线性代数练习题

线性代数练习题一一、单项选择题1．3阶行列式011101110ija中元素a21的代数余子式A21=（）A．-2B．-1C．-1D．22．设n阶可逆矩阵A、B、C满足ABC=E，则B-1=（）A．A-1C-1B．C-1A-1C．ACD．CA3．设3阶矩阵A=000100010，则A2的秩为（）A．0B．1C．2D．34．设矩阵A=22211211aaaa，B=121112221121aaaaaa，P1=0110，P2=1101，则必有（）A．P1P2A=BB．P2P1A=BC．AP1P2=BD．AP2P1=B5．设向量组α1,α2,α3,α4线性相关，则向量组中（）A．必有一个向量可以表为其余向量的线性组合B．必有两个向量可以表为其余向量的线性组合C．必有三个向量可以表为其余向量的线性组合D．每一个向量都可以表为其余向量的线性组合6．设α1,α2,α3,α4是一个4维向量组，若已知α4可以表为α1,α2,α3,的线性组合，且表示法惟一，则向量组α1,α2,α3,α4的秩为（）A．1B．2C．3D．47．设α1,α2,α3是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，则下列解向量组中，可以作为该方程组基础解系的是（）A．α1,α2,α1+α2B．α1,α2,α1-α2C．α1+α2,α2+α3,α3+α1D．α1-α2，α2-α3，α3-α18．设A为3阶矩阵，且EA32=0，则A必有一个特征值为（）A．-23B．-32C．32D．239．设实对称矩阵A=120240002，则3元二次型f(x1,x2,x3)=xTAx的规范形为（）A．21z+22z+23zB．21z+22z-23zC．21z+22zD．21z-22z10．设2元二次型f(x1,x2)=xTAx正定，则矩阵A可取为（）A．2112B．2112C．1221D．1221二、填空题11.设3阶行列式D3的第2列元素分别为1，-2，3，对应的代数余子式分别为-3，2，1，则D3=___________。12.已知3阶行列式33323123222113121196364232aaaaaaaaa=6，则333231232221131211aaaaaaaaa=___________。13.设A=0121，则A2-2A+E=___________。14.设A为2阶矩阵，将A的第2列的（-2）倍加到第1列得到矩阵B.若B=4321，则A=___________。15.设3阶矩阵A=333220100，则A-1=___________。16.设向量组a1=(a,1,1),a2=(1,-2,1),a3=(1,1,-2),线性相关，则数a=___________。17.3元齐次线性方程组003221xxxx的基础解系中所含解向量的个数为___________。18.已知3阶矩阵A的特征值为0，-2，3，且矩阵B与A相似，则EB=___________。19.设2阶实对称矩阵A的特征值为1，2，它们对应的特征向量分别为α1=(1,1)T，α2=(1,k)T，则数k=___________。20.二次型f(x1,x2,x3)=(x1-x2)2+(x2-x3)2的矩阵A=___________。三、计算题21.计算4阶行列式1111111111111111aaaa.22.设2阶矩阵A=1223，P=1110，矩阵B满足关系式PB=A*P，计算行列式B.23.求向量组α1=(1,1,1,3)T，α2=(-1,-3,5,1)T，α3=(3,2,-1,4)T，α4=(-2,-6,10,2)T的一个极大无关组，并将向量组中的其余向量用该极大无关组线性表示.24.设3元齐次线性方程组0,00321321321axxxxaxxxxax（1）确定当a为何值时，方程组有非零解；（2）当方程组有非零解时，求出它的基础解系和全部解.25.设矩阵B=504313102，（1）判定B是否可与对角矩阵相似，说明理由；（2）若B可与对角矩阵相似，求对角矩阵∧和可逆矩阵P，使P-1BP=∧.26.设3元二次型f(x1,x2,x3)=21x+222x+23x-2x1x2-2x2x3，求正交变换x=Py，将二次型化为标准形.四、证明题27.设矩阵A=321000000aaa，其中a1,a2,a3互不相同，证明：与A可交换的矩阵只能为对角矩阵.线性代数练习题二一、单项选择题1.设A,B,C为同阶方阵，下面矩阵的运算中不成立．．．的是（）A.（A+B）T=AT+BTB.|AB|=|A||B|C.A（B+C）=BA+CAD.（AB）T=BTAT2.已知333231232221131211aaaaaaaaa=3，那么333231232221131211222222aaaaaaaaa=（）A.-24B.-12C.-6D.123.若矩阵A可逆，则下列等式成立的是（）A.A=*1AAB.0AC.2112)()(AAD.113)3(AA4.若A=251213，B=131224，C=211230，则下列矩阵运算的结果为3×2矩阵的是（）A.ABCB.ACTBTC.CBAD.CTBTAT5.设有向量组A：1，2，3，4，其中1，2，3线性无关，则（）A.1，3线性无关B.1，2，3，4线性无关C.1，2，3，4线性相关D.2，3，4线性相关6.若四阶方阵的秩为3，则（）A.A为可逆阵B.齐次方程组Ax=0有非零解C.齐次方程组Ax=0只有零解D.非齐次方程组Ax=b必有解7.设A为m×n矩阵，则n元齐次线性方程Ax=0存在非零解的充要条件是（）A.A的行向量组线性相关B.A的列向量组线性相关C.A的行向量组线性无关D.A的列向量组线性无关8.下列矩阵是正交矩阵的是（）A.100010001B.21110011101C.cossinsincosD.3361022336603361229.二次型正定的充要条件是为实对称阵)(AAxxTf（）A.A可逆B.|A|0C.A的特征值之和大于0D.A的特征值全部大于010.设矩阵A=4202000kk正定，则（）A.k0B.k0C.k1D.k1二、填空题11.设A=（1，3，-1），B=（2，1），则ATB=____________________。12.若kk则,012131012_____________。13.设A=310002021，则A*=_____________。14.已知A2-2A-8E=0，则（A+E）-1=_____________。15.向量组的秩为)2,1,1,0(),0,1,0,1(),2,0,1,1(321_____________。16.设齐次线性方程Ax=0有解，而非齐次线性方程且Ax=b有解,则是方程组_____________的解。17.方程组003221xxxx的基础解系为_____________。18.向量)1,2,1,(),1,,2,3(tt_____________,t则正交。19.若矩阵A=4001与矩阵B=xab3相似，则x=_____________。20.二次型3121232221321332),,(xxxxxxxxxxf对应的对称矩阵是_____________。三、计算题21.求行列式D=2267220253040431的值。22.已知A=100121,012110,1213,0132DCB,矩阵X满足方程AX+BX=D-C，求X。23.设向量组为)3,1,0,2(1，)1,1,2,3(2，)9,5,6,5(3，)5,3,4,4(4，求向量组的秩，并给出一个极大线性无关组。24.求齐次方程组取何值时,050403)4(3213121xxxxxxx有非零解？并在有非零解时求出方程组的通解。25.设矩阵A=460350361，求矩阵A的全部特征值和特征向量。26.用配方法求二次型3231232221321424),,(xxxxxxxxxxf的标准形，并写出相应的线性变换。四、证明题27.证明：若向量组,,,,,,,3232121121nn而线性无关1nn+n，则向量组为奇数线性无关的充要条件是nn,,,21。