圆锥曲线第二定义

圆锥曲线第二定义解题例说圆锥曲线的第二定义出现在例题中，教材中没有专门举例说明其应用，有很多同学对其认识不足，为此本文举例说明第二定义的应用。一、求焦点弦长例1过抛物线x4y2的焦点F作直线交抛物线于A（11yx，）、B（22yx，），若6xx21，求|AB|的长。解：设AB的中点为E，点A、E、B在抛物线准线l：1x上的射影分别为G、H、M。由第二定义知：8)1(2xx2|EH|2|BM||AG||BF||AF||AB|21。二、求离心率例2设椭圆2222byax=1（ab0）的右焦点为1F，右准线为l1，若过F1且垂直于x轴的弦的长度等于F1到准线l1的距离，求椭圆的离心率。解：如图，AB是过F1垂直于x轴的弦，|CF|1为F1到准线l1的距离，AD⊥l1于D，则|AD|=|F1C|，由题意知|AB|21|AF|1。由椭圆的第二定义知：21|AB||AB|21|CF||AB|21|AD||AF|e11三、求点的坐标例3双曲线13yx22的右支上一点P，到左焦点F1与到右焦点F2的距离之比为2：1，求点P的坐标。解：设点P（00yx，）（0x0），双曲线的左准线为l1：21x，右准线为l2：21x，则点P到l1、l2的距离分别为21xd21xd0201，。所以，1221x21xddPFPF002121，解得23x0。将其代入原方程，得215y0。因此，点P的坐标为21523，。四、求离心率的范围例4已知椭圆)0ba(1byax2222，21FF、分别是左、右焦点，若椭圆上存在点P，使∠F1PF2=90°，求椭圆的离心率e的取值范围。解：设点P（00yx，），则由第二定义得0201exacaxe|PF|，0022exaxcae|PF|。因为21FPF为直角三角形，所以2212221|FF||PF||PF|。即222020c4)c2()exa()exa(解得22220eac2x，由椭圆方程中x的范围知220ax0。2222aeac20，解得1e22。五、求最值例5已知点A（32，），设点F为椭圆112y16x22的右焦点，点M为椭圆上一动点，求|MF|2|MA|的最小值，并求此时点M的坐标。解：如图，过点A作右准线l的垂线，垂足为N，与椭圆交于点M。∵椭圆的离心率21e∴由第二定义得|MN||MF|2∴|MF|2|AM|的最小值为|AN|的长，且1082|AN|∴|MF|2|AM|的最小值为10，此时点M的坐标为（32，3）