1.2.2复合函数求导公式

xyxyxyxyyxycos)6(log)5(ln)4(1)3(5)2()1(125、求下列函数的导数练习一、课前练习555)4(5)3(1)2()1(2eyyxyxyx、求下列函数的导数：练习xxysin13）（3)2(24xxxy4532323xxxy）（)23)(32()4(2xxyxxyxxycossin6sin52）（）（练习3、求下列函数的导数：练习4：cos4lnsin,7yxxxy设求()cos(cos)4(ln)0xxxxxcos4sin2xxxxx)(sin)x(ln)xcosx(y:7解二、复合函数的求导法则思考的导数求函数xsiny2比较下列两种做法xcos)x(siny,xcos)x(sin:22得由公式方法一xx2x2ycossinsin:方法二])(cossincos)[(sin)cossin(xxxx2xx2yx22xx222cos)sin(cos且其导数为可导在点则复合函数可导在点而可导在点如果函数,x(x)]f[y,(x)uf(u)y,x(x)u定理即因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则)))x()u(f)]x([f(dxdududydxdy或对于思考题yx2y，求函数sin复合而成与函数可看作由函数xuusiny2ududycos2dxdux22u2dxdududydxdycoscos4)31(1xy4)31(1xy4)31(x4uyxu31xuxuyy'''xuxu)'31()'(4)3(45u55)31(1212xu5)31(12x例1函数的导数.．设．解：的导数求函数22xay复合而成与数解：此函数可看作由函22xayuyu21dudyx2dxdu22xaxu21x2dxdy思考题函数求例2：x2121x练习、求下列函数的导数（1）y=（2）y=ln(x+)cosx复合函数法则可推广到多个中间变量的情形例如,xydd)()()(xvufyuvxuyddvdudxvdd关键:搞清复合函数结构,由外向内逐层求导.理论推广例3、设求解:复合而成与、函数可以看作由函数xevvuuycoslnu1dudyvdvdusinxedxdvxxxxeee1evu1dxdy)(sincos)sin(四、反函数求导法则)(xf定理y的某邻域内单调可导,,)()(的反函数为设yfxxfy10yf1])([且xydd或1])([1yf1yxdd例4、求反三角函数的导数解:1)设则,)2,2(y)(sinyycos1y2sin11类似可求得xxarcsin2arccos利用0cosy,则)(xfyxy出来的函数，形如：的数学式子直接表示可由含有自变量因变量五、三个求导方法1、隐函数求导法则显函数：：隐函数：化成显函数的性质解出化，如由方程对于隐函数我们可以显33x1y01yx.)(称为隐函数由方程所确定的函数xyy所确定的隐函数例如：方程显化，但是有的不易甚至不能0xyey问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?方法：直接对方程两边用复合函数求导法则求导.当方程的两端对x求导时，要记住y是x是函数，然后用复合函数求导法则去求导。解：,求导方程两边对x0dxdyeedxdyxyyx解得,yxexyedxdy,0,0yx由原方程知000yxyxxexyedxdy.1例7：.,00xyxdxdydxdyyeexy的导数所确定的隐函数求由方程、对数求导法2观察函数方法:先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.--------对数求导法.,)4(1)1(sin23xxxyexxxy例8：解:]142)1(3111[)4(1)1(23xxxexxxyx等式两边取对数得xxxxy)4ln(2)1ln(31)1ln(ln求导得上式两边对x142)1(3111xxxyy.,)4(1)1(23yexxxyx求设例8：解：.),0(sinyxxyx求设等式两边取对数得求导得上式两边对xxxxxyy1sinlncos1)1sinln(cosxxxxyy)sinln(cossinxxxxxx3、由参数方程所确定的函数的导数.,)()(定的函数称此为由参数方程所确间的函数关系与确定若参数方程xytytx例如,,22tytx2xt22)2(xty42xxy21消去参数问题:当消去参数困难或无法消去参数时，如何求导?t),()(1xttx具有单调连续的反函数设函数)]([1xy,0)(,)(),(ttytx且都可导再设函数由复合函数及反函数的求导法则得dxdtdtdydxdydtdxdtdy1)()(ttdtdxdtdydxdy即,)()(中在方程tytx例9：解dtdxdtdydxdyttcos1sintaatacossin2cos12sin2tdxdy.1.方程处的切线在求摆线2)cos1()sin(ttayttax.),12(,2ayaxt时当所求切线方程为)12(axay)22(axy即六、高阶导数定义.)())((,)()(lim))((,)()(0处的二阶导数在点为函数则称存在即处可导在点的导数如果函数xxfxfxxfxxfxfxxfxfx记作.)(,),(2222dxxfddxydyxf或三阶导数的导数称为四阶导数,.,),(33dxydyxf二阶导数的导数称为三阶导数,.,),(44)4()4(dxydyxf二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.……例10：.),()(nyRxy求设解1xy)(1xy2)1(x3)2)(1(x))1((2xy)1()1()1()(nxnynn则为自然数若,n)()()(nnnxy,!n)!()1(nyn.0例11：解：.sincos表示的函数的二阶导数求由方程tbytaxdtdxdtdydxdytatbsincostabcotdxdtdtdxdyddxyd)(22tatab2sincsctab32sin