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当前位置:首页 > 商业/管理/HR > 咨询培训 > 2013届高考数学(理)一轮复习课件:7.8立体几何中的向量方法(人教A版)
第八节立体几何中的向量方法三年16考高考指数:★★★1.理解直线的方向向量与平面的法向量;2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系;3.能用向量方法证明有关直线和平面关系的一些定理(包括三垂线定理);4.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题.了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.1.利用直线的方向向量和平面的法向量证明线线垂直和解决空间角问题是高考的热点;2.本节的重点是利用向量法求空间角,难点是正确地进行计算;3.多以解答题的形式出现,综合考查空间想象能力、运算能力和数形结合的思想.1.直线的方向向量和平面的法向量定义确定直线的方向向量平面的法向量与平面_____的任何一个向量都可作为平面的法向量.显然一个平面的法向量也不唯一.如果表示非零向量的有向线段所在直线与直线l或,则称此向量为直线l的方向向量.平面的法向量可利用方程组求解,设是平面α内两个不共线的向量,为平面α的法向量,则求法向量的方程组为在直线上任取两点,这两点确定的向量即可为直线的方向向量.00.nana垂直aa平行重合,abn【即时应用】(1)思考:在求平面的法向量时,所列的方程组中有三个变量,但只有两个方程,如何求法向量?提示:给其中某一变量恰当赋值,求出该方程组的一组非零解,即可作为法向量的坐标.(2)若是平面α内的三点,设平面α的法向量n=(x,y,z),则x∶y∶z=______.【解析】由得所以x∶答案:2∶3∶(-4)1955A(0,2,),B(1,1,),C(2,1,)88877AB(13)AC(2,1,),44,,,7ABx3yz047AC2xyz04nn2xy34zy3.24yzyy(y)23433∶∶∶∶∶.2.空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1,l2的方向向量分别为l1∥l2l1⊥l2直线l的方向向量为平面α的法向量为l∥αl⊥α平面α,β的法向量分别为α∥βα⊥β12,nn1212∥nnnn,nm,nm12120nnnn0nmnm∥nmnm∥nmnm0nmnm【即时应用】(1)若平面α,β的法向量分别为a=(-1,2,4),b=(x,-1,-2),并且α⊥β,则x的值为______.(2)若直线l1,l2的方向向量分别为a=(2,4,-4),b=(-6,9,6),则直线l1,l2的位置关系是______.【解析】(1)由α⊥β得,解得x=-10.(2)由=2×(-6)+4×9+(-4)×6=0得a⊥b,从而l1⊥l2.答案:(1)-10(2)l1⊥l20abab3.空间角的向量求法(1)异面直线所成角的求法设a、b分别是两异面直线l1,l2的方向向量l1与l2所成的角θ范围求法02(,]coscos,______〈〉ab||||||abab(2)直线和平面所成角的求法如图所示,设直线l的方向向量为e,平面α的法向量为n,直线l与平面α所成的角为φ,两向量e与n的夹角为θ,则有sinφ=|cosθ|=________.||||||enen(3)二面角的求法①如图a,AB、CD是二面角α-l-β的两个半平面内与棱l垂直的直线,则二面角的大小θ=_______.ABCD,②如图b、c,n1,n2分别是二面角α-l-β的两个半平面α,β的法向量,则二面角的大小θ满足cosθ=______________或______________.cos〈n1,n2〉-cos〈n1,n2〉【即时应用】(1)已知向量m,n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量,若cos〈m,n〉=,则l与α所成角的大小为______.(2)长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=1,E为CC1的中点,则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为______.12【解析】(1)由于cos〈m,n〉=,∴〈m,n〉=120°,所以直线l与平面α所成的角为30°.(2)建立坐标系如图,则A(1,0,0),E(0,2,1),B(1,2,0),C1(0,2,2),=(-1,0,2),=(-1,2,1),∴答案:(1)30°(2)121BCAE111BCAE30cosBC,AE.10|BC||AE|〈〉30104.点到平面的距离的向量求法如图,设AB为平面α的一条斜线段,n为平面α的法向量,则点B到平面α的距离d=________.|AB|||nn【即时应用】(1)思考:如何推导点到平面的距离公式?提示:在Rt△BOA中,d|AB|sinBAO|AB||cos,AB||AB||AB||AB|.|||||AB|〈〉nnnnn(2)已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中,底面是边长为2的正方形,高为4,则点A1到截面AB1D1的距离是______.【解析】如图,建立坐标系Dxyz,则A1(2,0,4),A(2,0,0),B1(2,2,4),D1(0,0,4),=(-2,0,4),=(0,2,4),=(0,0,4),设平面AB1D1的一个法向量为n=(x,y,z),由得,令z=1,则n=(2,-2,1),设点A1到平面AB1D1的距离为d,则d=答案:1AD1AB1AA11AD2x4z0AB2y4z0nnx2zy2z431|AA|4.||3nn利用空间向量证平行、垂直【方法点睛】1.用向量证平行的方法(1)线线平行:证明两直线的方向向量共线.(2)线面平行:①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直;②证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行.(3)面面平行:①证明两平面的法向量为共线向量;②转化为线面平行、线线平行问题.2.用向量证明垂直的方法(1)线线垂直:证明两直线所在的方向向量互相垂直,即证它们的数量积为零.(2)线面垂直:证明直线的方向向量与平面的法向量共线,或将线面垂直的判定定理用向量表示.(3)面面垂直:证明两个平面的法向量垂直,或将面面垂直的判定定理用向量表示.【提醒】用向量证明平行、垂直时,要注意解题的规范性.如证明线面平行时,仍需要表明一条直线在平面内、另一条直线在平面外.【例1】(1)若直线l的方向向量为a,平面α的法向量为n,能使l∥α的是()(A)a=(1,0,0),n=(-2,0,0)(B)a=(1,3,5),n=(1,0,1)(C)a=(0,2,1),n=(-1,0,-1)(D)a=(1,-1,3),n=(0,3,1)(2)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,PC=2,在四边形ABCD中,∠B=∠C=90°,AB=4,CD=1,点M在PB上,PB=4PM,PB与平面ABCD成30°的角.求证:①CM∥平面PAD;②平面PAB⊥平面PAD.【解题指南】(1)验证是否成立即可.(2)建立空间直角坐标系.①可证明与平面PAD的法向量垂直;也可将分解为平面PAD内的两个向量的线性组合,利用共面向量定理证明.②取AP中点E,利用向量证明BE⊥平面PAD即可.0anCMCM【规范解答】(1)选D.若l∥α,则a•n=0.经验证知,D满足条件.(2)由题意可知:以C为坐标原点,CB所在直线为x轴,CD所在直线为y轴,CP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.∵PC⊥平面ABCD,∴∠PBC为PB与平面ABCD所成的角,∴∠PBC=30°.∵PC=2,∴∴D(0,1,0),B(,0,0),A(,4,0),P(0,0,2),M(),∴①方法一:令n=(x,y,z)为平面PAD的一个法向量,则即BC23,PB4.232333,0,22DP0,1,2,DA23,3,0,33CM(,0,),22DP0,DA0,nny2z0,23x3y0,1zy,23xy,2令y=2,得n=(-,2,1).∵∴n⊥,又CM平面PAD,∴CM∥平面PAD.方法二:∵,假设∥平面PAD,则存在x,y使,则333CM32010,22nPD0,1,2,PA(23,4,2)CMxPDyPACMCM,方程组的解为∴由共面向量定理知与共面,故假设成立,又∵CM平面PAD,∴CM∥平面PAD.323y20x4y32x2y2x11y4,1CMPDPA4CMPDPA、②取AP的中点E,连接BE,则E(,2,1),=(-,2,1).∵PB=AB,∴BE⊥PA.又∵∴,∴BE⊥DA,又PA∩DA=A.∴BE⊥平面PAD,又∵BE平面PAB,∴平面PAB⊥平面PAD.33BEBEDA(321)(2330)0,,,,,BEDA【反思·感悟】1.利用空间向量解决空间中线面位置关系的证明问题,以代数运算代替复杂的空间想象,为解决立体几何问题带来了简捷的方法.2.用空间向量解决立体几何问题的关键是建立适当的坐标系,并准确地确定点的坐标,另外运算错误也是解题中常出现的问题.用空间向量求空间角【方法点睛】1.异面直线所成角的求法利用空间向量求异面直线所成的角可利用直线的方向向量转化成向量所成的角.2.利用向量求线面角的方法(1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量,转化为求两个方向向量的夹角(或其补角);(2)通过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角,取其余角就是斜线和平面所成的角.3.求二面角的常用方法(1)分别求出二面角的两个面所在平面的法向量,然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小,但要注意结合实际图形判断所求角的大小.(2)分别在二面角的两个平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量,则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.【例2】(2012•天津模拟)如图,在五面体ABCDEF中,FA⊥平面ABCD,AD∥BC∥FE,AB⊥AD,M为EC的中点,AF=AB=BC=FE=(1)求异面直线BF与DE所成角的大小;(2)证明:平面AMD⊥平面CDE;(3)求二面角A-CD-E的余弦值.1AD.2【解题指南】(1)通过求向量的夹角来求异面直线所成的角;(2)证,进而得可得结论成立;(3)利用两平面法向量的夹角求二面角的大小.【规范解答】如图所示,建立空间直角坐标系,点A为坐标原点.设AB=1,依题意得B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),E(0,1,1),F(0,0,1),M(,1,).CEAMCEAD,BF,DECEAMCEAD,,1212(1)于是所以异面直线BF与DE所成角为60°.(2)由可得所以CE⊥AM,CE⊥AD.又AM∩AD=A,故CE⊥平面AMD.BF1,0,1,DE0,1,1,BFDE0011cosBF,DE.222BFDE〈〉11AM(,1,)CE1,0,1AD0,2,022,,,CEAM0CEAD0.,又CE平面CDE,所以平面AMD⊥平面CDE.(3)令平面CDE的法向量为u=(x,y,z),则于是令x=1,可得u=(1,1,1)又由题设知平面ACD的一个法向量为v=(0,0,1).则cos〈u,v〉=由条件知二面角为锐角,故所求二面角的余弦值为.CE0,DE0.uuxz0,yz0.330013.331uvuv【反思·感悟】1.异面直线的夹角与向量的夹角不同,应注意思考它们的联系和区别;2.直线与平面的夹角可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角,由于向量方向的变化,所以要注意它们的区别与联系;3.用平面的法向量求二面角的大小时,一定要注意结合图形判断二面角是锐角还是钝角.求空间距离【方法点睛】求平面α外一点P到平面α的距离的步骤(1)求平面α的法向量n;(2)在平面α内取一点A,确定向量的坐标;
本文标题:2013届高考数学(理)一轮复习课件:7.8立体几何中的向量方法(人教A版)
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