第二章小结

第二章线性方程组的解法--------学习小结一、本章学习体会本章主要介绍有关线性方程组的不同解法：直接方法和迭代方法。1.首先介绍一下直接法：直接法的特点就是如果在计算没有舍入误差的情况下，我们可以通过有限次的运算求得方程组的精确解。我们本科时候就接触过直接法的一种，即克莱姆法则。但是当用其求解一个n（n较大）元线性方程组，其运算量非常大，这时克莱姆法则就是一个效率低、经济性差的算法。这里我们要学习的直接法是Gauss消去法和直接三角分解法。⑴Gauss消去法它有两个过程组成：消元和回代。经过有限次的初等行变换，使系数矩阵变换为上三角矩阵，先求解nx，然后回代依次求出.,,,21xxxnn而Gauss消去法又可以分为顺序Gauss消去法和列主元Gauss消去法。⑵直接三角分解法可分为Doolittle分解法、Crout分解法和选主元的Doolittle分解法。2.迭代法：迭代法求解线性方程组的就是构造一个无限的向量序列，首先对其赋初始值，然后根据向量序列进行有限次的算术迭代，使它的极限是方程组的精确解。所以凡是迭代法都存在收敛性和精度控制的问题。迭代法可分为Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法和逐次超松弛迭代法。⑴Jacobi迭代法：迭代公式bDxULDxkk1)(1)1()(，迭代矩阵)(1ULDGJ;⑵Gauss-Seidel迭代法:迭代公式bLDUxLDxkk1)(1)1()()(，迭代矩阵ULDGG1)(;⑶逐次超松弛迭代法:迭代公式:bLDxUDLDxkk1)(1)1()1(])11[()1(迭代矩阵])11[()1(1UDLDGS.我们主要学习的是迭代法，因为工程中的许多问题都很难找到精确解，我们只有去求得符合工程要求精度的近似解来代替精确解以解决工程问题。但是难点就在这里，我们需要做好多尝试去寻找不同的符合工程精度要求的迭代公式，并通过计算确定其迭代矩阵的收敛性。所以找到适当的迭代算法是个难点。二、本章知识梳理三、本章思考题1.对于1时的逐次超松弛法是否可以取代Gauss-Seidel迭代法？如果可以Gauss-Seidel迭代法还有没有存在的价值？2.相较于Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法，超松弛迭代法的优势在哪儿？需要通过试算的方法寻找较好的松弛因子，是否会使超松线性方程组的解法Gauss消去顺序高斯消去列主元高斯消去直接三角分解Doolittle分解Crout分解选主元Doolittle追赶法解三对角线性方程组迭代法Jacobi迭代法超松弛迭代法GS迭代法矩阵条件数和病态线性方程组矩阵条件数病态线性方程组迭代公式dDxDLDxkk1)(1)1()(迭代矩阵)(1DLDGJ迭代公式bLDUxLDxkk1)(1)1()()(迭代矩阵ULDGG1)(bLDxUDLDxkk1)(1)1()1(])11[()1(])11[()1(1LDLDGS弛迭代法变得更加麻烦、复杂？四、本章测验题试由系数矩阵A直接判定Gauss-Seidel迭代法求解方程组Ax=b收敛与否，其中520221011A解：由题可知：2.02.02.005.05.0001)(020521001000200010,020001000,5000200011LDLDULD知：GG的特征值0,1.0321所以有：11.0)(GG,所以GG法必收敛。