宏观经济学-数学基础-3-动态规划

1第一部分高级宏观经济学的数学基础高级宏观经济学中许多模型用到了动态最优化理论。这一部分主要介绍动态最优化理论的基本原理和方法，作为学习高级宏观经济学的必要准备知识。动态最优化理论主要包括变分法、最优控制论和动态规划。第三讲动态规划前面两节介绍了用变分法和最优控制理论（即极大值原理）求解动态最优化问题（我们主要介绍的是连续时间问题）。同样，动态最优化问题也可以用动态规划方法来求解。动态规划是美国数学家贝尔曼1957年提出的，同最优控制论一样，动态规划也被说成现代变分法。动态规划包括离散时间和连续时间两种情形，它在解决离散时间问题时较为方便，我们这里重点讲离散时间下的方法。此外，动态规划可以解决确定性条件下和不确定条件下的动态最优化问题，与变分法和最优控制相比，动态规划是求解不确定下动态最优化问题很方便的工具，但由于要涉及大量其他数学工具以及课程时间所限，我们这里只介绍解决确定性问题的方法。一、动态规划原理与贝尔曼方程（一）动态规划问题的特点2（二）贝尔曼方程34二、离散时间无限界期的动态规划贝尔曼方程的形式5动态规划的解三、经济学应用：新古典增长模型中的消费者最优化问题模型设定消费者储存资本并进行投资，即消费者的财富是以资本的形式表示的。在每一期里，消费者都会把资本租给厂商并向厂商出售自己的劳动。假设劳动并不会给消费者带来任何负效用，因此，不论工资率为多少，劳动供给始终是1单位。消费者实际上就相当于在求解如下一个跨期最优化问题：61,0max()ttttcktUcs.t.1(1)tttttckwrk0lim0(1)tttttkr这里，0k给定，tw是工资率，tr是资本的租金率。如果把消费者的这个最优化问题用贝尔曼方程的方法表示出来，为11,()max[()()]tttttckvkucvks.t.1(1)tttttckwrk（1）0lim0(1)tttttkr把约束条件（1）代入目标函数中，有111()max[(1)]()tttttttkvkuwrkkvk（2）式（2）的一阶条件（对1tk求偏导）是11[(1)]()0tttttuwrkkvk（3）让式（2）两边对tk求偏导，并应用包络定理，可以得到1()[(1)](1)ttttttvkuwrkkr（4）把式（4）往后挪一期，有111121()[(1)](1)ttttttvkuwrkkr（5）用式（5）代替式（3）中的1()tvk，可以得到11()()(1)0tttucucr该方程就是实现消费者最优的欧拉方程。