线性代数第三章习题

第三章矩阵的初等变换与线性方程组一、填空题1.设4阶方阵A的秩为2，则其伴随矩阵*A的秩为．2.设n阶方阵A经有限次第三种初等变换化成B，则B3.若线性方程组414343232121axxaxxaxxaxx有解，则常数4321,,,aaaa应满足条件．4.设一线性方程组的增广矩阵为04103520121则β时，方程组有无穷多解?5.设n(n2)阶方阵aaaA111111的秩等于n-1，则a=二、选择题1.设333231232221131211aaaaaaaaaA，133312321131131211232221aaaaaaaaaaaaB，1000010101P，1010100012P，则必有BPAPA21)(．BPAPB12)(．BAPPC21)(．BAPPD12)(．2.设A是nm矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r，矩阵ACB的秩为1r，则1)(rrA．1)(rrB．1)(rrC．rD)(与1r的关系依C而定．3.设BA,都是n阶非零矩阵，且0AB，则A和B的秩)(A必有一个等于零．)(B都小于n．)(C一个小于n，一个等于n．)(D都等于n．4.非齐次线性方程组bAx中未知量个数为n，方程个数为m，系数矩阵A的秩为r，则mrA)(时，方程组bAx有解．nrB)(时，方程组bAx有惟一解．nmC)(时，方程组bAx有惟一解．nrD)(时，方程组bAx有无穷多解．5.设A是nm矩阵，0Ax是非齐次线性方程组bAx所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是)(A若0Ax仅有零解，则bAx有惟一解．)(B若0Ax有非零解，则bAx有无穷多个解．)(C若bAx有无穷多个解，则0Ax仅有零解．)(D若bAx有无穷多个解，则0Ax有非零解．6.已知21,是非齐次线性方程组bAx的两个不同的解，21,是对应齐次线性方程组0Ax的基础解系，21,kk为任意常数，则方程组bAx的通解（一般解）必是2)(2121211kkA．2)(2121211kkB．2)(2121211kkC．2)(2121211kkD．三、解答题1.利用初等变换求矩阵A的逆矩阵1111111111111111A2.确定下列线性方程组中k的值满足所要求的解的个数.12524zyxzyxkzyx有无穷多解:3.证明:如果对所有的实数x均有ax2+bx+c=0,那么a=b=c=0.4.设一线性方程组的增广矩阵为32223411121求α的值使得此方程组有唯一解.5.一城市局部交通流如图所示.(单位:辆/小时)300200150350x1x2x3x5x41)建立数学模型2)要控制x2至多200辆/小时,并且x3至多50辆小时是可行的吗?6.在应用三的货物交换经济模型中,如果交换系统由下表给出,试确定农作物的价值x1,农具及工具的价值x2,织物的价值x3的比值.313131313131313131CMFCMF7.设矩阵1111111111111kkkA且3)(Ar，求k.8.设)3(nn阶矩阵，1111aaaaaaaaaaaaA,若矩阵A的秩为1n，求a.9.设A是34矩阵，且A的秩2)(Ar，而301020201B，求)(ABr.10.设n阶方阵AA2，BB2，且BAI可逆，证明：秩A秩B.11.设A是n阶可逆矩阵，将A的第i行和第j行对换后得到的矩阵记为B（1）证明B可逆；（2）求1AB.12.设44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaA，41424344313233342122232411121314aaaaaaaaaaaaaaaaB，00010100001010001P，10000010010000012P，其中A可逆，求1B.13.已知线性方程组2321321321424txtxxxxxtxxx，讨论t取不同的值时，线性方程组的解的情况，并求解.14．已知线性方程组000322212321321xcxbxacxbxaxxxx，问：（1）a，b，c满足何种关系时，线性方程组仅有零解.（2）a，b，c满足何种关系时，线性方程组有无穷多组解，并用基础解系表示全部解.15．设线性方程组I004221xxxxII00432321xxxxxx，求方程组I和II的公共解.16．已知下列非齐次线性方程组)(I3314623214321421xxxxxxxxxx)(II121125434324321txxxxnxxxmxx（1）求解方程组)(I，用其导出组的基础解系表示通解.（2）当方程组)(II中的参数m，n，t为何值时，方程组)(I和)(II同解.17．设nnnnnnbababababababababaA212221212111其中0ia，0ib),,2,1(ni，求矩阵A的秩)(Ar.18．已知方程组03121232121321xxxaa无解，求a.19．若线性方程组414343232121axxaxxaxxaxx有解，则常数1a，2a，3a，4a应满足什么条件.20．设7600054000320001A，E为4阶单位阵，且)()(1AEAEB，求1)(BE及BE.21．已知3阶方阵0B，且B的每一个列向量都是以下方程组的解：03022022321321321xxxxxxxxx（1）求的值；（2）证明0B.