数理方程课件——第02章---行波法

王常斌王常斌第一章第一章方程的建立与方程的一般概念方程的建立与方程的一般概念第二章第二章行波法行波法第三章第三章固有值问题与特殊函数固有值问题与特殊函数第四章第四章分离变量法分离变量法第五章第五章积分变换法积分变换法第六章第六章GreenGreen函数函数数数理理方方程程本章主要研究本章主要研究波动方程的初值问题波动方程的初值问题————CauchyCauchy问题问题的的解法。解法。第二章第二章行波法行波法从物理学上讲从物理学上讲，弦振动方程即一维波动方解可表示成，弦振动方程即一维波动方解可表示成左、右传播波的叠加，用此方法求解定解问题，称为左、右传播波的叠加，用此方法求解定解问题，称为行波行波法法，也称为，也称为DD’’AlembertAlembert（（达朗贝尔达朗贝尔）法；）法；从数学上讲从数学上讲，就是首先求出方程的通解，再由给定的，就是首先求出方程的通解，再由给定的初始条件确定定解问题的解。初始条件确定定解问题的解。在本章中还将介绍三维波动方程在本章中还将介绍三维波动方程CauchyCauchy问题的球面均问题的球面均值法和二维波动方程值法和二维波动方程CauchyCauchy问题的降维法。问题的降维法。第二章第二章行波法行波法2.22.2反射波法反射波法2.12.1一维齐次波动方程的一维齐次波动方程的CauchyCauchy问题问题2.32.3一维非齐次波动方程的一维非齐次波动方程的CauchyCauchy问题问题2.52.5二维波动方程的二维波动方程的CauchyCauchy问题问题第二章第二章行波法行波法2.42.4三维波动方程的三维波动方程的CauchyCauchy问题问题2.12.1一维齐次波动方程的一维齐次波动方程的CauchyCauchy问题问题2.1.12.1.1DD’’AlembertAlembert公式公式2.1.22.1.2解的物理意义解的物理意义2.1.32.1.3依赖区域、影响区域和决定区域依赖区域、影响区域和决定区域2.1.42.1.4其他其他CauchyCauchy问题举例问题举例2.12.1一维齐次波动方程的一维齐次波动方程的CauchyCauchy问题问题对于无界弦的自由振动，可归结为下列初值问题对于无界弦的自由振动，可归结为下列初值问题2.1.12.1.1DD’’AlembertAlembert公式公式2,(,0)(),(,00),)(tttxxuxuauxxtxxu求解方法：求解方法：首先将方程化为双曲第一类标准形式，求出方程的首先将方程化为双曲第一类标准形式，求出方程的通解，再由初始条件确定定解问题的解。通解，再由初始条件确定定解问题的解。1.1.化标准型及求通解化标准型及求通解2.12.1一维齐次波动方程的一维齐次波动方程的CauchyCauchy问题问题特征线为特征线为2ttxxuau211122201,,aaaa22d0dxat特征方程为特征方程为d0dd0dxatxat特征线方程为特征线方程为12xatcxatc令令xatxat2111222dd20ddyyaaaxx2.12.1一维齐次波动方程的一维齐次波动方程的CauchyCauchy问题问题xatxat2ttxxuau22222xxxtttuuuuuauauuaauauuuauaauauuauua0u()uf(,)()d()ufG(,)()()uxtFxatGxat2.2.确定定解问题的解确定定解问题的解2.12.1一维齐次波动方程的一维齐次波动方程的CauchyCauchy问题问题代入初始条件得代入初始条件得(,)()()uxtFxatGxat(,0)()(,0)()tuxxuxx()()))(()()(xFxGaFxxGxx0()()()1dxxCaFxGx00()()()()11d2221())1(d222xxxxxxCaCaFxGx2.12.1一维齐次波动方程的一维齐次波动方程的CauchyCauchy问题问题还原自变量得还原自变量得00()()(11d2221()())(d222)1xatxxatxxatxCaCatFxatGxaat(,)()()uxtFxatGxat2.12.1一维齐次波动方程的一维齐次波动方程的CauchyCauchy问题问题00()()(11d2221()())(d222)1xatxxatxxatxCaCatFxatGxaat11(,)()()()d22xatxatuxtxatxata————DD’’AlembertAlembert公式公式2.12.1一维齐次波动方程的一维齐次波动方程的CauchyCauchy问题问题21,CC（（33）根据积分的连续性，可见解连续地依赖初始条件，）根据积分的连续性，可见解连续地依赖初始条件，因此解也是因此解也是稳定稳定的。的。（（11）可以证明，当）可以证明，当时，上式确定的时，上式确定的uu确确是一维齐次波动方程是一维齐次波动方程CauchyCauchy问题的解。问题的解。说明了定解问题的说明了定解问题的存在性存在性。。(),()xatxat（（22）由于变换）由于变换的的可逆性可逆性和上和上述推导过程的述推导过程的确定性确定性，以及解完全由初始条件所确，以及解完全由初始条件所确定，所以给出的解是定解问题的定，所以给出的解是定解问题的唯一解唯一解。。2.12.1一维齐次波动方程的一维齐次波动方程的CauchyCauchy问题问题通过上面的讨论，我们看到只要定解条件满足一定的通过上面的讨论，我们看到只要定解条件满足一定的条件，双曲型方程条件，双曲型方程CauchyCauchy问题的解就是适定的。但椭圆型问题的解就是适定的。但椭圆型方程的方程的CauchyCauchy问题就不具备适定性。问题就不具备适定性。下面的例子将说明这下面的例子将说明这一点。一点。例例2.1.12.1.1考察椭圆型方程的考察椭圆型方程的CauchyCauchy问题问题是该问题的是该问题的解解。。(,0)01(,0)in0sttxxtuxuxuunxn2.12.1一维齐次波动方程的一维齐次波动方程的CauchyCauchy问题问题21(,)shsinuxtntnxn容易证明容易证明y=shxyxOy=chxeesh2xxx21sin01shsin0nnxnnnxnxn×2.12.1一维齐次波动方程的一维齐次波动方程的CauchyCauchy问题问题当当nn充分大时，解函数还可能很大，这就是说当初始充分大时，解函数还可能很大，这就是说当初始值有微小变化时，解可能有较大的变化，所以这个解是不值有微小变化时，解可能有较大的变化，所以这个解是不稳定的，因此，这样的稳定的，因此，这样的CauchyCauchy问题是不适定的，这是著名问题是不适定的，这是著名的的HadamardHadamard例子。例子。例例2.1.22.1.2求求CauchyCauchy问题问题2(,0)sin(),(,,0)0,20ttxtxuxxuxtuxuxa2.12.1一维齐次波动方程的一维齐次波动方程的CauchyCauchy问题问题解，根据解，根据DD’’AlembertAlembert公式，公式，11(,)()()2d22sincossi2nsinxatxatxatuxtxatxaxtytya()sin()2xxxx2.12.1一维齐次波动方程的一维齐次波动方程的CauchyCauchy问题问题2.1.12.1.1DD’’AlembertAlembert公式公式2.1.22.1.2解的物理意义解的物理意义2.1.32.1.3依赖区域、影响区域和决定区域依赖区域、影响区域和决定区域2.1.42.1.4其他其他CauchyCauchy问题举例问题举例2.12.1一维齐次波动方程的一维齐次波动方程的CauchyCauchy问题问题都是方程的解都是方程的解2.1.22.1.2解的物理意义解的物理意义(,)()()uxtFxatGxat由式由式2ttxxuau12(,)()(,)()uxtFxatuxtGxat且且设设12(,)(,)(,)uxtuxtuxt11(,)()()()d22xatxatuxtxatxata方程的解方程的解2.12.1一维齐次波动方程的一维齐次波动方程的CauchyCauchy问题问题首先考察首先考察(,)()uxtGxatux0t0ttO20xat2x10xat1x表示初始时刻振动状态表示初始时刻振动状态;;表示表示tt00时刻振动状态。时刻振动状态。(,0)()uxGx00(,)()uxtGxat随着随着tt的增大，将逐渐地往右的增大，将逐渐地往右平行移动。故称平行移动。故称(,)()(,)()uxtGxtuxtGxtaa右行波右行波左行波左行波左行波与右行波左行波与右行波的叠加来构造解的叠加来构造解的方法的方法——行波法行波法解解问题归结为问题归结为21(,,0),(00,0)018,tttxxuxuxutuaxx2.12.1一维齐次波动方程的一维齐次波动方程的CauchyCauchy问题问题例例2.1.32.1.3初始位移引起的波初始位移引起的波1(,0)18uxx一个无限长弦的初始位移为一个无限长弦的初始位移为从从静止静止开始运动，求其任意时刻弦的位移开始运动，求其任意时刻弦的位移..2.12.1一维齐次波动方程的一维齐次波动方程的CauchyCauchy问题问题取取，弦的位移如图示。，弦的位移如图示。11(,)()()()d22xatxatuxtxatxata21(),()018xxx由由DD’’AlembertAlembert公式公式221(,)2()111818()uxtxatxat得得0.0,0.5,1.0at2.12.1一维齐次波动方程的一维齐次波动方程的CauchyCauchy问题问题0.0at0.5at1.0at22118()111(,)28()xatxatuxt2.12.1一维齐次波动方程的一维齐次波动方程的CauchyCauchy问题问题2.1.12.1.1DD’’AlembertAlembert公式公式2.1.22.1.2解的物理意义解的物理意义2.1.32.1.3依赖区域、影响区域和决定区域依赖区域、影响区域和决定区域2.1.42.1.4其他其他CauchyCauchy问题举例问题举例2.12.1一维齐次波动方程的一维齐次波动方程的CauchyCauchy问题问题2.1.32.1.3依赖区域、影响区域和决定区域依赖区域、影响区域和决定区域考察问题：考察问题：解解uu((xx,,tt))的值与的值与xx轴哪些点的轴哪些点的初始值初始值有关有关??研究研究CauchyCauchy问题的解与初始条件之间的关系。问题的解与初始条件之间的关系。1(,)()()21()d2xatxatuxtxatxataux0t0ttO20xat2x10xat1x000000000011(,)()()()d22