直线的点斜式方程教案

2014年“海珠区明珠杯决赛”参赛教案参赛选手：6号1《直线的点斜式方程》教学设计课题：§3.2.1直线的点斜式方程一、教学目标1．知识与技能（1）掌握直线的点斜式方程的推导方法，理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围；（2）理解直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊情况；（3）能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程。2.过程与方法（1）在复习“已知直角坐标系内确定一条直线的几何要素——直线上的一点和直线的斜率”和斜率公式的基础上，在问题驱动模式下通过师生共同探究，得出直线的点斜式方程；（2）在探究直线点斜式方程过程中存在的特殊与一般的关系；（3）学生通过经历探究直线点斜式方程的过程，为后续学习并掌握“求曲线方程”的一般方法奠定基础。3．情感、态度与价值观（1）学生通过直线点斜式方程的探究过程，对于其建立正确的解析几何的基本观点，特别是从（动点）轨迹思想去研究曲线方程具有重要意义和较大引导作用；（2）通过让学生体会直线的斜截式方程与一次函数的关系，进一步培养学生数形结合的思想，渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点，使学生能用联系的观点看问题。二、教学重难点1.教学重点：直线的点斜式方程的推导及应用；2.教学难点：直线的点斜式方程推导过程中直线与方程对应关系的理解，即纯粹性和完备性。三、教学分析1.教材分析：本节课是在学习了《直线的倾斜角和斜率》和《两条直线平行与垂直的判定》的基础上，学习直线方程单元序列的第一课时《直线的点斜式方程》，知识储备充分，过渡自然合理，求曲线方程的一般方法和解析几何的思想开始渗透。2.教学方法：在新课程的理念下，逐步转换师生的角色，尝试以学生为主体的探究合作式解决问题法；在有效教学理念的引领下，探索高效课堂的教学模式。3.学情分析：在学习本节课之前，学生刚刚学习了直线的斜率与倾斜角的概念，经历了探索确定直线位置的几何要素的过程，“（已知）一个点和直线方向（斜率）”就是学生已经熟悉的条件之一；过已知两点的直线的倾斜度（几何意义）可以2014年“海珠区明珠杯决赛”参赛教案参赛选手：6号2用斜率（数）刻画，这为探索直线的点斜式方程奠定了知识基础；学生之前经历了探索用代数方法表示直线斜率（几何意义）的过程，为探索直线的点斜式方程提供了可借鉴的探索经验。四、教学过程设计1.复习导入（多媒体投影）回顾1：过两个定点1212222111),(),(xxyyklyxPyxP的斜率的直线和(公式成立的条件是：）的倾斜角即直线90,21lxx回顾2：下列判断正确的有_________（1）任何一条直线都有一个对应的倾斜角；已知直线的倾斜角可以确定一条直线；（2）任何一条直线都有对应的斜率；（3）经过两定点可确定一条直线；（4）已知直线上一点和直线的斜率（或倾斜角）可确定一条直线。解析：（1）任何一条直线都有对应的倾斜角，但倾斜角相同的直线有无数条，它们互相平行，所以已知倾斜角一个几何要素确定不了一条直线（的位置），故（1）错误；（2）倾斜角为90度的直线没有斜率，故（2）错误；（3）（4）正确。问题1：既然由（3）（4）可以确定一条直线，并且平面直角坐标系内的一个定点可以用坐标即一个有序的实数对来表示，那么直线如何用代数形式来表示呢？解析：结合初中所学的关于一次函数bkxy的图像为一条直线的事实，引导学生形成一个关于直线代数形式的初步印象——关于yx,的二元一次方程。（设计意图：在学生此前已获得的知识储备和已有的认知水平的基础上，通过基本公式回顾和设置一些问题来为新课引入做好准备，不但列出接下来点斜式方程推导过程当中所需要的公式基础，而且通过设问提到一次函数的图像为直线也在思维上给学生做好铺垫即本节课所推导出的直线的代数形式为关于yx,的二元一次方程。）2.直线点斜式方程的推导过程问题2：如图，若直线l经过点定A(-1,3),斜率为-2,由（4）可知直线l就确定了，请完成以下问题：1）写出直线l上除A点之外任意一点B的坐标，能否用数字写完直线l上所有点的坐标？2）若在直线l上任取除A点之外的一点P(x,y),试写出有序实数对x,y所满足的关系式。xl)3,1(Ao),(yxPy2014年“海珠区明珠杯决赛”参赛教案参赛选手：6号3解析：1）因直线l上有无数个点，故用数字不能写完直线l上的所有点，只能去探求直线l上所有点所满足的一般规律（或关系式）；2）)1(23),1(,213),,()3,1(,xyxxykyxPAlkl故和过两点因此时的斜率为设直线问题3：将问题2推广，将点定A的坐标改为一般的已知点),,(00yx设直线l的斜率为k,则在直线l上的一个动点P(x,y)所满足的关系式又是什么？解析：根据斜率公式，可以得到，当x≠x0时，00yykxx，即y–y0=k(x–x0)（*）问题4：由以上问题3可知，直线l上的任意一点都是方程（*）的解；反之以方程（*）的解为坐标的点，是否都在直线l上呢？解析：设点),(111yxP是满足方程（2）的异于定点),(00yxA的点，则1010()yykxx即1010yykxx)(01xx这说明什么？说明直线AP1的斜率和l的斜率相同，即它们的位置要么平行，要么重合，非此即彼。也就是说点1P只可能在直线l上。若要是点),(00yxA与点),(1yxP重合呢，毫无疑问，点),(1yxP肯定在直线l上。故以方程（*）的解为坐标的点都在直线l上。直线点斜式方程公式：（投影）经过定点),(00yxA斜率为k的直线l的方程为：)(00xxkyy这个方程是由直线上一定点及其斜率确定，所以我们把它叫做直线的点斜式方程.问题5：点斜式方程能表示所有的直线吗？若不能，此时该直线怎么表示？解析：特例1：当直线l的倾斜角0时，即0k，则直线l的方程：000()yyxx即0yy特例2：当直线的斜率不存在，即倾斜角090时，直线l与x轴垂直，l上每一点的横坐标都为0x,此时直线的方程为0xxyxOP0yxOP02014年“海珠区明珠杯决赛”参赛教案参赛选手：6号4（设计意图：通过一系列“问题串”的设置，本着“从特殊到一般”的认识规律，逐步引导学生探索并导出直线点斜式方程的一般形式，并从中渗透求动点轨迹的一般方法以及推导曲线方程的一般过程，为后续直线其他形式方程及圆的方程甚至于圆锥曲线方程的学习奠定基础；同时通过对点斜式方程纯粹性和完备性的分析培养学生建立推导曲线方程的严谨性意识）3.直线点斜式方程的应用例1：1）已知直线经过点)32(，P,斜率为2，求这条直线的方程.2）已知直线l经过点)3,1(P，求（1）倾斜角为0时的直线方程：（2）倾斜角为45时的直线方程：（3）倾斜角为90时的直线方程：问题6：由以上例1第1）题可知：直线72),2(23:xyxyl即,所以直线的点斜式方程可以转化为bkxy的形式，现在我们知道x的系数k表示直线的斜率，那么b的含义是什么呢？解析：),0(,0bybkxybyx轴的交点坐标为与故直线时，当,故当直线的斜率为k且过点),0(b时其方程就为bkxy,即)0(xkby,所以也是由点斜式方程变形而来的。即为点斜式方程的一种特殊形式。直线的斜截式方程：如果直线l的斜率为k,且与y轴的交点为(0,b),则直线l的方程：)0(xkby，即bkxy，把b称为直线l在y轴上的截距,bkxy称为直线的斜截式方程。问题7：斜截式方程能表示所有的直线吗？截距是否等同于距离？解析：1）同点斜式一样斜截式方程不能表示斜率不存在即与x轴垂直的直线；2）截距b不是距离的意思，是一个可为正、负、零的常数。例2：已知直线过点。平行，求该直线的方程且与直线23),1,0(xy变式：已知直线过点。垂直，求该直线的方程且与直线23),1,0(xy（设计意图：强化并巩固新课知识即利用直线的点斜式公式求直线的方程并通过对方程形式的转化结合设问b的含义引出直线的斜截式方程，从中让学生自然的感受到斜截式方程来自于点斜式方程，体会它们的关系。）2014年“海珠区明珠杯决赛”参赛教案参赛选手：6号54.课堂小结：（1）直线的点斜式方程（已知直线的斜率及直线上一点）：00()yykxx适用范围：不能表示斜率不存在（即与横轴垂直）的直线；（2）直线的斜截式方程（已知直线的斜率及在y轴截距）：bkxy适用范围：不能表示斜率不存在（即与横轴垂直）的直线。5.思维拓展（可根据学生情况放在课后让学生探讨或供下一课时评讲）问题8：下列直线方程各表示什么几何特征的直线？32)4()3(4)3(2)2(2)1(kkxyxkykxymxy6.课后作业：课本（人教A版必修2）95页练习1，2，37.教学反思与后记：_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________