第二章自动控制系统的数学模型.

1第二章控制系统的数学模型自动控制原理第二章控制系统的数学模型2-1拉普拉斯变换2-2线性系统的输入输出描述和传递函数2-3非线性微分方程在工作点附近的线性化2-4一些典型对象和零部件的传递函数2-5动态结构图2-6信号流图2第二章控制系统的数学模型自动控制原理数学模型的定义分类静态模型：代数方程动态模型：微分方程输入输出描述：微分方程、传递函数等系统的内部描述：状态空间描述、方框图等系统的数学模型是描述系统输入、输出以及内部变量间关系的数学表达式。3第二章控制系统的数学模型自动控制原理系统数学模型建立的方法：机理建模法—根据对象或过程所遵循的物理、化学定理来建模的方法实验建模法—通过实验测量的方法找到各变量间的关系-系统辨识。4第二章控制系统的数学模型自动控制原理§2-1拉普拉斯变换拉普拉斯变换法是一种解线性定常微分方程的简便方法。时域内的复杂运算转变为复变量的代数运算一、拉普拉斯变换的定义对实变量t的函数()ft，如果满足()0ft，0t，且积分0()stftedt存在，式中js为复变量，则称其为()ft的拉普拉斯变换（简称为拉氏变换），记作()Fs或[()]Lft，即0()[()]()stFsLftftedt复变量s的函数()Fs称为()ft的像函数，()ft称为()Fs的原函数。5第二章控制系统的数学模型自动控制原理从像函数()Fs求原函数()ft的过程称为拉普拉斯反变换（简称为拉氏反变换），拉氏反变换可以通过计算反演积分j1j1[()]()()2jcstcLFsftFseds来得到，式中积分沿直线路径Re[]sc进行，常数c应该比上面给出的正常数大，以使在积分路径以右的区域像函数()Fs是解析的。ImRe[]s0cjcjc6第二章控制系统的数学模型自动控制原理（1）阶跃（位置）函数R称为阶跃函数的幅值，单位阶跃函数，记作1()t。阶跃函数的数学描述为00()0trtRt其拉氏变换为001()tststtRRLRtRedtess指令信号的阶跃变化，负载的突然变化等，均可视为阶跃函数。()rttR0二、几种常用函数的拉氏变换7第二章控制系统的数学模型自动控制原理（2）斜坡（速度）函数R为斜坡函数的斜率1R的斜坡函数称为单位斜坡函数。数学描述为00()0trtRtt或()1()rtRtt其拉氏变换为020001()sttstststtLRttRtedteReRRRtdtedtssss()rttRt08第二章控制系统的数学模型自动控制原理（3）抛物线（加速度）函数R为抛物线函数的加速率1R时的抛物线函数称为单位抛物线函数。数学描述为200()102trtRtt或21()1()2rtRtt其拉氏变换为223011()22stRRLRtttedts斜坡和抛物线函数常被用来模拟随时间变化的输入作用。()rtt22Rt09第二章控制系统的数学模型自动控制原理（4）指数函数A为0t时指数函数的初值。数学描述为00()0ttrtAet或()1()trtAet其拉氏变换为0()()001()ttsttststtLAetAeedtAeAedtsAs()rtttAe0A10第二章控制系统的数学模型自动控制原理（5）正弦函数A为正弦信号的幅值，(rads)为正弦信号的角频率。数学描述()sin1()rtAtt拉氏变换0jj022sin1()sin()2j112jj2jjststLAttAtedtAeeedtAAAsssωtωtωω220cos1()cosstAsLAtttedts()rttA021sin21cos2jtjtjtjtteejtee欧拉公式11第二章控制系统的数学模型自动控制原理（6）脉冲函数窄方波函数的面积R称为脉冲函数的强度，强度为1的脉冲函数称为单位脉冲函数，记作()t，即有01()lim1()1()ttt拉氏变换为0000()limlimstRRLRtedtdtR即脉冲函数的拉氏变换等于脉冲函数的积分面积。点动指令、电压脉冲信号、冲击负载对系统的作用等都可以被看成是脉冲输入信号。()rttR012第二章控制系统的数学模型自动控制原理原函数()ft，0t象函数()Fs()t11()t1st21s212t31sate1saatte21()sasint22scost22ss常用函数的拉氏变换表13第二章控制系统的数学模型自动控制原理三、拉氏变换的积分下限问题如果被处理的信号在0t时的跳变是无穷大，拉氏变换的积分下限取为0或0时的结果是不同的以脉冲函数为例，单位脉冲函数的拉氏变换当积分下限取为0时有00()00ststtedtedt当积分下限取为0时有0000000()()()()1ststststedttedttedttedt积分下限取为0将丢失作用在0t时刻的脉冲信号。14第二章控制系统的数学模型自动控制原理定义积分下限为0或0时的拉氏变换分别为0型和0型的拉氏变换。在控制系统中，输入作用0t时恒等于零，0t开始加到系统上，为了不丢掉0t时刻的作用脉冲，采用0型的拉氏变换较为恰当。采用0型的拉氏变换的另一个好处是，0以前，控制作用尚未加在系统上，这时系统所处的状态易于知道，初始条件比较容易确定。所以，以后如不加以特殊说明，都认为拉氏变换是0型的，而系统的初始条件也是0t时的。当然，除非系统在0t时受到脉冲输入信号的作用，否则0型和0型的拉氏变换是没有区别的。15第二章控制系统的数学模型自动控制原理四拉氏变换的性质和定理1齐次性()()LaftaFs2线性性质1212()()()()LaftbftaFsbFs()()(0)dLftsFsfdt222()()(0)(0)dLftsFssffdt3微分定理(1)1()()(0)nnnnkknkdLftsFssfdt(1)11()()(0)tLfdFsfss(1)(2)22111()()(0)(0)tLfddFsffsss4积分定理(1)()111()()(0)(0)tnnnLfdddFsffsss16第二章控制系统的数学模型自动控制原理limtte0limlim10ttsesssint220limsinlim()0tstss五、终值定理若函数()ft的拉氏变换为()Fs，且()Fs在右半s平面及除原点外的虚轴上解析，则有终值0()lim()lim()tsfftsFs不存在终值六、初值定理设()Fs是()ft的0型的拉氏变换，极限lim()ssFs存在，则有(0)lim()sfsFs17第二章控制系统的数学模型自动控制原理（6）位移定理设0t时()0ft，将()ft向右平移时间得到函数()1()ftt如下图所示。设()ft的拉氏变换为()Fs，则有0()1()()1()()stsLfttfttedteFs这说明，()1()ftt向右平移0时间后函数()1()ftt的拉氏变换，等于平移前函数()1()ftt的拉氏变换乘上se。()ftt0()1()fttt018第二章控制系统的数学模型自动控制原理（8）卷积定理设0t时，12()()0ftft，定义12120()()()()tftftfftd为1()ft卷积2()ft。按照上述定义，因为021211200()()()()()()tttfftdftfdfftd所以有1221()()()()ftftftft，并把它们统称为1()ft和2()ft的卷积。设11()[()]FsLft，22()[()]FsLft，则1()ft和2()ft卷积的拉氏变换为12()()FsFs，即122112()()()()()()LftftLftftFsFs卷积定理表明，两时间函数卷积的拉氏变换等于两时间函数分别进行拉氏变换的积。19第二章控制系统的数学模型自动控制原理五、拉普拉斯反变换例2.1：（()0As有不同实根，真有理分式的情况。）已知22()43sFsss求原函数()ft。解：22()430.50.513sFsssss3()0.50.5ttftee留数法求系数20第二章控制系统的数学模型自动控制原理例2.2：（()0As有不同实根，假有理分式的情况。）已知2255()43ssFsss求原函数()ft。解22255()4321430.50.5113ssFssssssss3()()0.50.5ttfttee21第二章控制系统的数学模型自动控制原理例2.4：（()0As有重根的情况。）已知22()(1)(3)sFssss求原函数()ft。解：222()(1)(3)231132412(1)13sFssssssss32131()32412tttftteee稳态分量瞬态分量22第二章控制系统的数学模型自动控制原理六、用拉氏变换解线性定常微分方程下面的例子来说明应用拉氏变换解线性定常微分方程的过程。例2.5：（齐次微分方程的解）求微分方程()()0ytyt的解，其中(0)y，(0)y。23第二章控制系统的数学模型自动控制原理例2.6：（受激励微分方程（非齐次微分方程）的解）求下列微分方程的解，其中()1()rtt，(0)y，(0)y。()5()4()()2()ytytytrtrt解：应用0型的拉氏变换，0t时，输入作用还未加入到系统上，(0)(0)0rr，方程两边做拉氏变换，利用拉氏变换的微分定理，有22()5[()]4()()2()1sYsssYsYssRsRss得到222(5)2()(54)(54)sssYsssssss零输入响应零状态响应24第二章控制系统的数学模型自动控制原理部分分式展开第一项得224111(5)03333(54)14ssssssss查拉氏变换表，反变换得到44111()()3333ttee部分分式展开第二项得21112362(54)14sssssss查拉氏变换表2-1，反变换得到4111236ttee最后得到41411111()()()2333336ttytee25第二章控制系统的数学模型自动控制原理2-2线性系统的输入输出描述和传递函数一、线性环节或系统的输入输出微分方程描述系统的微分方程描述中只含有系统输入、输出变量及其各阶导数。微分方程描述的一般形式1011110111()()()()()...()()()()()()()()...()()()nnnnnnmmmmmmdctdctdctatatatatctdtdtdtdrtdrtdrtbtbtbtbtrtdtdtdt