第五章杆系结构的有限元法.

1第五章杆系结构的有限元法5.1引言杆系结构是工程中应用较为广泛的结构体系，包括平面或空间形式的梁、桁架、刚架、拱等。其组成形式虽然复杂多样，但用计算机进行分析时却较为简单。杆系结构中的每个杆件都是一个明显的单元。杆件的两个端点自然形成有限元法的节点，杆件与杆件之间则用节点相连接。显然，只要建立起杆件两端位移与杆端力之间的关系，则整体平衡方程的建立与前几章完全相同。杆端位移与杆端力之间的关系，可用多种方法建立，包括前面几章一直采用的虚功原理，但是采用材料力学、结构力学的某些结论，不仅物理概念清晰、直观，而且推导过程简单明了。因此，本章将采用这种方法进行单元分析。至于整体平衡方程的建立，则和前面几章所讲的方法一样，即借助于单位定位向量，利用单元集成法进行。5.2平面桁架的有限元分析平面桁架在计算上有以下几个特点：1．杆件的每个节点仅有两个线位移；2．杆件之间的连接为理想铰，即在节点处各杆件可相对自由转动，且杆件轴线交于一点。3．外载荷均为作用于节点的集中力。由于以上特点，所以在理论上各杆件只产生轴向拉、压力，截面应力分布均匀，材料可得到充分利用，因此桁架结构往往用于大跨结构。5.2.1局部坐标系下的单元刚度矩阵从平面桁架中任取一根杆件作为单元，称作桁架单元，单元长为L，横截面面积为A，图5.1。两端节点分别用i和j表示，规定从i到j的连线方向为局部坐标x轴，垂直于x的方向为y轴。图5.1由于桁架中各杆只产生轴向力和轴向变形，所以节点i和j只发生沿x方向的位移，用iu和ju表示，相应的杆端轴力分别用xiF和xjF表示。由虎克定律可推得)()()(jiijxjjixiuuLEAuuLEAFuuLEAF将这两个式子写成矩阵形式，就是ejiexjxiuuLEALEALEALEAFF(5.1)显然，在局部坐标系下，i、j两节点沿y轴方向的位移0jivv，在y轴方向的节点力20yjyiFF。因此，可以把（5.1）扩大为下面的四阶的形式ejjiieyjxjyixivuvuLEALEALEALEAFFFF000000000000(5.2)可以简写为eeekF}{][(5.3)其中TyjxjyixieFFFFF(5.4)称作桁架单元的单元杆端力向量。Tjjiievuvu(5.5)称作桁架单元的杆端位移向量而000000000000LEALEALEALEAke(5.6)称作桁架的单元刚度矩阵，式(5.2)或式(5.3)就是桁架的单元刚度方程，它反映了单元杆端力与杆端位移之间的关系。5.2.2整体坐标系下的单元刚度矩阵在一个复杂的结构中，各个杆件的杆轴方向不尽相同，因而各自的局部坐标系也不尽相同。为了建立结构的整体平衡方程，必须选用一个统一的公共坐标系，称为整体坐标系，用x,y表示。首先分析单元杆端力在不同坐标系中的关系。图5.2所示任一单元e，其局部坐标系为0yx，整体坐标系为oxy，由x轴到x轴的夹角α以顺时针转向为正。局部坐标系中的杆端力用exF、eyF表示。整体坐标系中的杆端力则用exF、eyF表示，如图5.2所示，显然。二者有下列关系。3图5.2cossinsincoscossinsincosyjxjyjyjxjxjyixiyiyixixiFFFFFFFFFFFF(5.7)将式(5.7)写成矩阵：eyjxjyixiyjxjyixiFFFFFFFFcossin00sincos0000cossin00sincos(5.8)式简写为eeFTF}]{[}{(5.9)式中T称为单元坐标转换矩阵cossin00sincos0000cossin00sincos][T(5.10)容易证明，单元坐标转换矩阵T是一个正交矩阵。因此有TTT][][1(5.11)或][][][]][[ITTTTTT(5.12)式中I为与T同阶的单位阵。结合式(5.12)，由式(5.9)得eeFTF}]{[}{(5.13)同理，可以求出单元杆端位移在两种坐标系中的转换关系。设局部坐标中单元杆端位移向量为e}{，整体坐标系中单元杆端位移向量为e}{，则4eeT}]{[}{(5.14)eTeT}{][}{(5.15)式中TjjiieTjjiievuvuvuvu][}{,][}{现在来推导单元刚度矩阵在两种坐标系中的转换关系。单元杆端力与杆端位移在整体坐标系中的关系式可写为eeekF}{][}{(5.16)式中ek][称为在整体坐标系中的单元刚度矩阵。将式中(5.9)和(5.14)代入(5.3)，得eeeTkFT}]{[][}]{[将此式两边各前乘TT][，并利用式(5.12)得eeTeTkTF}]{[][][}{再将上式与式(5.16)比较，可知][][][][TkTkeTe(5.17)这就是单元刚度矩阵在两种坐标系中的转换关系。5.2.3整体平衡方程和单元杆端力的计算整体平衡方程由单元集成法建立，引入约束条件后，求解该方程可得结构的节点位移向量}{，由式(5.14)可求得单元在局部坐标系下的杆端位移}{，再利用式(5.1)或式(5.2)就可求得单元在局部坐标系下的杆端力（轴力）。5.3空间桁架的有限元分析从物理概念和计算特点上讲，空间桁架与平面桁架同属一类结构，各节点均为理想铰，外载荷均为作用于节点的集中力，各杆件只产生轴向变形，因此，有关平面桁架的基本理论和概念完全适用于空间桁架。只是对于空间桁架单元，每个节点有三个自由度，因此，单元刚度矩阵由4阶方阵变为6阶方阵。5.3.1局部坐标系下的单元刚度矩阵用eF}{和e}{分别表示空间桁架单元在局部坐标系下的杆端力向量和杆端位移向量：TzjyjxjziyixieTzjyjxjziyixieFFFFFFF][}{,][}{按照与平面桁架单元同样的分析可得到两者之间的关系，即空间桁架单元的刚度方程5zjyjxjziyixizjyjxjziyixiLEALEALEALEAFFFFFF00000000000000000000000000000000(5.18)亦可简写为eeekF}{][}{(5.19)5.3.2整体坐标系下的单元刚度矩阵按照平行桁架局部坐标节点力与整体坐标节点力的转换关系，空间桁架单元端点i的杆端力在局部坐标与整体坐标之间有如下的转换关系eziyixizzyzxzzyyyxyzxyxxxeziyixiFFFtttttttttFFF(5.20)或简写为eieiFtF][(5.21)式中zzyzxzzyyyxyzxyxxxtttttttttt][(5.22)其中xxt表示局部坐标轴x与整体坐标轴x夹角的余弦，等等。同样另一端点j的杆端力在两种坐标系之间的转换关系与式(5.21)完全相同，即ejejFtF}]{[}{(5.23)式中TzjyjxjejTzjyjxjejFFFFFFFF][}{,][由式(5.21)、(5.23)得单元杆端力在两种坐标系之间的转换关系ejiejiFFttFF][00][(5.24)或简写为eeFTF}]{[}{(5.25)式中6TzjyjxjziyixiTjieFFFFFFFFF][}{是单元在局部坐标系下的杆端力向量；TzjyjxjziyixiTjieFFFFFFFFF][}{是单元在整体坐标系下的杆端力向量。][00][][ttT(5.26)是坐标转换矩阵。容易验证T是个正交矩阵。由式（5.25）得eTeFTF}{][}{(5.27)同理，可以求出空间桁架的杆端位移在两种坐标系中的转换关系。如用e和e分别表示局部坐标系和整体坐标系中单元杆端位移向量，则得到与式(5.14)、(5.15)相同的式子：eeT}]{[(5.28)eTeT}{][(5.29)式中Tjjjiiiewvuwvu][Tjjjiiiewvuwvu][}{仍然将整体坐标系中杆端力与杆端位移的关系写作eeekF}{][}{(5.30)按平面桁架单元同样的推导过程，得][][][][TkTkeTe(5.31)可见，所有的转换关系式与平面桁架单元在形式上完全相同，只是阶数不同而已。整体平衡方程的建立及杆端轴力的计算与平面桁架相同，不再赘述。5.4平面刚架的有限元分析5.4.1概述平面刚架是是指杆件的连接点均为刚性节点的平面杆系结构，在建筑工程中通常将立柱（坚直杆）和横梁（水平杆）组成的刚架结构称作框架。在实际的框架结构中，有可能部分连接梁和柱的节点为铰节点。但从受力特点考虑，仍然把它看作刚架类型。作用于平面刚架的载荷，不仅有直接作用在节点上的集中力或集中力矩，而且也可能有沿着杆件的分布力。由于各杆件用刚性节点连接，因此，在外力作用下各杆件一般会产生轴力、剪力和弯矩三种内力，以及相应的三种变形，即沿着轴线方向的轴向变形，垂直于轴线的剪切变形，以及杆件截面发生转动的弯曲变形。5.4.2局部坐标系下的单元刚度矩阵从平面刚架中任取一根杆件作为单元，称作平面刚架单元，单元长为L，横截面面积为A，绕z7轴的惯性矩为zI。两端节点分别用i和j表示，局部坐标系的确定和桁架单元相同，规定从i到j的连线方向为局部坐标轴x轴，垂直于x的方向为y轴，为描述截面转动方便，取垂直于xy平面的方向为z轴方向，且x、y、z形成右手系。根据刚架受力变形的特点，平面刚架单元的杆端位移向量和杆端力向量可表示如下TzjyjxjziyixieTzjjjziiieMFFMFFFvuvu][][(5.32)现在来推导杆端力和杆端位移之间的关系，由小位移假定，我们可以忽略轴向受力状态和弯曲受力状态之间的相互影响，分别推导轴向变形和弯曲变形的刚度方程。首先，由杆端轴向位移iu、ju，可推算出相应的杆端轴向力xiF、xjF：)()(jixjjixiuuLEAFuuLEAF(5.33)此式与平面桁架单元的刚度方程(5.1)完全相同。其次，由杆端横向的位移iv、jv和转角i、j可推算出相应的杆端横向力yiF、yjF和杆端力矩ziM、zjM。由等截面直杆的转角位移方程，得)(12)(6)(12)(6)(642)(624323222jizzjziyjjizzjzizyijizzjzyizzjjizzjzzizzivvLEILEIFvvLEILEIFvvLEILEILEIMvvLEILEILEIM(5.34)将式(5.33)、(5.34)两式合在一起，写成矩阵形式，就得到平面刚架单元的刚度方程：8ezjjjziiizzzzzzzzzzzzzzzzeyjyjxjyiyixivuvuLEILEILEILEILEILEILEILEILEALEALEILEILEILEILEILEILEILEILEALEAMFFMFF4602606120612000002