第二类曲线积分典型例题解析

高等数学（2）第12章第二类曲线积分典型例题解析例1若对任意的x，y有yPxQ，设C是有向闭曲线，则CyQxPdd=．解：由格林公式将yxyPxQyyxQxyxPDCdd)(d),(d),(其中D为Cl围成的平面区域，及条件yPxQ知，应该填写：0例2．_______ddyxxyl，其中l是延圆周1)1()1(22yx正向一周．解：因为圆周1)1()1(22yx所围圆面积D为：21，由格林公式得：Dlyxyxxydd)11(dd=2，应该填写：2例3若),(yxP及),(yxQ在单连通域D内有连续的一阶偏导数，则在D内，曲线积分lyQxPdd与路径无关的充分必要条件是（）．A．在域D内恒有yQxPB．在域D内恒有yPxQC．在D内任一条闭曲线l上，曲线积分0ddlyQxPD．在D内任一条闭曲线l上，曲线积分0ddlyQxP解：若),(),,(yxQyxP在单连通区域D内有一阶连续偏导数，则lyyxQxyxPd),(d),(与路径无关DyxyPxQ),(,。所以选择：B例4设C是平面上有向曲线，下列曲线积分中，（）是与路径无关的．A．Cyxxyxdd332B．CyxxyddC．Cyxxxydd22D．Cyyxyxdd332解：因为选项A中，23323)(,3)3(xxxxQxyyxyP，由曲线积分与路径无关的充分必要条件知道，正确选择：A例5设积分路径)()(:tytxl，)(t，那么第二类曲线积分计算公式lyyxQxyxPd),(d),(=（）．A．ttttQtttPd)]())(),(()())(),(([B．ttttQttPd)())](),(())(),(([C．ttttQttPd)())](),(())(),(([D．tttQttPd))](),(())(),(([解：因为积分曲线的路径由参数方程)()(:tytxl，)(t给出，把参数方程代入曲线积分中，得：ttttQtttPd)]())(),(()())(),(([所以正确选择：A例6计算lxxyxyxxyyd)cose(d)3sine(2，其中l为由点)0,3(A经椭圆tytxsin2cos的上半弧到点)0,3(B再沿直线回到A的路径．解：由于l为封闭曲线，故原式可写成lxxyxyxxyyd)cose(d)3sine(2其中xyQxyyPxxcose,3sine2，由格林公式原式=lxxyxyxxyyd)cose(d)3sine(2Ddd][yxyPxQ=Dxxyxyydd]3cose()1cose[(=Dyxdd2=23212=6例7．计算lxxyyxyyd)21cose(d)2sine(2，其中l是上半圆周xyx222)0(y和x轴围成平面区域边界的正向．解：21cose,2sine2yQyyPxx，由格林公式得lxxyyxyyd)21cose(d)2sine(2Ddd][yxyPxQ=Dxxyxyyydd)]cose(cose[=Dyxydd=cos20220ddsinrr=203dcossin38=32)cos(32204例8计算lxyxyxydd22，其中1:22yxl逆时针方向．解：22,xyQyxP，由格林公式得lxyxyxydd22Ddd][yxyPxQ=12222dd)(yxyxyx=10320ddrr=2412