选修1-1第三章-导数及其应用导学案

第三章导数及其应用1沈丘三高高二数学导学案编写人：楚志勇审稿人：高二数学组§3.1.1变化率问题【使用课时】：1课时【学习目标】：1．感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程.体会数学的博大精深以及学习数学的意义；2．理解平均变化率的意义，为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景.【学习重点】：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率.【学习方法】：分组讨论学习法、探究式.【学习过程】：一、课前准备（预习教材P72~P74，找出疑惑之处）问题1气球膨胀率我们都吹过气球,回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢？气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是334)(rrV如果将半径r表示为体积V的函数,那么343)(VVr在吹气球问题中，当空气容量V从0增加到1L时，气球的平均膨胀率为__________当空气容量V从1L增加到2L时，气球的平均膨胀率为__________________当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率为_____________问题2高台跳水在高台跳水运动中，,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度v粗略地描述其运动状态?在5.00t这段时间里，v=_________________在21t这段时间里，v=_________________问题3平均变化率已知函数xf，则变化率可用式子_____________,此式称之为函数xf从1x到2x___________.习惯上用x表示12xx，即x=___________,可把x看做是相对于1x的一个“增量”，可用1xx代替2x，类似有)(xf__________________,于是，平均变化率可以表示为_______________________提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容hto第三章导数及其应用2二、新课导学学习探究探究任务一：问题1：气球膨胀率，求平均膨胀率吹气球时，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度如何描述这种现象?问题2：高台跳水，求平均速度新知：平均变化率：2121()()fxfxfxxx试试：设()yfx，1x是数轴上的一个定点，在数轴x上另取一点2x，1x与2x的差记为x，即x=或者2x=，x就表示从1x到2x的变化量或增量，相应地，函数的变化量或增量记为y，即y=；如果它们的比值yx，则上式就表示为，此比值就称为平均变化率.反思：所谓平均变化率也就是的增量与的增量的比值.典型例题例1过曲线3()yfxx上两点(1,1)P和(1,1)Qxy作曲线的割线，求出当0.1x时割线的斜率.变式：已知函数2()fxxx的图象上一点(1,2)及邻近一点(1,2)xy，则yx=例2已知函数2()fxx，分别计算()fx在下列区间上的平均变化率：（1）[1，3]；（2）[1，2]；（3）[1，1.1]；（4）[1，1.001]第三章导数及其应用3沈丘三高高二数学导学案编写人：周方审稿人：高二数学组§3.1.2导数的概念【使用课时】：1课时【学习目标】：1.掌握用极限给瞬时速度下的精确的定义；2.会运用瞬时速度的定义，求物体在某一时刻的瞬时速度．【学习重点】：导数概念的形成，导数内涵的理解【学习方法】：分组讨论学习法、探究式.【学习过程】：一、课前准备（预习教材P74~P76，找出疑惑之处）复习1：气球的体积V与半径r之间的关系是33()4VrV，求当空气容量V从0增加到1时，气球的平均膨胀率.复习2：高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h与起跳后的时间t的关系为：2()4.96.510httt.求在12t这段时间里，运动员的平均速度.二、新课导学学习探究探究任务一：瞬时速度问题1：我们把物体在某一时刻的速度称为________.一般地，若物体的运动规律为)(tfs，则物体在时刻t的瞬时速度v就是物体在t到tt这段时间内，当_________时平均速度的极限，即tsvx0lim=___________________105.69.42ttth0t时，在2,2t这段时间内0t时，在t2,2这段时间内探究任务二：导数问题2：瞬时速度是平均速度ts当t趋近于0时的第三章导数及其应用4得导数的定义：函数()yfx在0xx处的瞬时变化率是0000()()limlimxxfxxfxfxx，我们称它为函数()yfx在0xx处的导数，记作0()fx或0|xxy即000()()()limxfxxfxfxx注意：(1)函数应在点0x的附近有定义，否则导数不存在奎屯王新敞新疆(2)在定义导数的极限式中，x趋近于0可正、可负、但不为0，而y可以为0奎屯王新敞新疆(3)xy是函数)(xfy对自变量x在x范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线)(xfy上点（)(,00xfx）及点)(,(00xxfxx）的割线斜率奎屯王新敞新疆(4)导数xxfxxfxfx)()(lim)(0000/是函数)(xfy在点0x的处瞬时变化率，它反映的函数)(xfy在点0x处变化的快慢程度.小结：由导数定义，高度h关于时间t的导数就是运动员的瞬时速度，气球半径关于体积V的导数就是气球的瞬时膨胀率.典型例题例1将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热.如果在第xh时，原油的温度（单位：0c）为2()715(08)fxxxx.计算第2h和第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.总结：函数平均变化率的符号刻画的是函数值的增减；它的绝对值反映函数值变化的快慢.例2已知质点M按规律s=2t2+3做直线运动(位移单位：cm，时间单位：s)，(1)当t=2，Δt=0.01时，求ts.(2)当t=2，Δt=0.001时，求ts.(3)求质点M在t=2时的瞬时速度小结：利用导数的定义求导，步骤为：第一步，求函数的增量00()()yfxxfx；第二步：求平均变化率0()fxxyxx；第三步：取极限得导数00()limxyfxx.第三章导数及其应用5沈丘三高高二数学导学案编写人：楚士东审稿人：高二数学组§3.1.3导数的几何意义【使用课时】：1课时【学习目标】：通过导数的图形变换理解导数的几何意义就是曲线在该点的切线的斜率，理解导数的概念并会运用概念求导数.【学习重点】：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义.【学习方法】：分组讨论学习法、探究式.【学习过程】：一、课前准备（预习教材P76~P79，找出疑惑之处）1.曲线的切线及切线的斜率（1）如图3.1-2,当(,())(1,2,3,4)nnnPxfxn沿着曲线()fx趋近于点00(,())Pxfx时,即0x时,割线nPP趋近于确定的位置,这个确定位置的直线PT称为.（2）割线nPP的斜率是00()()nnnfxfxkxx,当点nP沿着曲线无限接近点P时,nk无限趋近于切线PT的斜率k,即k==2.导数的几何意义函数)(xfy在0xx处的导数等于在该点00(,())xfx处的切线的斜率,即0()fx=.二、新课导学学习探究探究任务：导数的几何意义1.曲线的切线及切线的斜率第三章导数及其应用6（1）如图3.1-2,当(,())(1,2,3,4)nnnPxfxn沿着曲线()fx趋近于点00(,())Pxfx时,割线nPP的变化趋势是什么？（2）如何定义曲线在点P处的切线？(3)割线nPP的斜率nk与切线PT的斜率k有什么关系？(4)切线PT的斜率k为多少？说明:(1)当0x时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;②切线斜率的本质—函数在0xx处的导数.(2)曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多.2.导数的几何意义图3.1-2第三章导数及其应用7（1）函数)(xfy在0xx处的导数的几何意义是什么？（2）将上述意义用数学式表达出来。（3）根据导数的几何意义如何求曲线在某点处的切线方程？3.导函数（1）由函数)(xfy在0xx处求导数的过程可以看到,当0xx时,0()fx是一个确定的数,那么,当x变化时,()fx便是x的一个函数,我们叫它为)(xf的导函数.注:在不致发生混淆时,导函数也简称导数.（2）函数()fx在点0x处的导数0()fx、导函数()fx、导数之间的区别与联系是什么？区别：联系：典型例题例1如图,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数2()4.96.510httt的图象.根据图象,请描述、比较曲线()ht在012,,ttt附近的变化情况.例2如图,它表示人体血管中药物浓度()cft(单位:/mgmL)随时间t(单位:min)变化的函数图象.根据图象,估计t=0.2,0.4,0.6,0.8时,血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1)当堂检测第三章导数及其应用81.求双曲线1yx在点1(,2)2处的切线的斜率,并写出切线方程.2.求2yx在点1x处的导数.※知识拓展导数的物理意义：如果把函数()yfx看做是物体的运动方程（也叫做位移公式，自变量x表示时间），那么导数0()fx表示运动物体在时刻ox的速度，，即在ox的瞬时速度.即000()limxtyvfxx而运动物体的速度()vt对时间t的导数，即0()limtvvtt称为物体运动时的瞬时加速度.学习小结函数()yfx在0x处的导数的几何意义是曲线()yfx在00(,())Pxfx处切线的斜率.即k=000()()()limxfxxfxfxx，其切线方程为三、课后练习与提高1.已知曲线22yx上一点,则点(2,8)A处的切线斜率为（）A.4B.16C.8D.23.()fx在0xx可导，则000()()limhfxhfxh（）A．与0x、h都有关B．仅与0x有关而与h无关C．仅与h有关而与0x无关D．与0x、h都无关4.若函数()fx在0x处的导数存在，则它所对应的曲线在点00(,())xfx的切线方程为5.已知函数()yfx在0xx处的导数为11，则000()()limxfxxfxx=第三章导数及其应用9沈丘三高高二数学导学案编写人：楚志勇审稿人：高二数学组§3.2.1几个常用函数导数【使用课时】：1课时【学习目标】：1.握四个公式，理解公式的证明过程；2.学会利用公式，求一些函数的导数；3.理解变化率的概念，解决一些物理上的简单问题【学习重点】：四种常见函数yc、yx、2yx、1yx的导数公式及应用【学习方法】：分组讨论学习法、探究式.【学习过程】：一、课前准备（预习教材P81~P82，找出疑惑之处）复习1：导数的几何意义是：曲线)(xfy上点（)(,00xfx）处的切线的斜率.因此，如果)(xfy在点0x可导，则曲线)(xfy在点（)(,00xfx）处的切线方程为复习2：求函数)(xfy的导数的一般方法：（1）求函数的改变量y（2）求平均变化率yx（3）取极限，得导数/y＝()fxxyx0lim=二、新课导学学习探究探究任务一：1．利用导数定义求函数()yfxc的导数，