线性代数课后习题答案1.3

习题1.31.设1112132122233132330aaaDaaaaaaa,据此计算下列行列式(要求写出计算过程):(1)313233212223111231aaaaaaaaa;(2)111312122123222231333232235235235aaaaaaaaaaaa.分析利用行列式得性质找出所求行列式与已知行列式的关系.解(1)313233212223111231aaaaaaaaa13R111213212223313233aaaaaaaaa=a.(4)方法一111312122123222231333232235235235aaaaaaaaaaaa235CC111312212322313332232323aaaaaaaaa提取公因子1113122123223133326aaaaaaaaa23C1112132122233132336aaaaaaaaa=6a.方法二注意到该行列式的第二列均为2个数的和,可用行列式的性质5将该行列式分成2个行求和,结果与方法一相同.2.用行列式性质计算下列行列式(要求写出计算过程):(1)199819992000200120022003200420052006;(2)111abcbcacab;(3)111213212223313233xyxyxyxyxyxyxyxyxy;(4)1001022003304004;(5)111112341410204004;(6)1110110110110111;(7)21141120110299;(8)222222abcaabbcabcccab.分析第(1)至第(4)小题可利用行列式性质求解;第(5)至第(9)小题是采用归结化简为上(下)三角行列式求解.解(1)19981999200020012002200320042005200632CC19981999120012002120042005121CC199811200111200411=0;(2)111abcbcacab21CC111aabcbabccabc性质40;(3)111213212223313233xyxyxyxyxyxyxyxyxy提取每行的公因子123123123123yyyxxxyyyyyy性质40;(4)10010220033040043241CCCC1000020003604008下三角形1268=96;(5)11111234141020400411113123441410201001性质213141RRRRRR11110123403919011032423RRRR1111012340031000134313()RR1111012340031010003上三角形14113()3=4.注做到()处也可以按第一列展开,再按第一列展开得:原式31044(910)413.(6)11101101101101112131RRRR111000110101011124R111001110101001132RR111001110012001143RR1110011100120003上三角形1113=3;(7)2114112011029932CC210410201102312RR6004102011023下三角形18;(8)222222abcaabbcabcccab123RRR2222abcabcabcbbcabcccab提取公因子111()2222abcbbcabcccab2131(2)(2)RbRRcR111()0000abcbcacab=3()abc.注记行列式的计算可有多种解法,限于篇幅仅列出一种（未必是最简的）,下面题目也一样,不再说明.3.用行列式性质计算下列(1)nn阶行列式(要求写出计算过程):(1)1211121122112111111nnnnnaaaabaaaabaaaab;(2)11221100000000011111nnaaaaaa.分析把行列式归结化简为上(下)三角形行列式来求解.解(1)1211121122112111111nnnnnaaaabaaaabaaaab12,iRRin1211211000000000nnaaabbb上三角形121nbbb;(2)11221100000000011111nnaaaaaa11,2,,1iiCCin1210000000000001231naaann下三角形121(1)nnnaaa;4.证明:2222222222222222(1)(2)(3)(1)(2)(3)(1)(2)(3)(1)(2)(3)aaaabbbbccccdddd=0.分析行列式的证明题是给出结果的计算题,所以从左端开始计算,推出右端即可.证左端14,3,2iiCCi2222212325212325212325212325aaaabbbbccccdddd4332CCCC22222122212221222122aabbccdd=0=右端.5.求下列多项式的根(要求写出计算过程):(1)()fx=221123122322652269xx;(2)()fx=11111111111121111111xxnx(1)n.解(1)方法一221123122322652269xx21314122RRRRRR221123010000210023xx43RR221123010000210004xx=222(1)(4)xx.所以多项式()fx的根为12xx和.方法二()fx是x的4次多项式,且可直接验证(1)(1)(2)(2)0ffff,所以()fx的根为12xx和.(2)方法一11111111111121111111xxnx12,,iRRin1111100000010000002xxnx=(1)(2)(2)xxxnx.所以多项式的根为0,1,,2.xxxn方法二()fx是x的1n次多项式,且可直接验证(0)(1)(2)0fffn,所以()fx的根为0,1,,2.xxxn6.由(1)nn阶行列式111111111=0,来说明!n个不同的n阶排列中奇排列和偶排列各占一半.证根据行列式的定义111111111=121212()12(1)nnnjjjjjnjjjjaaa1ija1212()(1)nnjjjjjj=0.所以上式中(-1)的个数和(+1)的个数一样多,(-1)是由奇排列产生的,而(+1)是由偶排列产生的.同时根据行列式的定义这里包括了所有的n阶排列,故可以得到全体n阶排列中奇排列的个数与偶排列的个数一样多,各占一半.