线性代数期末考试试题

线性代数期末考试试题一单项选择题（每题3分，共18分）1．设为实矩阵,则线性方程组只有零解是矩阵为正定矩阵的（）(A)充分条件；(B)必要条件；(C)充要条件；(D)无关条件。2．已知为四维列向量组，且行列式，，则行列式（）(A)40；(B)－16；(C)－3；(D)－40。3．设向量组线性无关，且可由向量组线性表示，则以下结论中不能成立的是（）(A)向量组线性无关；(B)对任一个，向量组线性相关；(C)存在一个，向量组线性无关；(D)向量组与向量组等价。4．已知为阶可逆矩阵（），交换的第1，2列得，为的伴随矩阵，则（）(A)交换的第1，2行得；(B)交换的第1，2行得；(C)交换的第1，2列得；(D)交换的第1，2列得。5．设为阶可逆矩阵，为的伴随矩阵，则（）(A)；(B)；(C)；(D)。6．设是方程组的基础解系，下列解向量组中也是的基础解系的是（）(A)；(B)；(C)；(D)。二填空题（每题3分，共18分）1．已知列向量是矩阵的对应特征值的一个特征向量。则＝，＝，＝。2．设维列向量，其中。已知矩阵可逆,且，则_________。3．已知实二次型正定，则常数的取值范围为________________。4．设矩阵，是中元素的代数余子式。已知，，且，则。5．设,，其中是非齐次线性方程组的解，已知为矩阵，且。则线性方程组的通解为。6．设，已知相似于对角阵，则=，=。三计算题（每题8分，共48分）1．设，计算阶行列式。2．设线性方程组为，试问取何值时，此线性方程组无解，有唯一解，有无穷多解？当其有无穷多解时，求其通解。3．设为4阶方阵，其中为4维列向量，且线性无关，。已知向量，试求线性方程组的通解。4．已知为阶矩阵，且满足，其中。求矩阵。5．已知；都是线性空间的基，，在基和下的坐标分别为和，且，其中：；。试求：(1)；(2)基（用线性表示）。6．设实二次型。求：正交变换，将化为标准型。四证明题（每题8分，共16分）1．设矩阵，试证明：(1)存在矩阵，使得的充分必要条件为秩；(2)若，矩阵，满足，则。2．设是阶矩阵,是的特征多项式。证明:矩阵可逆的充分必要条件为的特征值都不是的特征值。参考答案一选择题1.(C)2.(D)3.(B)4．(B)5.(A)6.(C)二填空题1．-1,-3,0；2．；3．；4．；5．；6．。三计算题1.。2.无解；唯一解；无穷多解，通解为。3.，线性无关，，解得。4．；。5．（1），（2）。6．；。四证明题1．(1)，有非零解；(2)若，只有零解，，所以，因此。2．设是矩阵的特征值，，则，于是，行列式故都不是的特征值。