第二章点线面的投影.

第二章投影与基本立体的三视图2.1投影法的基本概念物体在光源的照射下会出现影子。投影的方法就是从这一自然现象抽象出来，并随着科学技术的发展而发展起来的。投影法中心投影法平行投影法斜投影法正投影法常用的投影法有两大类：中心投影法和平行投影法。平行投影的投影特性：投影大小与物体和投影面之间的距离无关。度量性较好。工程图样大多数采用平行投影法的正投影法。光源承影面光线物体影子投射中心S投射线投影面形体图2.1产生影子的自然现象图2.2投影的构成要素（中心投影法）2.1.1投影法的形成及分类投影(图)投影面H投射线BAC规定大写字母表示空间点;小写字母表示相应空间点的投影。中心投影法：投射线均通过投射中心。投影特性：如改变△ABC与投射中心或投影面之间的距离，则其投影△abc的大小也随之改变，度量性较差。在投射中心确定的情况下，空间的一个点在投影面上只存在唯一一个投影。中心投影法abc投影投射中心S如果把中心投影法的投射中心移至无穷远处，则各投射线成为相互平行的直线，这种投影法称为平行投影法。HSHS正投影法投射方向S垂直于投影面H2.1.2平行投影法斜投影法投射方向S倾斜于投影面H形体投影面投射方向投射线投影(图)形体投影面投射线投影(图)a)斜投影法b)正投影法图2.3平行投影法投影法中心投影法平行投影法斜投影法正投影法平行投影法平行投影的投影特性：投影大小与物体和投影面之间的距离无关。度量性较好。工程图样大多数采用平行投影法的正投影法。2.1.3正投影法的基本性质表2.1正投影的基本性质其表2.1(续)b●VB1●B2●B3●仅有点的一个投影不能确定点的空间位置。2.2点的投影需要增加投影面。点是最基本的几何元素，下面用点的投影说明正投影的规律。为了确定几何元素的空间位置，需要建立正投影的投影面体系。2.2.1投影面体系与投影轴三投影面体系：用三个相互垂直的投影面构成投影面体系。正面投影面（V面）水平投影面（H面）侧面投影面（W面）V∩H=OX轴V∩W=OZ轴H∩W=OY轴两投影面相交，其交线称为投影轴：VWXYOZ三投影面体系：一、点的投影a点A的正面投影。a点A的水平投影。a点A的侧面投影。规定：空间点用大写字母表示，点的三个投影都用同一个小写字母表示。其中H投影不加撇，V投影加一撇，W投影加两撇。OXYZWa●a●a●A●V2.2.2点的投影及影射规律X●●●●Z投影面展开HVWaaZaayayaXYHYWO●●az●x●●●●YOVHWAaaaxaazay向右翻向下翻不动在投影时，投影面的大小不受限制，通常不必画出投影面的边框。ZaaXYHYWO●●a●xaazyaay●2、V、W两投影都反映高标，且投影连线垂直Z轴；aa⊥OZ轴。二、点的投影规律ZaaXYHYW●a1、V、H两投影都反映横标，且投影连线垂直X轴；aa⊥OX轴。其中W面上的一段垂直OYW，H面上的一段垂直OYH，中间可用折线、45。斜线或以O为圆心的圆弧联系起来。●xa3、H、W两投影都反映纵标，投影连线是一条折线。azyaayOaax=aaz=y=A到V面的距离aax=aay=z=A到H面的距离aay=aaz=x=A到W面的距离aaZaayayaXYHYWO●●az●x1、点的投影连线垂直于相应的投影轴。2、点的投影到投影轴的距离等于空间点到投影面的距离。小结：ZaaXYHYWO●●a●xaazyaayX●●●●Z●●●●YOVHWAaaaxaazayc［例1］已知点C的两个投影c和c，求作其水平投影c。●c●ccz通过作45°转宽线使ccz=ccxXZYHYwcywcyHo●cx点的每个投影反映两个坐标：V投影反映高标和横标(a′aX和a′aZ)，H投影反映纵标和横标(aaX和aaYH)，W投影反映高标和纵标(a″aYW和a″aZ)。2.2.3点的投影和坐标2.4.1一般位置点（X、Y、Z）1)投影面上的点：V面上点（X、0、Z）H面上点（X、Y、0）W面上点（0、Y、Z）3)原点上的点:（0、0、0）2)投影轴上点:X轴上点（X、0、0）Y轴上点（0、Y、0）Z轴上点（0、0、Z）注意:点的各个投影一定要写在它所属的投影面区域内。2.2.4各种位置点的投影2.4.2特殊位置点各种位置点的投影两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右位置关系。判断方法：X坐标大的在左Y坐标大的在前Z坐标大的在上一、两点的相对位置左右后上下前上下后前左右2.2.5两点的相对位置和重影点作图步骤：1）在a′左方12mm，上方8mm处确定b′；2）作b′b⊥OX轴，且在a前10mm处确定b；3）按投影关系求得b″。［例2］如图，已知点A的三投影，另一点B在点A上方8mm，左方12mm，前方10mm处，求:点B的三个投影。ayayZaaaxazXYHYWOabybybxbzb●b●b●12810当空间两点位于对投影面的同一条投影线上时，这两点在该投影面上的投影重合，称这两点为对该投影面的重影点。二、重影点点A、B在对H面的同一条投射线上，它们在H面的投影重合，称为对H面的重影点。而点C、A则称为对W面的重影点。2.3直线的投影一般情况下，直线的投影仍为直线。两点确定一条直线，将直线上两点的同面投影用直线连接起来，就得到直线的三个投影。2.3.1直线的投影aaabbb●●●●●●XZYHYWo直线的投影规定用粗实线绘制。2.3.2各种位置直线投影面平行线平行于某一投影面而与其余两投影面倾斜投影面垂直线正平线（平行于Ｖ面）侧平线（平行于Ｗ面）水平线（平行于Ｈ面）正垂线（垂直于Ｖ面）侧垂线（垂直于Ｗ面）铅垂线（垂直于Ｈ面）一般位置直线与三个投影面都倾斜的直线统称特殊位置直线垂直于某一投影面一、一般位置直线直线与H、V和W三投影面的夹角分别用α、β、γ表示。投影长分别是：ab=ABcosαab=ABcosβab=ABcosγ一般位置直线投影特性各投影的长度均小于直线本身的实长。直线的各投影均不平行于各投影轴。baabbaXZYHYWbaababXZYHYWbaaabbXZYW水平线YH二、投影面平行线1）在其平行的那个投影面上的投影反映实长，并反映直线与另两投影面的真实倾角。2）另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。侧平线正平线投影特性与H面的夹角:α与V面的夹角:β与W面的夹角:γ实长βγγ实长α实长αβ二、投影面平行线投影面平行线名称立体图投影图投影特性水平线(∥H）正平线(∥V)侧平线(∥W)(1)ab∥OX,ab∥OYW(2)ab=AB；(3)反映夹角、大小。(1)ab∥OX,ab∥OZ(2)ab=AB(3)反映夹角、大小。(1)ab∥OYH,ab∥OZ；(2)ab=AB(3)反映夹角、大小。三、投影面垂直线（2）另外两个投影,反映线段实长，且垂直于相应的投影轴。（1）在其垂直的投影面上，投影有积聚性。投影特性侧垂线●efefe(f)XZoYHYW正垂线●c(d)cddcXZoYHYW铅垂线●aba(b)abXZoYWYH名称立体图投影图投影特性铅垂线（H）正垂线（V）侧垂线（W）(1)H投影为一点，有积聚性；(2)abOX,abOYW；(3)ab=ab=AB(1)V影为一点，有积聚性；(2)abOX,abOZ；(3)ab=ab=AB(1)W投影为一点，有积聚性；(2)AbOYH,abOZ；(3)Ab=ab=AB投影面垂直线一、点和直线的从属关系2.3.3直线上的点若点在直线上，则点的各个投影必在直线的同面投影上。如图所示，C∈AB，则有c∈ab，c′∈a′b′，c″∈a″b″。反之，如果点的各个投影均在直线的同面投影上，则点在直线上。从属性在图中，C点在直线AB上，而D、E两点均不满足上述条件，所以都不在AB直线上。Z［例1］判断点C是否在线段AB上。ab●c因c不在ab上，故点C不在AB上。应用简单比定理abcabc●●另一判断法?XoYHYW二、点分割线段成定比AC/CB=ac/cb=ac/cb直线上的点分割线段之比等于其投影之比。即：定比定理abcabcXABCVHbccbaaX［例２］试在AB线段上取一点C，使AC∶CB＝1∶2，求:分点C的投影。abcabcXC1B1分点C的投影，必在AB线段的同面投影上，且ac∶cb＝a′c′∶c′b′＝1∶2可用比例作图法作图。1）过a(或b)任作一直线aB1（或bB1)；5）过c作X轴的垂线与a′b′交于c。则c、c′即所求分点C的投影。2）在aB1上取C1，使aC1∶C1B1＝1∶2；3）连接B1、b；4）过C1作C1c∥B1b，与ab交于c；作图步骤：分析：ekfefX[例３]已知直线EF及点K的二投影，试判断:点K是否在直线EF线上。作图步骤：应用简单比定理E1k1。k1）在H投影上，过f（或e）任作一条直线fE1;2)在fE1上取fK1=fk,K1E1=ke;3)连接E1e，过K1作直线平行于E1e，与fe交于k1；因为已知投影k与k1不重合，所以点K不在直线EF上。.K1空间两直线的相对位置分为：平行、相交、交叉。1、两直线平行投影特性：空间两直线平行，则其各同面投影必相互平行，反之亦然。2.4两直线的相对位置aVHcbcdABCDbdaX［例4］判断图中两条直线是否平行。对于一般位置直线，只要有两个同面投影互相平行，空间两直线就平行。AB//CDabcdcabdXbdcacbaddbac对于特殊位置直线，只有两个同面投影互相平行，空间直线不一定平行。求出侧面投影后可知：AB与CD不平行。［例5］判断图中两条直线是否平行。XZoYHYWabcdbacdkkX2、两直线相交判别方法：若空间两直线相交，则其同面投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投影规律。交点是两直线的共有点HVABCDKabcdkabckdX相交两直线的三面投影：若空间两直线相交，则其同面投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投影规律。反之，若两直线的各同面投影相交，且交点符合一个点的投影规律，则此两直线在空间一定相交。21dbaabcdc3(4)2(1)●●34●●●XⅠ、Ⅱ是对H面的重影点，Ⅲ、Ⅳ是对V面的重影点。3、两直线交叉AB●情况立体图投影图投影特性平行两直线相交两直线交叉两直线若空间两直线相互平行，则其各同面投影也一定相互平行。反之，若两直线的各同面投影相互平行，则此两直线在空间一定相互平行。若空间两直线相交，则其各同面投影也一定相交，且交点一定符合点的投影规律。反之，若两直线的各同面投影相交，且交点符合点的投影规律，则此两直线在空间一定相交。若两直线既不平行又不相交，为相错直线。它可能有一个或两个同面投影相互平行；也可能有一个、两个或三个同面投影相交，但其交点不符合点的投影规律，这些电都是重影点。2.5.1平面的表示法不在同一直线上的三个点直线及线外一点两平行直线两相交直线平面图形一、用几何元素表示平面2.5平面的投影二、用平面的迹线表示平面平面和投影面的交线，称为平面的迹线。平面和H面的交线，称为水平迹线PH，和V面的交线，称为正面迹线PV，和W面的交线，称为侧面迹线PW。两相交迹线两平行迹线迹线上的点:根据迹线的投影规律可知：点A、B位于平面P上，而点C、D则不在平面P上。投影面垂直面投影面平行面一般位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面平行于某一投影面，垂直于另两个投影面与三个投影面都倾斜正垂面侧垂面铅垂面正平面侧平面水平面2.5.2各种位置平面平面对于三投影面的位置可分为三类：一、一般位置平面一般位置平面和三个投影面既不垂直也不平行，与三个投影面都倾斜，所以，如用平面形(例如三角形)表示一般位置平面，则它的三