线性代数第五章二次型习题

1第五章二次型11．用矩阵记号表示下列二次型:(1)yzzxzyxyxf4244222;(2);4427222yzxzxyzyxf(3).46242423241312124232221xxxxxxxxxxxxxxf解(1)zyxzyxf121242121),,(．(2)zyxzyxf722211211),,(．(3)432143211021013223111211),,,(xxxxxxxxf．12．求一个正交变换将下列二次型化成标准形:(1)322322214332xxxxxf;(2)43324121242322212222xxxxxxxxxxxxf．解(1)二次型的矩阵为320230002A320230002EA)1)(5)(2(故A的特征值为1,5,2321．当21时,解方程0)2(xEA，由0001002101202100002~EA得基础解系0011.取0011P当52时，解方程0)5(xEA，由0001100012202200035~EA得基础解系1102取212102P．2当13时，解方程0)(xEA，由000110001220220001~EA得基础解系1103取212103P，于是正交变换为3213212121021210001yyyxxx且有23222152yyyf．(2)二次型矩阵为1101111001111011A1101111001111011EA2)1)(3)(1(，故A的特征值为1,3,14321当11，32，143时，分别可得单位特征向量212121211P，212121212P，0210213P，2102104P．于是正交变换为432143212102121021212121021210212121yyyyxxxx且有242322213yyyyf．13．证明：二次型AxxfT在1x时的最大值为矩阵A的最大特征值.证明A为实对称矩阵，则有一正交矩阵T，使得3BTATn211成立．其中n,,,21为A的特征值，不妨设1最大，T为正交矩阵，则TTT1且1T，故TTTBTBTA1则AxxfTByyBTxTxTTT2222211nnyyy．其中Txy当1xxTTxy时，即122221nyyy即122221nyyy1122111)(ynnyyf最大最大．故得证．14．判别下列二次型的正定性：(1)312123222122462xxxxxxxf;(2)424131212423222162421993xxxxxxxxxxxxf4312xx解(1)401061112A,0211a，0116112，038401061112，故f为负定．(2)19631690230311211A，0111a，043111,06902031211,024A．故f为正定．15．设U为可逆矩阵,UUAT,证明AxxfT为正定二次型．4证明设),,,(212111211nnnnnnaaaaaaaaaU，nxxxx11，UxUxAxxfTTT)()(UxUxT),,,(1121211111nnnnnnnnxaxaxaxaxaxannnnnnnnxaxaxaxaxaxa11212111112212121111)()(nnnnxaxaxaxa0)(211nnnnxaxa．若“0”成立，则00111111nnnnnnxaxaxaxa成立．即对任意nxxxx11使02211nnxxx成立．则n,,,21线性相关,U的秩小于n，则U不可逆，与题意产生矛盾．于是0f成立．故AxxfT为正定二次型．16．设对称矩阵A为正定矩阵，证明：存在可逆矩阵U，使UUAT．证明A正定，则矩阵A满秩，且其特征值全为正．不妨设n,,1为其特征值，nii,,10由定理8知，存在一正交矩阵P使nTAPP21nn2121又因P为正交矩阵，则P可逆，PPT1．所以)(PQPQPQPQATTT．令UPQT)(，U可逆,则UUAT.