线代重修第三章矩阵的初等变换与线性方程组

第三章矩阵的初等变换与线性方程组知识点：矩阵的初等变换、矩阵的秩初等矩阵线性方程组的解学习目标:1.掌握矩阵的初等变换.2.理解矩阵秩的概念及求法.3.理解齐次线性方程组有非零解的充要条件，理解非齐次线性方程组有解的充要条件.4.掌握用行初等变换求线性方程组通解的方法.一、填空题1.设mn矩阵A，且()RAr，D为A的一个1r阶子式，则D__0___.2.设3阶方阵A的秩为2，矩阵010100001P，100010101Q，若矩阵BPAQ，则()RB.3.已知11610251121Akk，且其秩为2，则k___3___4.设nnijaA，且非齐次方程组bAx有唯一解向量，则增广矩阵bA的秩r___n____.5.已知33ijaA的逆矩阵2454035311A，那么方程组321332233131322223121312213111xaxaxaxaxaxaxaxaxa的解1538321xxx二、选择题1.已知A有一个r阶子式不等于零，则()RA(D)A.rB.1rC.rD.r2.设A为34矩阵，若矩阵A的秩为2，则矩阵3TA的秩等于（B）A．1B．2C．3D．43.设A是n阶阵，且ABAC，则由(A)可得出BC.A.0AB.0AC.()RAnD.A为任意n阶矩阵4．若方程组0Ax有非零解，则方程组bAx必（B）A.有唯一解B.不是唯一解C.有无穷多解D.无无穷多解5．线性方程组AX0只有零解，则AXbb()0（B）A.有唯一解B.可能无解C.有无穷多解D.无解6.设线性方程组bAX有唯一解，则相应的齐次方程组0AX（C）A．无解B．有非零解C．只有零解D．解不能确定7．非齐次线性方程bXAnm有无穷多解的充要条件是（D）A．nmB．(,)RAbnC．()(,)RARAbD．()(,)RARAbn8.设线性方程组bxA中，若(,)4RAb，()3RA，则该线性方程组（B）A．有唯一解B．无解C．有非零解D．有无穷多解9.设矩阵111121231A的秩为2，则（B）A.2B.1C.0D.-110.设,AB均为3阶矩阵，若A可逆，()2RB，那么()RAB（C）A．0B．1C．2D．311.设3阶方阵A的秩为2，则与A等价的矩阵为（B）A．000000111B．000110111C．000222111D．333222111三、将下列矩阵化成最简形矩阵：1.7931181315112.111212122012（练习）四、设033110123A，且2ABAB，求B。解：2(2)ABABAEBA233033013253(2)110110110110121123011033AEA002220001110100033110110100033010123011033010123001110所以033123110B五、试利用矩阵的初等变换求方阵323513123的逆矩阵。解：100010001323513123~101011001200410123~1012002110102/102/3023~2/102/11002110102/922/7003~2/102/11002110102/33/26/7001故逆矩阵为21021211233267六、设113122214A132231B求X使AXB解因为132231113122214),(BA412315210100010001~r所以4123152101BAX七、求矩阵815073131213123的秩并求一个最高阶非零子式解815073131223123(下一步r1r2r22r1r37r1)~15273321059117014431(下一步r33r2)~0000059117014431矩阵的秩是271223是一个最高阶非零子式八、ba,取什么值时，线性方程组4234321321321xbxxxbxxxxax有解？有解时，何时有唯一解？何时有无穷个解？解：114114114101211311310121141214001001001aaabbabbbb10121012011420114200100(1)1(24)aaaabbaba当1,0ab时，)(AR=3)~(AR，有唯一解；当0b时，3)~(,2)(ARAR，无解；当1,21ab时，2)~()(ARAR，有无穷多个解；当1,21,0ab时，3)~(,2)(ARAR，无解.