。描述变量各阶导数之间关系的微分方程(组)叫动态（数学）模型。3、控制系统运动的描述控制系统的运动，就是对系统施加控制（即输入控制信号）,从而得到系统输出量（即受控量）随时间的变化规律（即输出响应信号）。由于一般物理系统可以表现为描述其因果关系的微分方程。因此，控制系统运动的数学描述，就是在给定输入信号和初始条件下，求解微分方程而得到的微分方程的解。4、建立数学模型的方法解析法－依据描述系统运动规律的运动定律来得到微分方程的方法。实验法－基于系统输入输出的实验数据来建立数学模型的方法。5、数学模型的形式时域模型：微分方程、差分方程和状态方程。复域模型：传递函数、结构图频域模型：频率特性6、本章涉及的数学模型用解析法描述的SISO线性定常系统的微分方程、传递函数和动态结构图。2－2控制系统的微分方程1、控制系统运动规律的微分方程或者)()()()()()()()(01)1(1)(01)1(1)(tubtubtubtubtyatyatyatymmmmnnnmnmnatubtyanjjmjiini,1),()()(0)(0就是采用线性常系数微分方程来描述的控制系统的运动规律（即系统为线性定常系统）。2、线性定常系统的特征（1）线性可加性如果x1(t)y1(t)x2(t)y2(t)则a·x1(t)+b·x2(t)a·y1(t)+b·y2(t)(2)参数定常性系统参数或元件均为常数(对应于上式中各参数ai,bj均为常数)。3、建模出发点根据物理系统的运动规律列写微分方程。理想元件的微分方程描述2－2－1电学系统建模约束1、元件约束电阻R、电容C和电感L，它们的V-I关系必须遵循广义欧姆定律。)()(tiRtuRRttiCtuCCd)(1)(ttiLtuLLd)(d)(2、网络约束电网络的基本约束为基尔霍夫的两个定律。（1）基尔霍夫电压定律（2）基尔霍夫电流定律)()(tutuie(关联参考方向)0)(ti例2-1(P13)写出以ui为输入，u0为输出的微分方程。解：由回路电压定律有即)()(tutuie)()()(tututuiCR)()()(tututRiiC将)()(,d)(d)(tututtuCtiCoC代入上式,有)()(d)(dtututtuRCiooRCT令时间常数)()(d)(dtututtuTioo则有可简写为ioouuuT例2-2(P14)写出以ui为输入，u0为输出的微分方程。iCRuuu11对于回路L1，有解：0221CRCuuu对于回路L2，有222111iRuiRuRRoCCutiCutiiCud1d)(12222111元件约束为iooouutuCRCRCRtuCRCRdd)(dd212211222211化简，可得设时间常数213222111,,CRTCRTCRTiooouuuTTTuTT)(32121可简写为2-1-2力学系统基本约束----牛顿定律1、机械平移运动例2-3（P15）列出以Fi为输入，x为输出的运动方程。22ddtxmFma由加速度定律解：ifkFFFF和力为k-弹性系数；f-阻尼系数；m-物体质量kxFk其中弹性阻力粘滞阻力txfFfdd代入方程有iFtxfkxtxmdddd22整理得iFkxtxftxmdddd222、机械旋转运动例2-4(P15)列出系统运动方程。解：MtJdd由角加速度方程其中，J--转动惯量，ω--旋转角速度，ΣM--和力矩，得fMftJdd其中，Mf--作用力矩；fω--阻力力矩，其大小与转速成正比，负号表示方向与作用力矩方向相反。整理后，得fMftJddtdd如果以转角θ为输出变量，因为将它代入方程，得fMtftJdddd222-1-3复合系统例2-5（P16)已知直流电动机，定子与转子的电磁关系如图2-6所示，机电系统原理如图2-7所示，试写出其运动方程。解：这是一个复合系统。依次写出各平衡方程如下。1.电网络平衡方程aaaaaaUEIRtILdd2.电动势平衡方程eakE3.机械平衡方程LaaMMtJdd4.转矩平衡方程acaIkM联立上述四个方程，略去ML，并消去中间变量Ia、Ea、Ma，得到输入为电枢电压Ua,输出为转轴角速度的二阶微分方程aecaacaaUktkRJtkLJdddd22aecaaUktkRJdd当La很小时，将其略去，得到一阶微分方程控制系统微分方程的列写步骤：（1）根据组成系统各子系统的工作原理及其在控制系统中的作用，确立各自的输入量与输出量。（2）列出各子系统满足的输入－输出关系的微分方程组（输入、输出变量总数比方程个数大1）。（3）消去中间变量，得到系统输出量与输入量之间关系的微分方程（即系统的数学模型）。一般情况下，应将微分方程写成标准形式，即与输入量有关的项写在方程的右端，与输出量有关的项写在方程的左端，方程两端变量的导数项均按求导阶次的降幂排列。线性、定常、集总参数控制系统的微分方程线性元件的微分方程电气元件组成的系统（电路系统）列写系统运动方程前，要先确定输入变量、输出变量LCRCuru)()()()(22tutudttduRCdttudLCrCCC机电系统微分方程：电枢电压控制直流电动机SM负载mJaEaRmauaLmfaiCMdttiCtututRidttiCdttdiLCr)(1)(),()()(1)(电枢回路电压平衡方程)()()()(tutEtiRdttdiLaaaaaa电磁转矩方程)(tiCMamm电动机轴上转矩平衡方程)()()(tMMtfdttdJCmmmmm若以角速度为输出量、电枢电压为输入量，消去中间变量，直流电动机的微分方程为mau)()()()()()()()(22tMRdttdMLtuCtCCfRdttdJRfLdttdJLCaCaammemmammamamma)()()()()()(22tMCCfRRdttdMCCfRLtuCCfRCtdttdCCfRJRfLdttdCCfRJLCemmaaCemmaaaemmammmemmamamamemmama)()()()()()()(23122tMKdttdMKtuKtdttdTCCfRfRTdttdTTCCammmemmamaLmmL,,)(,)()(,)(321aaLemmaaemmaaemmamemmamamRLTCCfRLKCCfRRKCCfRCKCCfRJRT当电枢回路的电感可以忽略不计)()()()(21tMKtuKtdttdTCammm)()(,)(21emmaaemmamemmamamCCfRRKCCfRCKCCfRJRT若电枢回路电阻和电动机的转动惯量都很小，可忽略不计，则上式可进一步简化)(1)(tuCtaem弹簧-质量-阻尼器（S-M-D）机械位移系统求质量m在外力F的作用下，质量m的位移x的运动。设系统已处于平衡状态，相对于初始状态的位移、速度、加速度)()()()()()()(2122tKxdttdxftFtFtFtFdttxdmk)(tFfm)(tx齿轮系的运动方程J1J2mM,111,MZ22,MZ1f2f2CM基本关系式22112211,rrMM2121zzrr22111212,MzzMzz齿轮1和齿轮2的运动方程221221211111MMfdtdJMMfdtdJCm（1）以齿轮1的角速度为输出，外部为输入mM1mMMzzfdtdJ2211111212121212MMzzfdtdzzJCCmMzzMfzzfdtdJzzJ21122211122211CmMMfdtdJ11CCMzzM12'22121JzzJJ22121fzzffmMfdtdJ1111（2）以齿轮2的角速度为输出，外部为输入mM2CmMMzzfzzfdtdJzzJ12212122212122控制系统微分方程的建立基本步骤：（1）由系统原理图画出系统方框图或直接确定系统中各个基本部件（元件）（2）列写各方框图的输入输出之间的微分方程，要注意前后连接的两个元件中，后级元件对前级元件的负载效应（3）消去中间变量速度控制系统的微分方程-k2SM负载-k1TGgufu1u2uau1R2RC2R1Rm系统输出系统输入参考量gu控制系统的主要部件（元件）：给定电位器、运放1、运放2、功率放大器、直流电动机、减速器、测速发电机12211122,,)(RRKCRudtduKu23uKuaCCammmmMKuKdtdT运放1运放2功放直流电动机121111,)(RRKuKuuKuefgmi1减速器（齿轮系）测速发电机ttKu消去中间变量matuuuu21)()(321321tmtmmmKKKKKiKKKKKiTT)(321321tmmgKKKKKiKKKKK)(321321tmmgKKKKKiKKKKK)()()()(22tutudttduRCdttudLCrCCC)()()()(22tFtKxdttdxfdttxdmCCggggmMKuKdtduKdtdT)(321tmCCKKKKKiKK*比较R-L-C电路运动方程与M-S-D机械系统运动方程相似系统：揭示了不同物理现象之间的相似关系线性系统的性质：具有可叠加性、均匀性（齐次性）线性定常微分方程求解方法直接求解法：通解+特解自由解+强迫解（零输入响应+零状态响应）变换域求解法：Laplace变换方法2-3非线性微分方程的线性化1、从严格意义上讲，绝大多数控制系统的数学模型都不是线性模型（即系统并非是线性系统），不能用（2－1）式或（2－2）式表示。事实上，任何一个元件总是存在一定程度的非线性。即使假设具有线性的特性，也是局限在一定的范围内。)()()()()()()()(01)1(1)(01)1(1)(tubtubtubtubtyatyatyatymmmmnnnmnmnatubtyanjjmjiini,1),()()(0)(0例：图2