线性代数期末考试练习

线性代数练习———————————————————————————————————1、1011100111A，则1)(TA=。2、设A、B都是3阶方阵，detA=2,detB=3,那么det((detA)B)=。3、32,)3,0,1(,)2,1,2(则=。4、一个向量组与它的极大线性无关组是。5、n阶矩阵A相似于n阶对角矩阵的充分必要条件是。三、计算题（每小题12分，共60分）1、设A=1)(,110011001A求。2、设矩阵A=101020101，矩阵X满足AX+E=A2+X，求detX。3、求齐次线性方程组13020231321321xxxxxxxx的一个基础解系。4、确定321,,的一个极大线性无关组，其中)3,1,3(),1,1,1(),1,0,1(3215、设A=10,2221A求。四、证明题（10分）设n阶方阵满足A2=2A，证明A的特征值为0或2。1、设A,B为n阶方阵，则有(A)det(A+B)=detA+detB(B)det(A-B)=detA–detB(C)det(AB)=det(BA)2、如果D＝,324324324,13332313123222121131211111333231232221131211aaaaaaaaaaaaDaaaaaaaaa那么D1=()。（A）12(B)－12(C)－243、设A为m×n矩阵且r(A)=rmn，则下面不成立的项是（）。（A）A中每个阶数大于r的子式都为0。（B）A经过初等变换可化为000rE。（C）A是不可逆矩阵。4、向量组)2(,,,21ss线性相关的充要条件是（）。（A）s,,,21中至少有一个零向量。（B）s,,,21中至少有两个向量成比例。（C）s,,,21中至少有一个向量可由其余向量线性表出。5、21,都是n阶矩阵A的特征值，21,且21与分别是对应于21与的特征向量，当（）时，2211kk必是A的特征向量。(A)01k且02k（B）021kk（C）01k而02k二、填空题（每小题3分，共15分）1、n1011=。2、若detA=2,detB=3,那么ABA000000的行列式是。3、若n阶方阵A的每一行元素的和为2005，那么A一定有特征值。4、若向量组s,,,21的秩为2，而21,的对应分量不成比例，则是s,,,21的一个极大线性无关组。5、设方程组211111111321xxxaaa有无穷多个解，则a=.三、计算题（每小题12分，共60分）1、设A是一个3阶可逆方阵，detA=2,求123AA的行列式。2、k为何值时，线性方程组4242212321321xxxkxkxxkxxx有唯一解，无解，有无穷多组解？在有无穷多组解时，求出其解。3、设)3,1,1,2()1,1,0,1(),1,1,1,0(),1,1,0,1(4321求4321,,,的秩。4、设A=XAXA2,1001101111,求X.5、设A=3221求A的特征值与特征向量。四、证明题（10分）证明：线性方程组313232121axxaxxaxx有解的充要条件是0321aaa1、如果122211211aaaa，则下列（）是方程组002222111211byaxabyaxa的解。(A)221111222121,babayababx(B)221111222121,babayababx(C)221111222121,babayababx2、设A是3阶方阵，detA=2,那么detA等于（）(A)2(B)4(C)83、设321,,是四元非齐次线性方程组AX=b的三个解向量，且r(A)=3，TT)3,2,1,0(,)4,3,2,1(321,c表示任意常数，则线性方程组AX=b的通解X为（）。(A)TTc)1,1,1,1()4,3,2,1((B)TTc)3,2,1,0()4,3,2,1((C)TTc)5,4,3,2()4,3,2,1(4、n阶矩阵可逆的充要条件是（）（A）A的列秩为n。（B）A的每个行向量都是非零向量。（C）A的每个行向量都是非零向量。5、3阶矩阵A~B，detA=2,那么2B的所有特征值之积等于（）。(A)2(B)8(C)16二、填空题（每小题3分，共15分）1、设A、B为三阶方阵，其中A=11202314,110121211kB，且已知存在三阶方阵X，使得AX=B,则k=。2、若二阶方阵A的特征值为2，0，则A2的特征值为。3、若s,,,21的秩为2，则321,,一定是线性关。4、若10阶方阵A的秩为5，则AA=。5、2121,bbaa=。三、计算题（每小题12分，共60分）1、解矩阵方程200010101,100010103,2BAxBAX其中2、设,1112A求A20。3、解线性方程组111221321321xxxxxxxxx（其中为参数）4、设A=1,043021100A求5、已知向量组1,2,1t，0,,22t，1,1,13，试求出t为何值时，向量组1，2，3线性相关或线性无关。四、证明题（10分）证明0111333cbacba的充要条件是0cba。