第二章逻辑函数及其简化.

第二章逻辑函数及其简化•逻辑代数=布尔代数=开关代数解决逻辑问题的理论方法，与布尔、香农有关•主要内容基本逻辑关系：与、或、非及其组合逻辑函数的表示方法：函数式真值表卡诺图逻辑图逻辑函数的化简方法：代数法和卡诺图法第一节逻辑代数一、基本逻辑•最基本的逻辑关系只有三种，即：与或非•比如要办成一件事的条件：每个人都完成才算完成---与任一人完成即算完成------或完成的反面是没完成------非二、逻辑运算（细节自学）1、基本逻辑运算•与逻辑：逻辑乘P=AB“有0则0”•或逻辑：逻辑加P=A+B“有1则1”•非逻辑：逻辑非P=/A“求反”2.复合逻辑运算（细节自学）•与非逻辑P=AB“全高出低、一低出高”•或非逻辑P=A+B“全低出高、一高出低”•与或非逻辑P=AB+CD•异或逻辑P=AB=AB+AB“不同为1”•同或逻辑P=AB=AB+AB“相同为1”三、真值表、逻辑函数及其应用一个复杂的逻辑问题，包含多种基本逻辑关系及其组合，可用逻辑函数来表示。例如：有一个水塔，由大小两个水泵供水。水位高于C时不供水，水位低于C时由小水泵单独供水；水位低于B时，由大水泵单独供水；水位低于A时，由两个水泵同时供水，请说明两个水泵的工作情况。解：设大电机为ML，小电机为MS，取值为1表示工作，为0表示停止。三个限位为A、B和C，取值为1表示水位低于A、B和C点列出真值表写出逻辑表达式ABCMSML可由ML（或MS）为1的各项00000写出ML（或MS）的与或式：00110ML=ABC+ABC01101MS=ABC+ABC11111也可以用ML（或MS）为0的各项写出或与式：ML=（A+B+C）（A+B+C）MS=（A+B+C）（A+B+C）四、逻辑代数的基本定律1、一般规律：A+0=AA0=0A+1=1A1=AA+A=1AA=0A+B=B+AAB=BAA+B+C=（A+B）+C=A+（B+C）ABC=（AB）C=A（BC）A（B+C）=AB+ACAA=AA+A=A2、特殊规律:吸收律：（A+B）（A+C）=A+BCA+AB=AA（A+B）=AA+AB=A+BAB+AC+BC=AB+AC反演律：ABC=A+B+CA+B+C=ABC五、逻辑代数运算的三个规则1、代入规则：任何一个含有变量A的等式，如果将所有出现变量A地方都代之以一个逻辑函数F，等式仍成立。2、反演规则（摩根定理）：F是一个逻辑函数表达式，如果将表达式中所有的“与”换为“或+”，所有的“或+”换为“与”，例题见书所有的常量0换为1，1换为0，替换时注意顺序！所有的原变量换为反变量，所有的反变量换为原变量，则所得到的表达式为F，称为F的反函数。3、对偶规则：如果将反演规则中的原反变量互换的条件去掉，则得到的表达式为F*，称为F的对偶式。六、逻辑函数的标准形式一个逻辑函数的表达式不是唯一的，可以有多种形式，以与-或式为例：设F（）是逻辑函数，A、B、C是逻辑变量F（A，B，C）=AB+AC=AB+AC+BC=ABC+ABC+ABC+ABC其中最后一行最为复杂，但它有一个特点，每个乘积项中都包含所有的变量（原变量或反变量），且仅出现一次，这样的乘积项叫最小项，全部由最小项相加构成的表达式称为最小项表达式，也叫与-或式的标准形式。函数的最小项表达式是唯一的。最小项意指在逻辑变量的所有组合中，该项取值为1的可能最小同样地，对或-与式来说，其标准形式是最大项之积。如：F（A，B，C）=（A+B+C）（A+B+C）（A+B+C）最大项意指取值为1的机会最大。如果一个逻辑函数有n个变量，则它有2n个最小项，也有2n个最大项。例如：F（A，B，C）有3个变量，有8个最小项，8个最大项每个最大项、最小项由原反变量组合而成，不好写，也不好记，我们为它们编一个号码，最小项用小写m，最大项用大写M，再加一个下标，下标的取值规律是：变量按顺序排好，原变量为1，反变量为0，取其2进制值三变量最小项、最大项表用最小项、最大项符号写逻辑表达式由前例可见，将逻辑表达式写为标准形式的过程是一个从简洁到烦琐的过程，它得到的好处是形式唯一。在以后学习卡诺图时会用到。第二节逻辑函数的简化如前所述，同一函数的逻辑表达式有多种形式，或繁或简。简单的形式对应简洁的电路，烦琐的形式对应复杂的电路。在满足逻辑功能的条件下，谁愿意费时费钱费力地舍简求繁呢？因此我们希望将逻辑表达式写得尽量简单。书中41页的例子说明化简的工作十分必要。简化与否大不一样！一、公式法化简与以前简化代数式的过程类似，只是所使用公式、定理不同，要经常使用我们前面学习的基本公式。根据使用公式的不同，公式法化简可分为几种方法：1、合并项法利用公式AB+A/B=A例如水泵例题中：ML=/ABC+ABC=（/A+A）BC=BC2、吸收法利用公式A+AB=AAB+/AC+BC=AB+/AC例：AC+ABCD+ABC+CD+ABD=AC+CD+ABD=AC+CD3、消去法利用公式A+AB=A+B例：AB+AC+BC=AB+（A+B）C=AB+ABC=AB+C4、配项法采用迂回战术，先由简到繁，利用1=A+/A或利用AB+AC=AB+AC+BC，先配入一些项，再重新组合、化简。例：AB+BC+BC+AB=AB+BC+BC（A+A）+AB（C+C）=AB+BC+ABC+ABC+ABC+ABC=AB+BC+AC5、综合化简利用上述四种方法，灵活运用。例如：AD+AD+AB+AC+BD+ACEF+BEF+DEFG=A+AB+AC+BD+BEF+ACEF=A+AC+BD+BEF=A+C+BD+BEF二、图解法（卡诺图法）化简由上述公式法化简的例题来看，比较复杂的综合题不太好化简，从哪里开始下手，能简化到什么程度，很难一下看出来。有时候，原题的给出顺序都能影响化简的思路。例如：F=ABD+ABC+ABD+ABC=ABD+ABD+ABC+ABC=AB+AB=A这说明如果可以将可简化部分放在一起，会比较直观。1、卡诺图卡诺图就是一种非常直观的图表，通过卡诺图可以发现哪些部分可以最大程度地化简，哪些部分已不可能化简。为了达到这样的目的，卡诺图的设计思路：n变量的逻辑函数,有2n个最小项，将这2n个最小项适当地排放在一个由方格构成的方阵中，使任意相邻方格中的两个最小项之间只有一个变量是互补的，其他都相同。四变量卡诺图示例ABCD00011110ABCDABCDABCDABCD00m0m4m12m8ABCDABCDABCDABCD01m1m5m13m9ABCDABCDABCDABCD11m3m7m15m11ABCDABCDABCDABCD10m2m6m14m10从四变量卡诺图可以看出卡诺图的排布特点，两变量函数太简单不必用卡诺图，五变量函数的卡诺图由两张四变量卡诺图组成，但已失去了直观性，不常用。本书对三、四变量卡诺图使用较多。有关N变量卡诺图的构成，循环码排列规律请同学再看书自学一下。2、用卡诺图表示逻辑函数了解了卡诺图的形式，我们就知道每个最小项固定的房间了。所以用卡诺图表示逻辑函数的方法如下：a、将逻辑函数写成标准形式，即最小项表达式。b、逻辑函数包含哪些最小项，其对应的方格填1。c、逻辑函数不包含的最小项，其对应的方格填0或空着。使用熟练之后，可直接由原函数填写卡诺图。例如：F=ABC+ABD+AC=ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD=∑m(12,13,5,7,10,11,14,15)3、利用卡诺图合并最小项的规律卡诺图合并最小项的根据是AB+AB=A，在讨论合并规律之前，我们先看看卡诺图合并最小项的几种情况：四个相邻项的合并举例八个相邻项的合并举例