第二章质点动力学.

第2章质点动力学Dynamicsofparticles自然和自然规律隐藏在黑暗之中，上帝说“让牛顿降生吧”，一切就有了光明但是，光明并不久长，魔鬼又出现了，上帝咆哮说：“让爱因斯坦降生吧”世界就恢复到现在这个样子少年时代的牛顿，天资平常，但很喜欢制作各种机械模型，他有一种把自然现象、语言等进行分类、整理、归纳的强烈嗜好，对自然现象极感兴趣。青年牛顿1666年6月22日至1667年3月25日，两度回到乡间的老家1665年获学士学位1661年考入剑桥大学三一学院1667年牛顿返回剑桥大学当研究生，次年获得硕士学位1669年发明了二项式定理1669年由于巴洛的推荐，接受了“卢卡斯数学讲座”的职务全面丰收的时期1672年进行了光谱色分析试验1672年，由于制造反射望远镜的成就被接纳为伦敦皇家学会会员1680年前后提出万有引力理论1687年出版了《自然哲学的数学原理》一、牛顿第一定律内容：任何质点都将保持静止或匀速直线运动状态，直到其它物体对它作用的力迫使它改变这种状态；亦称惯性定律说明：1）物体具有保持运动状态不变的属性，或者说抵抗运动变化的属性，即惯性2）指出惯性是一切物质所具有的固有属性；3）力是改变物体运动状态的唯一因素§2-1牛顿定律惯性参考系，简称惯性系：在这样的参考系中观察，一个不受力作用的物体将保持静止或匀速直线运动状态不变说明：地面参考系是一个足够精确的惯性系内容：作用在两个不同物体上的作用力与反作用力大小相等，方向相反，且在同一直线上，永远成对出现且属于同一性质的力。BAABFF牛顿第三定律的数学表达式：二、牛顿第三定律1、重力地球表面附近的物体受到地球的吸引作用而受到的力，通常用G或P表示，且有：2、弹性力相互紧压的两个物体都会发生形变，物体由于形变后要恢复原状，而产生的力。（压力（或支承力）、张力、弹性回复力等）§2.2常见力和基本力gmG说明：1）压力（支持力）的大小取决于物体形变的程度2）压力方向总是垂直于接触面而指向对方3）忽略绳或线质量时，绳内部各处的张力都相等3、摩擦力相互接触的物体在沿接触面相对运动时，或有相对运动趋势时，在接触面之间产生一对阻止相对运动的力。（静摩擦力、动摩擦力（滑动摩擦力、滚动摩擦力等））4）弹（性）力：由胡克定律，k为决定于弹簧本身结构的常数；负号表示弹力的方向总是指向要恢复它原长的方向kxfNfssmax1）静摩擦力两个相互接触的物体，相互静止，但有相对运动趋势所产生的摩擦力最大静摩擦力：即最大静摩擦力正比于两物体之间的正压力N和静摩擦系数sNfkk2）滑动摩擦力两个相互接触的物体，沿接触面有相对滑动时所产生的摩擦力滑动摩擦力：即滑动摩擦力正比于两物体之间的正压力N和滑动摩擦系数k4、流体阻力一个物体在流体（液体或气体）中和流体有相对运动时，物体会受到流体的阻力。阻力方向和物体相对流体的速度方向相反。kvfd相对速率较小，流体从物体周围平顺地流过相对速率较大以致在物体的后方出现流体漩涡时，如在空气中221AvCfd物体的有效横截面积空气密度阻力系数AC1、万有引力四种基本力任何两个物质质点之间的吸引力万有引力定律：任何两物质之间都相互吸引，这引力的大小与它们的质量乘积成正比，与它们的距离平方成反比221rmmGf2211/1067.6kgmNG为引力常数1）m1，m2反映了物体相互吸引的程度，被称为引力质量，引力质量与惯性质量的物理意义不同，是同一种质量的两种表现，但是对于同一物体，两者大小相等说明：2）重力就是万有引力的一种表现2RMmGmg2RMGg3）宇宙天体之间，引力起着主要作用4）引力的传递媒介——引力子（有待证实）3、强力Strongnuclearforce在微观领域中的一种短程力(10-15m)，存在于强子(核子、介子和超子)之间4、弱力weaknuclearforce微观领域中的一种短程力（10-17m),存在于强子和轻子（电子、中微子、子等）之间2、电磁力带电粒子或带电的宏观物体间的相互作用力，以光子作为传递媒介1）分子或原子之间的相互作用力2）弹力、摩擦力、气体的压力以及浮力粘结力等都是电磁力的宏观表现0.4×10-15ml10-15m引力l0.4×10-15m斥力1）常用分量式解题22dtxdmmaFxx22dtydmmaFyy22dtzdmmaFzz2）对于平面曲线运动分量式dtdvmmaFFtiitt2vmmaFFniinndtvdmamF1、牛顿第二定律§2.3牛顿第二定律及其微分形式amamFFiiii关于牛顿第二定律的说明：1）指出力与加速度之间呈瞬时性对应关系（m不变）2）由，意味着质量大的物体抵抗运动变化的性能强，既惯性大，说明质量是物体惯性的量度，式中的质量又被称为惯性质量3）满足迭加原理：当物体受到几个力同时作用时，其效果与等于这几个力矢量和的那个力的作用效果1221aamm2、牛顿第二定律的微分形式内容：运动的变化与所加的动力成正比；并且发生在这力所沿的直线的方向上vmP说明：1）运动：质量和速度的乘积，即物体的动量2）变化：对时间的变化率3）现代描述：物体的动量对时间的变化率与所加的外力成正比，并且发生在这外力的方向上dtvmddtpdF)(dtvdmamF牛顿第二定律的数学表示：（1）若质量m保持不变，则有：（2）说明：1）（2）式是（1）式在质量维持不变情况下的一种特例，不适应变质量、高速及微观情况2）（1）式比（2）式更具有普适性（恒成立），但在（低速且m不变的）实际问题，常用（2）解决问题(1)确定研究对象(2)使用隔离法分析受力情况，作出受力图(3)分析运动情况，判断加速度(4)建立坐标系，根据牛顿第二运动定律列方程(5)求解，进行讨论解题步骤：两类力学问题：•已知力求运动•已知运动求力§2-4牛顿运动定律应用举例1.常力作用下的连结体问题例题2-1电梯中的连接体例题2-2小车上的摆锤例题2-3圆锥摆2.变力作用下的单体问题例题2-4小球在水中竖直沉降的速度例题2-5细棒在水中的沉降速度例题2-1设电梯中有一质量可以忽略的滑轮，在滑轮两侧用轻绳悬挂着质量分别为m1和m2的重物A和B，已知m1m2。当电梯(1)匀速上升，(2)匀加速上升时，求绳中的张力和物体A相对与电梯的加速度。raram1m2oy1am12am2gm1gm2TT解：以地面为参考系，物体A和B为研究对象，分别进行受力分析。物体在竖直方向运动，建立坐标系oy(1)电梯匀速上升，物体对电梯的加速度等于它们对地面的加速度。A的加速度为负，B的加速度为正，根据牛顿第二定律，对A和B分别得到：r11amgmTr22amgmT上两式消去T，得到：gmmmma2121rgmmmmT21212将ar代入上面任一式T，得到：(2)电梯以加速度a上升时，A对地的加速度a-ar，B的对地的加速度为a+ar，根据牛顿第二定律，对A和B分别得到：)(r11aamgmT)(r22aamgmT解此方程组得到：)(2121rgammmma)(22121gammmmT讨论：由(2)的结果，令a=0，即得到的结果gmmmma2121rgmmmmT21212由(2)的结果，电梯加速下降时，a0，即得到)(2121ragmmmma)(22121agmmmmT讨论：由(2)的结果，令a=0，即得到的结果gmmmma2121rgmmmmT21212由(2)的结果，电梯加速下降时，a0，即得到)(2121ragmmmma)(22121agmmmmT例题2-4计算一小球在水中竖直沉降的速度。已知小球的质量为m，水对小球的浮力为B，水对小球的粘性力为R=-Kv，式中K是和水的粘性、小球的半径有关的一个常量。mBRgm解：以小球为研究对象，分析受力：小球的运动在竖直方向，以向下为正方向，根据牛顿第二定律，列出小球运动方程：maRBmgmKvBmgtvadd小球的加速度最大加速度为：mBmga极限速度为：KBmgvT运动方程变为：mvvKtv)(ddT分离变量，积分得到：tmKvvvtvdd00TtmKvvvTTln)1(TtmKevvoKmvTvT632.0vt作出速度-时间函数曲线：,tTvv,/KmtT1T632.0)1(vevv物体在气体或液体中的沉降都存在极限速度。例题2-5有一密度为的细棒，长度为l，其上端用细线悬着，下端紧贴着密度为的液体表面。现悬线剪断，求细棒在恰好全部没入水中时的沉降速度。设液体没有粘性。xlBgm解：以棒为研究对象，在下落的过程中，受力如图：xo棒运动在竖直向下的方向，取竖直向下建立坐标系。当棒的最下端距水面距离为时x，浮力大小为：xgB此时棒受到的合外力为：xgmgF)(xlg利用牛顿第二定律建立运动方程：)(ddxlgtvm要求出速度与位置的关系式，利用速度定义式消去时间txxlgvtvmdd)(ddxxlgvlvd)(d积分得到2222glgllvglglv2§2-5牛顿第二定律积分形式之一：动量定理定义：力作用物体的时间积累量21ttdtFI单位：sN21ttxxdtFI21ttyydtFI21ttzzdtFI分量形式：一、冲量矢量叠加：kIjIiIIzyx222zyxIIII二、动量定理1、质点动量定理12)(PPvmddtdtvdmdtamdtFI即物体在运动过程中所受外力的冲量，等于该物体动量的增量1P2PI动量定理的分量形式xxxxxmvmvPPI1212yyyyymvmvPPI1212zzzzzmvmvPPI12121）一维问题、力作用时间很短时，常引入平均冲力1t2ttFF1221ttFdtFtt1212ttpp说明：2）的方向一般不是的方向，而是微分冲量的矢量和的方向。)(tFdtFIdtFI3）物体的动量相对于不同的惯性系是不同的，但动量定律不变。u1vm2vm车上1vm2vm1221vmvmdtFtt地上)(1uvm)(2uvm)()(1221uvmuvmdtFtt12vmvm解：由冲量定义有20dtFI202]3)2(210[dtktjtit[例2]一质点受合外力作用，外力为ktjtitF23)2(210求此质点从静止开始在2s内所受合外力的冲量和质点在2s末的动量。(SI)20202203)2(210kdttjdttitdtsN8420kji根据动量定理0221ppIttt2tpsN84202kjipt大小212tttIp2228420sN9.21方向余弦IIxcos9.212091.0IIycos18.0IIzcos37.0三、质点系动量定理质点系：由相互作用的若干个质点组成的系统内力：质点系内各质点间的相互作用力外力：系统以外的其它质点对系统内任意一质点的作用力说明：把牛顿定律（或动量定理）应用于质点系中的每一个质点，就可以得到用于整个系统的牛顿定律（或动量定理）1.两个质点的质点系1m2m21f12f1F2FdtpdfF1121dtpdfF2212相加dtpddtpdffFF212112211221ffdtpddtpdFF2121)(21ppdtd2.n个质点的质点系因内力总是成对出现0ijf