第二讲复变函数13;14;21

第二讲1.3平面点集1.4无穷远点及复平面2.1复变函数的概念扩充复平面包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面.有限复平面不包括无穷远点的复平面称为有限复平面，或复平面.1.邻域平面上以为心，为半径的圆：内部所有点的集合称为点的—邻域，记为，即称集合为的去心—邻域，记作.0z00zx0z),(0zN}{),(00zzzzN}0{0zzz0z0ˆ(,)Nz2.聚点：如果点z的任何邻域中都含有平面点集E中无穷多个点，那么称z为E的聚点3.内点：若z属于E，且存在z的某一邻域完全含于E，则称z为E的内点。4.开集若集合E中的每一个点均为E的内点，则称E为开集.5.连通集：若E中任意两点，都可用完全属于E的折线连接起来，则称E是连通集.6.区域（或开区域）：连通的开集称为区域或开区域.7.闭区域：开区域E连同它的边界一起，称为闭区域。8.有界区域：若区域E的所有点都包含在一个以原点为中心，某个充分大的正数M为半径的圆内，则称区域E为有界区域。9.无界区域：当M不存在时，则称E为无界区域。例1.7例1.8P.8.1.3.2平面曲线1.简单闭曲线若存在满足，且的，使,则称此曲线C有重点，无重点的连续曲线称为简单曲线或约当（Jordan）曲线；除外无其它重点的连续曲线称为简单闭曲线，例如，是一条简单闭曲线（如图1.9）.1t2t21tt21tt与)()(21tztz)()(zz)20(sincosttitz图1.9在几何直观上，简单曲线是平面上没有“打结”情形的连续曲线，即简单曲线自身是不会相交的；简单闭曲线除了没有“打结”情形之外，还必须是封闭的，例如，图1.10中的是简单曲线，是简单闭区域，图1.11中的，不是简单曲线，但是闭曲线.1C2C3C4C3C图1.10图1.112.光滑曲线、分段光滑曲线设曲线的方程为若，在上可导且，连续不全为零，则称曲线为光滑曲线，由若干段光滑曲线衔接而成的曲线称为分段光滑曲线.3.单连通域、多连通域设D是复平面上一区域，如果在D内任作一条简单闭曲线C，其内部的所有点都在中，则称区域D为单连通区域；否则称D为多连通区域或复连通区域.C)()()(tiytxtz)(t)(tx)(ty,)(tx)(tyC在几何直观上单连通区域是一个没有“空洞（点洞）和缝隙”的区域，而多连通区域是有“洞或缝隙”的区域，它可以是由曲线所围成的区域中挖掉几个洞，除去几个点或一条线段而形成的区域（如图1.12）.图1.121.4复球面及无穷远点黎曼的奇思妙想：他把复平面的无穷远处看成一个点，并把它加到复数的“行列”中来，复平面就变成了复球面这一奇妙的想法，为复变函数的研究带来了很大的方便。意义：提出了“弯曲空间的几何”的新概念，这种几何学后来成为爱因期坦广义相对论的数学基础。复球面与无穷远点zPN球极平面射影法取一个在原点O与z平面相切的球面，过O点作z平面的垂线与球面交于N点（称为北极或者球极）。}{\2NS平面zzP对于平面上的任一点z，用一条空间直线把它和球极连接起来，交球面于P。从几何上可以看出：Z平面上每个以原点为圆心的圆周对应于球面上的某一个纬圈，这个圆周以外的点则对应于相应纬圈以北的点，而且若点z的模越大，球面上相应的点则越靠近北极N。由此我们引进一个理想“点”与北极N对应。称之为无穷远点扩充复平面＝复平面＋,,zz约定无穷远点的实部、虚部及幅角都没有意义；另外,0,,等也没有意义。N2.1复变函数的概念定义1设为给定的平面点集，若对于中每一个复数，按着某一确定的法则，总有确定的一个或几个复数与之对应，则称是定义在上的复变函数（复变数是复变数的函数），简称复变函数，记作.其中称为自变量，称为因变量，点集称为函数的定义域.DDiyxzfivuwfDwz)(zfwzwD1.3.2映射的概念如果复数和分别用平面和平面上的点表示，则函数在几何上，可以看成是将平面上的定义域变到平面上的函数值域的一个变换或映射，它将内的一点变为内的一点（如图1.13）.zwZW)(zfwZDWGDzG)(zfw图1.13例1将定义在全平面上的复变函数化为一对二元实变函数.解设，，代入得比较实部与虚部得，见教材P16例题12zwiyxzivuw12zwivuw1)(2iyx2212xyixy122yxuxyv2例2将定义在全平面除原点区域上的一对二元实变函数，（）化为一个复变函数.解设，，则将，以及代入上式，经整理后，得222yxxu22yxyv022yxiyxzivuw222yxiyxivuw)(21zzx)(21zziyzzyx22)0(2123zzzw2.1.2映射的概念如果复数和分别用平面和平面上的点表示，则函数在几何上，可以看成是将平面上的定义域变到平面上的函数值域的一个变换或映射，它将内的一点变为内的一点（如图1.13）.zwZW)(zfwZDWGDzG)(zfw图1.132.1.3反函数与复合函数1.反函数定义2设定义在平面的点集上，函数值集合在平面上.若对任意，在内有确定的与之对应.反过来，若对任意一点，通过法则，总有确定的与之对应，按照函数的定义，在中确定了为的函数，记作，称为函数的反函数，也称为映射的逆映射.)(zfwZDGWDzGwGwwzf)(DzGzw)(1wfz)(zfw)(zfw2.复合函数定义3设函数的定义域为，函数的定义域为，值域.若对任一，通过有确定的与之对应，从而通过有确定的值与对应，按照函数的定义，在中确定了是的函数，记作，称其为与的复合函数.讲解P16例2.1和例2.2)(hfw1D)(zh2D1DG2Dz)(zh1DGh)(hfwwzDwz)]([zfw)(hfw)(zh2.1.5复变函数的极限定义4设函数在的某去心邻域内有定义，若对任意给定的正数（无论它多么小）总存在正数，使得适合不等式的所有，对应的函数值都满足不等式则称复常数为函数当时的极限，记作或)(zf0z)()(00zzz)(zfAzf)(A)(zf0zzAzfzz)(lim0)()(0zzAzf定理1设，则的充分必要条件为:且),(),()(yxivyxuzf000iyxz00)(lim0ivuAzfzz000lim(,)xxyyuxyu000lim(,)yyxxvxyv复变函数的极限四则运算法则：设，，则(1)(2)(3)Azfzz)(lim0Bzgzz)(lim0BAzgzfzgzfzzzzzz)(lim)(lim)]()([lim000ABzgzfzgzfzzzzzz)(lim)(lim)]()([lim000)0()(lim)(lim)()(lim000BBAzgzfzgzfzzzzzz例1试求下列函数的极限.（1）（2）解（1）法1设，则，且得zziz1lim11lim1zzzzzziyxziyxzzziyxiyx2222222xyxyixyxy1limzizziyxxyiyxyxyyxx221222212limlim11法2（2）设，则，得1limzizziiizziziz11limlim11iyxziyxz11lim1zzzzzz1)1)(1(lim1zzzz1lim(1)2zz例2证明函数在时极限不存在.证设，而，.考虑二元实函数当沿着（为任意实数）趋向于，即()zfzz0ziyxz()zfzz2222222xyxyixyxy2222(,)xyuxyxy222(,)xyvxyxy(,)uxy(,)xyykxk022(,)(0,0)0()1lim(,)lim(,)1xyxykxkuxyuxyk显然，极限值随值的不同而不同，所以根据二元实变函数极限的定义知，在趋向于时的极限不存在，即得结论.练习：1.求极限见讲义P6k(,)uxy(,)xy02.1.4.复变函数的连续定义5设在点的某邻域内有定义，若，则称函数在点处连续.若在区域内每一个点都连续，则称函数在区域内连续.定理2函数，在处连续的充要条件是和都在点处连续.定理3在处连续的两个函数的和、差、积、商（分母在处不等于零）在处仍连续.)(zf0z)()(lim00zfzfzz)(zf0z)(zfD)(zfD),(),()(yxivyxuzf000iyxz),(yxu),(yxv),(00yx0z0z0z例3求解因为在点处连续，故21limzziz21zziz1lim2zizz55321iii例4讨论函数的连续性.解设为复平面上任意一点，则当时，在无定义，故在处不连续.当落在负实轴上时，由于，在从实轴上方趋于时，趋于，在从实轴下方趋于时，趋于，所以不连续.当为其它情况时，由于所以连续.zarg0z00zzarg0zzarg00z0zzargz0zzargz0zzargzarg0z0argarglim0zzzzzarg定理4若函数在点处连续，函数在连续，则复合函数在处连续（证略）.最值性质当在有界闭区域上连续时，则也在上连续，且可以取得最大值和最小值；有界性在上有界，即存在一正数，使对于上所有点，都有.)(zgh0z)(hfw)(00zgh)]([zgfw0z)(zfD),(),(22yxvyxu()fzD)(zfDMDM)(zf例5讨论在闭圆域：上的连续性，并求在上的最大值与最小值.解因为和在上连续，故及在上都连续.又因为，故它在上的最大值与最小值分别就是的最大值与最小值.在内，当时，取到最大值；yieyezfxxsincos)(D1z)(zfDyeyxuxcos),(yeyxvxsin),(D)(zf)(zfDxxeyye)sin(cos222)(zfDxeD1xxee当时，取到最小值，即对任意都有特别指出，在曲线上点处连续的意义是1xxe1eDzezfe)(1)(zfC0z)(lim0zfzz)(0zfCz