奶制品的生产与销售(数学建模)

加工奶制品的生产计划问题重述一奶制品加工厂用牛奶生产1A，2A两种奶制品，1桶牛奶可以在设备甲上用12小时加工成3公斤1A，或者在设备乙上用8小时加工成4公斤2A。根据市场需求，生产的1A，2A全部能售出，且每公斤1A获利24元，每公斤2A获利16元．现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天正式工人总的劳动时间为480小时，并且设备甲每天至多能加工100公斤1A，设备乙的加工能力没有限制。试为该厂制订一个生产计划，使每天获利最大。问题分析这个优化问题的目标是使每天的获利最大，要作的决策是生产计划，即每天用多少桶牛奶生产1A，用多少桶牛奶生产2A(也可以是每天生产多少公斤1A，多少公斤2A)，决策受到3个条件的限制：原料(牛奶)供应、劳动时间、设备甲的加工能力．按照题目所给，将决策变量、目标函数和约束条件用数学符号及式子表示出来，就可得到下面的模型。模型假设1)1A，2A两种奶制品每公斤的获利是与它们各自产量无关的常数，每桶牛奶加工出1A，2A的数量和所需的时间是与它们各自的产量无关的常数；2)1A，2A每公斤的获利是与它们相互间产量无关的常数，每桶牛奶加工出1A，2A的数量和所需的时间是与它们相互间产量无关的常数；3)加工1A，2A的牛奶的桶数可以是任意实数．模型建立设每天用1x桶牛奶生产1A，用2x桶牛奶生产2A．设每天获利为z元．1x桶牛奶可生产31x公斤1A，获利2431x，2x桶牛奶可生产42x公斤2A，获利1642x，故目标函数为：z=721x+642x．由题设可以得到如下约束条件：原料供应：生产1A，2A的原料(牛奶)总量不得超过每天的供应，即1x+2x≤50桶；劳动时间：生产1A，2A的总加工时间不得超过每天正式工人总的劳动时间，即121x+82x≤480小时；设备能力：1A的产量不得超过设备甲每天的加工能力，即31x≤100；非负约束：1x+2x均不能为负值，即1x≥0，2x≥0．综上可得该问题的数学模型为：max216472xxz(1)S.t.5021xx(2)48081221xx(3)10031x(4)0,021xx(5)模型求解将（1）……（5）式代入lingo软件进行求解：max=72*x1+64*x2;x1+x2=50;12*x1+8*x2=480;3*x1=100;得到结果如下：Globaloptimalsolutionfound.Objectivevalue:3360.000Infeasibilities:0.000000Totalsolveriterations:2VariableValueReducedCostX120.000000.000000X230.000000.000000RowSlackorSurplusDualPrice13360.0001.00000020.00000048.0000030.0000002.000000440.000000.000000最终结果为20桶牛奶生产A，30桶牛奶生产B，所得利润为3360元。图解法：这个线性规划模型的决策变量为2维，用图解法既简单，又便于直观地把握线性规划的基本性质．将约束条件(2)～(5)中的不等号改为等号，可知它们是1Ox，2x平面上的5条直线，依次记为1L～5L，如图1．其中4L，5L分别是工2x轴和1x轴，并且不难判断，(2)～(5)式界定的可行域是5条直线上的线段所围成的5边形OABCD．容易算出，5个顶点的坐标为：O(0，0)，A(0，50)，B(20，30)，C(100/3，10)，D(100/3，0)．目标函数(1)中的z取不同数值时，在图1中表示一组平行直线(虚线)，称等值线族．如z=0是过O点的直线，z=2400是过D点的直线，z=3040是过C点的直线，…．可以看出，当这族平行线向右上方移动到过B点时，z=3360，达到最大值，所1,5[B点的坐标(20，30)即为最优解：1x=20，2x=30．我们直观地看到，由于目标函数和约束条件都是线性函数，在2维情形，可行域为直线段围成的凸多边形，目标函数的等值线为直线，于是最优解一定在凸多边形的某个顶点取得．推广到n维情形，可以猜想，最优解会在约束条件所界定的一个凸多面体(可行域)的某个顶点取得．线性规划的理论告诉我们，这个猜想是正确的．