第二章特殊的线性空间

1第二章特殊的线性空间在线性空间()VF中，定义了空间V中两元素间的加法运算及数域F中的数与空间V中元素的数乘运算。本章将给出线性空间()VF中向量间的内积运算，从而得到了内积空间；并定义一个从线性空间V到实数R上的一个实值函数即范数的概念，得到赋范线性空间。§2.1内积空间在以前学习的线性代数中，我们知道nR中向量的长度、夹角和正交等性质是用内积刻画的，现在将把内积的概念推广到一般的线性空间，从而讨论一般线性空间中向量的度量性质。2.1.1内积空间的基本概念与性质定义1设V是数域F上的线性空间，如果V中每对向量,xy按某一对应法则都有惟一确定的数(,)Fxy与之对应，且满足：（1）(,)(,)xyyx；（2）(,)(,),Fxyxy；（3）(,)(,)(,),,,Vxyzxzyzxyz；（4）(,)0xx，等号成立当且仅当xθ，则称(,)xy为x与y的内积。定义了内积运算的线性空间()VF称为内积空间。特别地，若数域F取复数域C，则称定义了内积的有限维线性空间()VC为酉空间。若数域F取实数域R，则称定义了内积的有限维线性空间()VR为欧几里得空间，简称为欧氏空间。欧氏空间和酉空间都是常用的内积空间。例1在nR中定义T(,)xyxy，显然(,)xy满足定义1中的四条，因此是一种内积运算，所以nR是n维欧氏空间。2例2在nC中定义H(,)xyxy，(其中HT=xx),不难证明nC是酉空间。一般地，若()mnijmnaCA，记()ijmnaA，称A为A的共轭；记HTAA，称HA为A的共轭转置。此外，若HAA，称A是埃尔米特（Hermite）矩阵；若HAA，称A是反埃尔米特矩阵。显然埃尔米特阵是实对称阵的推广。由于在酉空间中经常要用到复矩阵，故先了解一下矩阵的共轭及共轭转置的性质：（1）,,mnCABABAB；（2）,,mssnCCABABAB；（3）HTT,mnCAAAA；（4）HHH(),,mnCABABAB；（5）HH(),,mnkkkCCAAA；（6）HHH(),,mssnCCABBAAB；（7）HH(),mnCAAA。例3在nmC中对任意,mnCAB定义H(,)tr()ABAB，则nmC为酉空间。证明对任意mnCABC,,,R,有（1）HHHH(,)tr()tr()tr()(,)ABABABBABA；（2）HH(,)tr()tr()(,)ABABABAB；（3）HHH(,)tr[()]tr()tr()(,)(,)ABCABCACBCACBC；（4）2110nnijjiaH(,)tr()||AAAA，当且仅当Aθ时等号成立，所以nmC为酉空间。例4对任意,nnRAB定义T(,)tr()ABAB，则nnR为欧氏空间。3例5设A为n阶正定阵。对任意nR,xy定义T(,)xyxAy，则nR是n维欧氏空间。证明对任意nR,,,Rxyz,有（1）TTTTTT(,)[](,)xyxAyxAyyAxyAxyx；（2）T(,)(,)xyxAyxy；（3）TTT(,)()(,)(,)xyzxyAzxAzyAzxzyz；（4）因为A是正定阵，所以T(,)0xxxAx，当且仅当xθ时等号成立，所以nR为欧氏空间。在例5中，如果取不同的正定矩阵，那么由其定义的内积是不同的，也就是说，在同一个线性空间里可以定义不同的内积，所得到的欧氏空间我们视为不同的内积空间。一般地，我们将例1与例2中定义的内积称为标准内积。以后若无特殊说明，nC（或nR）及其子空间的内积均采用标准内积。由内积的定义，我们不难得到内积的如下性质。定理1设(,)xy是酉空间V的内积，则（1）VC(,)(,),,,xyxyxy；（2）V(,)(,)(,),,,xyzxyxzxyz；（3）1111(,)(,)mnmniijjijijijijxyxy，其中VyxCjiji,,,，njmi,,2,1,,,2,1。证明（1）(,)(,)(,)(,)xyyxyxxy；（2）(,)(,)(,)(,)(,)(,)xyzyzxyxzxxyxz；（3）由性质（2）显然成立。一般地，在n维内积空间中，若已知基向量之间的内积，那么任意两向量间的内积就都可以得到了。这是因为，若设12,,,nεεε是酉空间V的基，且41122nnxxxxεεε与1122nnyyyyεεε是V中两个向量，那么x与y的内积为11221122(,)(,)nnnnxxxyyyxyεεεεεε11111212(,)(,)(,)nnnnxyxyxyεεεεεε11112121(,)(,),(,)(,)nnnnnnyyxxxyεεεεεεεε（2-1）HxAy，其中TT1212,,,,,,,nnxxxyyyxy，1111(,)(,)(,)(,)nnnnεεεεAεεεε。显然若V是欧氏空间，则T(,)xyxAy。2.1.2内积在基下的矩阵定义2设12,,,nεεε是酉（欧氏）空间V的基，令1212(,),,,,,,ijijainjnεε，称()ijnnaA为内积在基下的矩阵，也称度量矩阵。由前面的讨论不难得到下面的定理。定理2设12,,,nεεε是酉空间V的一组基，且内积在这组基下的矩阵是A，那么（1）矩阵A是埃尔米特矩阵，即HAA；（2）若设12nxεεεx,,,，12nyεεεy,,,，,nCxy，则H(,)xyxAy；（3）nCx，且xθ，均有H0Axx。证明（1）设()ijnnaA，则12(,),,,,,ijijaijnεε，由于(,)(,)ijijjijiaaεεεε所以HAA。5（2）由式（2-1）知其显然成立。（3）若xθ，则12[,,,]nxεεεxθ，从而H(,)0Axxxx。推论设12,,,nεεε是欧氏空间V的一组基，且内积在基下的矩阵是A，那么（1）矩阵A是对称矩阵，即TAA；（2）若设12nxεεεx,,,，12nyεεεy,,,，,nRxy，则T(,)xyxAy；（3）nRx，且xθ，均有T0Axx。例6在[]nFx中定义内积11((),())()()fxgxfxgxdx，则[]nFx是欧氏空间，求（1）内积在基21,,xx下的矩阵；（2）2()1536fxxx与2()21gxxx的内积。解答（1）11112adx，1122110aaxdx，121331123aaxdx，1222123axdx，13233210aaxdx，1433125axdx，所以内积在基21,,xx下的矩阵A为2203200322035A（2）法1114211((),())()()151568fxgxfxgxdxxxdx；法2因为)(),(xgxf在基21,,xx下的坐标分别为6,3,15Tf，1,2,1Tg，从而220312(,)6,3,1500283122035TfgfAg。6可以看到计算向量间的内积既可以利用内积的定义方式直接计算，也可以利用内积在基下的度量矩阵计算，结果是一样的。对于同一个内积空间，当取的基不同，则对应的度量矩阵一般来说也是不同的，下面我们给出它们的关系。定理3内积在不同基下的度量矩阵是合同的。证明设酉（欧氏）空间V的内积(,)xy在两组基12,,,nεεε和12,,,nεεε下的矩阵分别为,AB,令()ijnnaA，(,)ijijaεε，()ijnnbB，(,)ijijbεε，且1212[,,,][,,,]nnεεεεεεP。又设x与y是V中任意两个向量，它们在基12,,,nεεε下的坐标为T12[,,,]nxxxx与T12[,,,]nyyyy，那么有11221212[,,,][,,,]nnnnxxxxxxxεεεεεεP11221212[,,,][,,,]nnnnyyyyyyyεεεεεεP则x与y在12,,,nεεε下的坐标分别是Px与Py，从而HHHH(,)()()xyxByPxAPyxPAPy由x与y的任意性，得HBPAP即,AB是合同矩阵。§2.2标准正交基与向量的正交化由于向量与其自身的内积满足(,)0xx，故可以利用它定义向量的模（或范数），并将向量间的夹角、正交等概念推广到一般的内积空间。72.2.1向量的度量性质定义1设V是酉（欧氏）空间，Vx，称(,)xxx为向量x的模（或范数）。如果1x，则称x为单位向量。如上面定义的向量的模与线性代数中nR空间的向量的模是一致的，性质也是相同的。定理1设(,)xy是酉（欧氏）空间V的内积，则（1）kkkkxx,C(R)；（2）xyxy(,)；（3）xyxy。证明不妨设V是酉空间。（1）kkkkkkxxxxxx(,)(,)；（2）yθ时显然成立，不妨设yθ，C，有22xyxyxyxxxyyxyy(,)(,)(,)(,)(,)2220xxyyxy(,)(,)，若取2yxy(,)，可得22222222220xyxyyxxyxxyyyy(,)(,)(,)(,)，即xyxy(,)（3）因为2xyxyxy(,)22xxyyxy(,)(,)222xxyyRe(,)8222xxyy|(,)|，那么由本定理结论（2），可得22222xyxxyyxy()故xyxy证毕。通常称定理结论（2）为柯西—许瓦兹（Cauchy—Schwarz）不等式。利用向量范数还可以定义向量间的距离和夹角。通常称(,)dxyxy为x与y的距离。在欧氏空间中两非零向量x与y的夹角规定为(,)arccos(0)xyxy由于酉空间中的内积一般是复数，所以向量间不易定义夹角，但仍可以引入正交概念。定义2设V是酉（欧氏）空间，Vxy,，如果0xy(,)，则称向量x与y正交，记为xy。例1已知T[1,1]x与T[1,1]y是2R中的两个向量，若规定内积T(,)xyxy，则(,)0xy，即x与y正交；若规定内积T(,)xyxAy，其中1003A，则(,)2xy，也就是x与y不正交。上例中，可以看到在一个线性空间中，如果定义了两个不同的内积，则得到两个不同的内积空间，向量在这两个内积空间的正交性不一定相同。定义3设12,,,nααα是酉（欧氏）空间V中的非零向量组，如果12,,,nααα两两正交，那么称12,,,nααα是正交向量组。如果12,,,nααα是两两正交的单位向量，那么称其为标准正交向量组。定理2正交向量组必是线性无关向量组。9证明设12,,,nααα是正交向量组。令1122nnkkkααα，则由(,)0,ijijαα得11221(,)(,)(,)0nnnijjiiiijkkkkkαααααααα因为0iα，故(,)0iiαα，则必有niki,,2,1,0，因此12,,,nααα是线性无关向量组。2.2.2标准正交基定义4如果标准正交向量组12,,,nεεε是酉（欧氏）空间的一组基，那么称12,,,nεεε为酉（欧氏）空间的