第二章波函数和薛定谔方程

第二章波函数和薛定谔方程§2.1波函数的统计解释§2.2态叠加原理§2.3薛定谔方程§2.4粒子流密度和粒子数守恒定律§2.5定态薛定谔方程§2.6一维无限深势阱§2.7线性谐振子●§2.8势垒贯穿本章主要介绍了波函数的统计解释、薛定谔方程的建立过程、用定态薛定方程处理势阱问题和线性谐振子问题。§2.1波函数的统计解释（一）波函数（二）波函数的解释（三）波函数的性质)(expEtrpiA•3个问题？描写自由粒子的平面波),(tr•如果粒子处于随时间和位置变化的力场中运动，他的动量和能量不再是常量（或不同时为常量）粒子的状态就不能用平面波描写，而必须用较复杂的波描写，一般记为：描写粒子状态的波函数，它通常是一个复函数。称为deBroglie波。此式称为自由粒子的波函数。(1)是怎样描述粒子的状态呢？(2)如何体现波粒二象性的？(3)描写的是什么样的波呢？（一）波函数电子源感光屏（1）两种错误的看法1.波由粒子组成如水波，声波，由分子密度疏密变化而形成的一种分布。这种看法是与实验矛盾的，它不能解释长时间单个电子衍射实验。电子一个一个的通过小孔，但只要时间足够长，底片上增加呈现出衍射花纹。这说明电子的波动性并不是许多电子在空间聚集在一起时才有的现象，单个电子就具有波动性。波由粒子组成的看法夸大了粒子性的一面，而抹杀了粒子的波动性的一面，具有片面性。PPOQQO事实上，正是由于单个电子具有波动性，才能理解氢原子（只含一个电子！）中电子运动的稳定性以及能量量子化这样一些量子现象。2.粒子由波组成电子是波包。把电子波看成是电子的某种实际结构，是三维空间中连续分布的某种物质波包。因此呈现出干涉和衍射等波动现象。波包的大小即电子的大小，波包的群速度即电子的运动速度。什么是波包？波包是各种波数（长）平面波的迭加。平面波描写自由粒子，其特点是充满整个空间，这是因为平面波振幅与位置无关。如果粒子由波组成，那么自由粒子将充满整个空间，这是没有意义的，与实验事实相矛盾。实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。例如在一个原子内，其广延不会超过原子大小≈1Å。电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？“电子既不只是粒子也不只是波”，但是我们也可以说，“电子既是粒子也是波，它是粒子和波动二重性矛盾的统一。”经典概念中1.有一定质量、电荷等“颗粒性”的属性;粒子意味着2．有确定的运动轨道，每一时刻有一定位置和速度。1.入射电子流强度小，开始显示电子的微粒性，长时间亦显示衍射图样;电子源感光屏QQOPP我们再看一下电子的衍射实验2.入射电子流强度大，很快显示衍射图样.结论：衍射实验所揭示的电子的波动性是：许多电子在同一个实验中的统计结果，或者是一个电子在许多次相同实验中的统计结果。波函数正是为了描述粒子的这种行为而引进的，在此基础上，Born(玻恩)提出了波函数意义的统计解释。r点附近衍射花样的强度正比于该点附近感光点的数目，正比于该点附近出现的电子数目，正比于电子出现在r点附近的几率。在电子衍射实验中，照相底片上据此，描写粒子的波可以认为是几率波，反映微观客体运动的一种统计规律性，波函数Ψ(r)有时也称为几率幅。这就是首先由Born提出的波函数的几率解释，它是量子力学的基本原理。假设衍射波波幅用Ψ(r)描述，与光学相似，衍射花纹的强度则用|Ψ(r)|2描述。|Ψ(r)|2的意义是代表电子出现在r点附近几率的大小确切的说，|Ψ(r)|2ΔxΔyΔz表示在r点处，体积元ΔxΔyΔz中找到粒子的几率。波函数在空间某点的强度（振幅绝对值的平方）和在这点找到粒子的几率成比例，（三）波函数的性质•在t时刻，r点，dτ=dxdydz体积内，找到由波函数Ψ(r,t)描写的粒子的几率是：dW(r,t)=C|Ψ(r,t)|2dτ，其中，C是比例系数。根据波函数的几率解释，波函数有如下重要性质：（1）几率和几率密度在t时刻r点，单位体积内找到粒子的几率是：ω(r,t)={dW(r,t)/dτ}=C|Ψ(r,t)|2称为几率密度。在体积V内，t时刻找到粒子的几率为：W(t)=∫VdW=∫Vω(r,t)dτ=C∫V|Ψ(r,t)|2dτ（2）平方可积由于粒子在空间总要出现（不讨论粒子产生和湮灭情况），所以在全空间找到粒子的几率应为一，即：C∫∞|Ψ(r,t)|2dτ=1,从而得常数C之值为：C=1/∫∞|Ψ(r,t)|2dτ这即是要求描写粒子量子状态的波函数Ψ必须是绝对值平方可积的函数。若∫∞|Ψ(r,t)|2dτ∞,则C0,这是没有意义的。)(exp),(EtrpiAtr注意：自由粒子波函数•不满足这一要求。关于自由粒子波函数如何归一化问题，以后再予以讨论。（3）归一化波函数Ψ(r,t)和CΨ(r,t)所描写状态的相对几率是相同的，这里的C是常数。因为在t时刻，空间任意两点r1和r2处找到粒子的相对几率之比是：由于粒子在全空间出现的几率等于一，所以粒子在空间各点出现的几率只取决于波函数在空间各点强度的相对比例，而不取决于强度的绝对大小，因而，将波函数乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变，即Ψ(r,t)和CΨ(r,t)描述同一状态221221),(),(),(),(trtrtrCtrC可见，Ψ(r,t)和CΨ(r,t)描述的是同一几率波，所以波函数有一常数因子不定性。归一化常数若Ψ(r,t)没有归一化，∫∞|Ψ(r,t)|2dτ=A（A是大于零的常数），则有∫∞|(A)-1/2Ψ(r,t)|2dτ=1也就是说，(A)-1/2Ψ(r,t)是归一化的波函数，与Ψ(r,t)描写同一几率波，(A)-1/2称为归一化因子。注意：对归一化波函数仍有一个模为一的因子不定性。若Ψ(r,t)是归一化波函数，那末，exp(iα)Ψ(r,t)也是归一化波函数（其中α是实数），与前者描述同一几率波。作业补充题波函数是否等价？两种情况，得到的两个取、对是否等价？和、波函数请问：已知下列两个波函数：2)()()(,3,2,1||0||)(2sin)(,3,2,1||0||)(2sin)()2(12121nxIIxxInaxaxaxanAxnaxaxaxanAx.)24(,3,,,,)1(/26/)2(5/24/33/22/211xixixixixixieieeeee描写同一状态？些与请问下列波函数中，哪§2.2态叠加原理•（一）态叠加原理（二）动量空间（表象）的波函数（一）态叠加原理微观粒子具有波动性，会产生衍射图样。而干涉和衍射的本质在于波的叠加性，即可相加性，两个相加波的干涉的结果产生衍射。因此，同光学中波的叠加原理一样，量子力学中也存在波叠加原理。因为量子力学中的波，即波函数决定体系的状态，称波函数为状态波函数，所以量子力学的波叠加原理称为态叠加原理。考虑电子双缝衍射Ψ=C1Ψ1+C2Ψ2也是电子的可能状态。空间找到电子的几率则是：|Ψ|2=|C1Ψ1+C2Ψ2|2=(C1*Ψ1*+C2*Ψ2*)(C1Ψ1+C2Ψ2)=|C1Ψ1|2+|C2Ψ2|2+[C1*C2Ψ1*Ψ2+C1C2*Ψ1Ψ2*]PΨ1Ψ2ΨS1S2电子源感光屏电子穿过狭缝１出现在Ｐ点的几率密度电子穿过狭缝２出现在Ｐ点的几率密度相干项正是由于相干项的出现，才产生了衍射花纹。一个电子有Ψ1和Ψ2两种可能的状态，Ψ是这两种状态的叠加。•其中C1和C2是复常数，这就是量子力学的态叠加原理。态叠加原理一般表述：若Ψ1，Ψ2,...,Ψn,...是体系的一系列可能的状态，则这些态的线性叠加Ψ=C1Ψ1+C2Ψ2+...+CnΨn+...(其中C1,C2,...,Cn,...为复常数)。也是体系的一个可能状态。处于Ψ态的体系，部分的处于Ψ1态，部分的处于Ψ2态...，部分的处于Ψn，...一般情况下，如果Ψ1和Ψ2是体系的可能状态，那末它们的线性叠加Ψ=C1Ψ1+C2Ψ2也是该体系的一个可能状态.)(expEtrpiAp了求和。所以后式应用积分代替是连续变化的，由于其中，pdpdpdppdpdtrpctrtrpctrzyxppp),()(),(),()(),(例：电子在晶体表面反射后，电子可能以各种不同的动量p运动。具有确定动量的运动状态用deBroglie平面波表示根据叠加原理，在晶体表面反射后，电子的状态Ψ可表示成p取各种可能值的平面波的线性叠加，即而衍射图样正是这些平面波叠加干涉的结果。dΨΨp（二）动量、空间（表象）的波函数Ψ(r,t)是以坐标r为自变量的波函数，坐标空间波函数，坐标表象波函数；C(p,t)是以动量p为自变量的波函数，动量空间波函数，动量表象波函数；二者描写同一量子状态。]exp[21)(2/3rpirp）（波函数Ψ(r,t)可用各种不同动量的平面波的叠加，下面我们给出简单证明。rdtrrtpcp),()(),(。态的两种不同描述方式一一对应，是同一量子与所以的。变换式，故而总是成立显然，二式互为),(),(tpctrFourier展开系数pdrtpctrp)(),(),(令则Ψ可按Фp展开dxdydzrpitr]exp[),(212/3）（zyxdpdpdprpitpc]exp[),()2(12/3若Ψ(r,t)已归一化，则C(p,t)也是归一化的pdtpctpcpdtpc),(),(|),(|2证明：pdrdrtrrdrtrpp]')'(),'(][)(),([pdrrrdrdtrtrpp)'()('),'(),()'('),'(),(rrrdrdtrtr1),(),(rdtrtr函数的目的。平面波归一化为由此我们也可以看出把关系式其中使用了)'()'()(rrpdrrpprdtrrtpcp),()(),(体积元内的几率；点附近时刻粒子出现在rdrtrdtrtrdW2|),(|),(具有类似的物理含义与),(),(trtrc体积元内的几率。点附近时刻粒子出现在动量pdptpdtrctpdW2|),(|),(作业补充题、动能平均值。；、归一化系数为实常量，求：其中状态中，一维谐振子处于实数，则）证明：如果波函数是（IIAIAexpxx2/22)()2(.01