第二章逻辑代数.

第二章逻辑代数12.1逻辑代数2.1.1逻辑代数的基本定律和恒等式2.1.2逻辑代数的基本规则2.1.3逻辑函数的代数化简法2.2逻辑函数的卡诺图化简法2.2.1最小项的定义及其性质2.2.2逻辑函数的最小项表达式2.2.3用卡诺图表示逻辑函数2.2.4用卡诺图化简逻辑函数目录22.1逻辑代数逻辑代数又称布尔代数。它是分析和设计现代数字逻辑电路不可缺少的数学工具。逻辑代数有一系列的定律、定理和规则，用于对数学表达式进行处理，以完成对逻辑电路的化简、变换、分析和设计。逻辑关系指的是事件产生的条件和结果之间的因果关系。在数字电路中往往是将事情的条件作为输入信号，而结果用输出信号表示。条件和结果的两种对立状态分别用逻辑“1”和“0”表示。3•算术运算：两个表示数量大小的二进制数码之间进行的数值运算。•逻辑运算：两个表示不同逻辑状态的二进制数码0,1之间按照某种因果关系进行的运算。452.1.1逻辑代数的基本定律和恒等式基本定律公式0-1定律0•A=01+A=11•A=A0+A=AA•A=AA+A=AA=AA•A=0A+A=1交换律AB=BAA+B=B+A结合律A(BC)=(AB)CA+(B+C)=(A+B)+C分配律A(B+C)=AB+ACA+BC=(A+B)(A+C)反演律A•B=A+BA+B=A•B吸收律A+A•B=AA•(A+B)=A常用恒等式A+A•B=A+B(A+B)•(A+C)=A+BCA•(A+B)=A•B常用恒等式（冗余律）AB+AC+BC=AB+ACAB+AC+BCD=AB+AC例证：A+BC=(A+B)(A+C)证:右式=AA+AC+AB+BC=A+AC+AB+BC=A(1+C+B)+BC=A+BC=左式例证：,证明：用真值表AB001111011100101100110000ABABABABABABABAB6ABACBCABAC证明：()ABACBCABACAABC1吸收证明冗余律CAABBCAABCCAAB推广之：CAABBCCAABBCD(G+E)BCCAABBCD(G+E)CAAB吸收7同或和异或•真值表•结论：偶数个变量的异或和同或是互反的，奇数个变量的异或和同或是相等的。•从真值表可见，两个变量的异或和同或是互反的AB＝A⊙BA⊙B＝AB8f(A1,A2,…,An)＋f(A1,A2,…,An)＝1任何一个含有变量A的逻辑等式，如果将所有出现A的位置都代之以同一个逻辑函数F，则等式仍然成立。例如：给定逻辑等式A(B+C)=AB+AC，若用A+BC代替A，则该等式仍然成立，即：(A+BC)(B+C)=(A+BC)B+(A+BC)C由式(A+A=1)，故同样有等式：2.1.2逻辑代数的基本规则1代入规则92反演规则例：已知，根据反演规则可得到:如果将逻辑函数F中所有的“”变成“+”；“+”变成“”；“0”变成“1”；“1”变成“0”；原变量变成反变量；反变量变成原变量；所得到的新函数是原函数的反函数。即:“”,“+”,“0”,“1”,“原变量”,“反变量”“+”,“”,“1”,“0”,“反变量”,“原变量”FABCD()()FABCD10例：已知(),FABCDE则[()]FABCDEFABCDE例：已知FABABCBC则()()()FABABCBC长非号不变与变或时要加括号•使用反演规则时,应注意保持原函式中运算符号的优先顺序不变:“先括号后乘、加”•不属于单个变量的反号应保留不变。113对偶规则如果将逻辑函数F中所有的“”变成“+”；“+”变成“”；“0”变成“1”；“1”变成“0”；则所得到的新逻辑函数是F的对偶式F'。如果F'是F的对偶式，则F也是F'的对偶式，即F与F'互为对偶式。即:“”,“+”,“0”,“1”,“变量”“+”,“”,“1”,“0”,不变例:0FABC'(1)FABC求某一函数F的对偶式时，同样要注意保持原函数的运算顺序不变。12对偶定理：若两个逻辑函数F和G相等，则其对偶式F’和G’也相等。例:证明冗余律：(A+B)∙(A+C)∙(B+C)=(A+B)∙(A+C)证:已知AB＋AC＋BC=AB＋AC等式两边求对偶：(A+B)∙(A+C)∙(B+C)=(A+B)∙(A+C)()ABACBCABABCABABCABC例：()()()()ABACBCABC则13基本公式中的公式l和公式2就互为对偶式142.1.3逻辑函数的代数化简法同一个逻辑函数可以有多种表达形式，一种形式的表达式，对应一种电路，尽管它们的形式不同，但实现的逻辑功能相同，所以在实现某种函数的电路时，重要的是如何处理函数，以尽量少的单元电路、以及电路类型来达到目的。化简的意义：电路简单逻辑关系明显化简的方法：代数化简法（公式法）卡诺图化简法15该方法运用逻辑代数的公理、定理和规则对逻辑函数进行推导、变换而进行化简，没有固定的步骤可以遵循，主要取决于对公理、定理和规则的熟练掌握及灵活运用的程度。有时很难判定结果是否为最简。代数化简法16基本表达形式按逻辑函数表达式中乘积项的特点以及各乘积项之间的关系，可分5种一般形式。例：FABACABACABAC()()ABACAAACABBCABAC()()ABACABAC()()ABACABAC与或式与非－与非式与或非式或与式或非－或非式171）表达式中与项的个数最少；2）在满足1）的前提下,每个与项中的变量个数最少。FACABCACDCD化简例：()()FACBCCADD()()ACBCADACABACCD()ACCABCD1A(B)CDACDAABAB解：函数表达式一般化简成与或式，其最简应满足的两个条件：18()()LABDDABDABDCC=ABABDABD()ABABDDABABABABABABLABDABDABDABCDABCD例已知逻辑函数表达式为，要求：（1）最简的与-或逻辑函数表达式，并画出相应的逻辑图；（2）仅用与非门画出最简表达式的逻辑图。解：1920最简与-或表达式的逻辑图（包含与门，或门，非门三种类型的门）11AB&&≥1LABBAAB&&LBA&&AB&使用与非门的等效逻辑图（仅用到两输入端和与非门）通常在一片集成电路器件内部有多个同类型的门电路，所以利用摩根定理对逻辑函数表达式进行变换，可以减少门电路的种类和集成电路的数量，具有一定的实际意义。常用方法•并项法：运用公式，消去多余项•吸收法：利用公式•消项法：利用公式•消因子法：利用公式，消去多余因子•配项法：1AAAABAABACBCABACAABAB0AAAAA()ABBA21FABACBCBCBDBD化简例：()FABCBCBCBDBDADEFG解：()ADEFG()ABCBCBDBDADEFGABCBCBDBD()()ABCDDBCBDBDCCABCDBCDBCBDBCDBCDACDBDBCAABAB22例：FABABBCBC()ABABBCBC（）反演ABABCABCABCABCBC被吸收被吸收()ABACBBBCABACBC()()ABABCCBCAABC配项23解法1：（利用）解法2：例：LABBCBCABLABBCBCABABBCBCABACABBCABACBCABAC（增加冗余项）（消去1个冗余项）（再消去1个冗余项）ABACBCABACLABBCBCABABBCBCABACABBCABACABBCAC（增加冗余项）（消去1个冗余项）（再消去1个冗余项）24•由上例可知，逻辑函数的化简结果不是唯一的。代数化简法:优点:不受变量数目的限制。缺点：没有固定的步骤可循；与普通代数的公式易混淆，需要熟练运用各种公式和定理；在化简一些较为复杂的逻辑函数时还需要一定的技巧和经验；有时很难判定化简结果是否最简。用卡诺图法化简,直观易掌握252.2逻辑函数的卡诺图化简法2.2.1最小项的定义及其性质•定义：在n变量逻辑函数中，若m为包含n个因子的乘积项，而且这n个变量均以原变量或反变量的形式在m中出现一次，则称m为该组变量的最小项，也叫标准积。26若两个最小项仅有一个因子不同，则称这两个最小项具有相邻性。例：和，这两个最小项相加时能合并，并可消去1个因子。ABC0000m00011m10102m20113m31004m41015m51106m61117m7编号对应十进制数最小项使最小项为1的变量取值CBACBACBABCACBACBACABABCABCABC()ABCABCBCAABC例：三变量最小项的编号表27•最小项的性质（1）对于输入变量的任何一组取值，有且只有一个最小项的值为1。（2）对于变量的任一组取值，任意两个最小项的乘积为0。（3）全体最小项之和为1。（4）具有相邻性的两个最小项之和可以合并为一项并消去一个因子（5）n变量的最小项有n个相邻项。注意：不说明变量数目的最小项是没有意义的。5174:(3);A;B;CmABCmABCmABCmABC例三变量最小项＝其邻项有项：＝取反＝取反＝取反282.2.2逻辑函数的最小项表达式•假如一个函数完全由最小项的和组成,那么该函数表达式称为最小项表达式。•任何一个逻辑函数表达式都可以转化为最小项之和的形式。–先将逻辑函数写成与或表达式，–然后在不是最小项的乘积项中乘以补齐所缺变量因子即可1AA29=m2+m3+m6+m7注意：变量的顺序.(,,)FABCABCABCABCABC最小项表达式=m(2,3,6,7)(,,)FABCABCABCABCABC：例如30一最小项表达式的求法一般表达式：→除非号→去括号→补因子真值表:()FABCABAB例()()ABCABABABCABABABCABABABCABCAB()ABCABCABCCABCABCABCABC3576(3,5,6,7)mmmmm除非号去括号补因子方法与或式31•用真值表求最小项表达式例：函数F=AB+ACABCF0000010100111001011101111111其余补000001345(1,3,4,5)Fmmmmm任何一个逻辑函数经过变换，都能表示成唯一的最小项表达式！32•由一般表达式直接写出最小项表达式例：函数F=AB+AC所以:F=∑m(1,3,4,5)45130:01,:10,1001,:01,1ABCmmACBmm分析项中可取或即最小项编号为故含最小项和。项中可取或即最小项编号为故含最小项和。332.2.3用卡诺图表示逻辑函数•由于任何一个逻辑函数都可以表示为若干最小项之和的形式，因此，也就可以用卡诺图来表示任意一个逻辑函数。•将n个输入变量的全部最小项用小方块阵列图表示，并且将逻辑相邻的最小项放在相邻的几何位置上，所得到的阵列图就是n变量的卡诺图。•卡诺图化简基本原理：利用代数法中的并项法原则，即，消去一个变量。这种方法能直接得到最简与或表达式和最简或与表达式，并且其化简技巧相对公式化简法更容易掌握。1AA34351、一变量全部最小项的卡诺图一变量L=F（D），LDDL01m0全部最小项：D，D卡诺图：m1一.卡诺图的表示D36L00011110CDCDCDCD00011110Lm0m1m3m22、二变量全部最小项的卡诺图L=F（C,D）L0132CDCD折叠展开法则：（1）新增加的方格按展开方向应标以新变量；（2）新的方格内最