三角函数单调性、值域练习43答案

-1-敦品励行勤学致知1．函数y＝cos2x在下列哪个区间上是减函数()A．[－π4，π4]B．[π4，3π4]C．[0，π2]D．[π2，π]解析：选C.若函数y＝cos2x递减，应有2kπ≤2x≤π＋2kπ，k∈Z，即kπ≤x≤π2＋kπ，k∈Z，令k＝0可得0≤x≤π2.2．函数y＝2sinωx＋π4(ω＞0)的周期为π，则其单调递增区间为()A.kπ－3π4，kπ＋π4(k∈Z)B.2kπ－3π4，2kπ＋π4(k∈Z)C.kπ－3π8，kπ＋π8(k∈Z)D.2kπ－3π8，2kπ＋π8(k∈Z)解析：选C.周期T＝π，∴2πω＝π，∴ω＝2.∴y＝2sin2x＋π4.由－π2＋2kπ≤2x＋π4≤2kπ＋π2，k∈Z，得kπ－38π≤x≤kπ＋π8，k∈Z.3．若函数y＝cos2x与函数y＝sin(x＋φ)在区间[0，π2]上的单调性相同，则φ的一个值是A.π6B.π4C.π3D.π2解析：选D.由函数y＝cos2x在区间[0，π2]上单调递减，将φ代入函数y＝sin(x＋φ)验证可得φ＝π2.学科数学课题三角函数单调性、值域练习学案序号43使用时间2015年5月课型复习课备课、审核教师辛卫国装订线-2-敦品励行勤学致知4.设函数f(x)＝|sin(x＋π3)|(x∈R)，则f(x)()A．在区间[2π3，7π6]上是增函数B．在区间[－π，－π2]上是减函数C．在区间[π3，π4]上是增函数D．在区间[π3，5π6]上是减函数解析：选A.f(x)的增区间为kπ≤x＋π3≤kπ＋π2(k∈Z)，即kπ－π3≤x≤kπ＋π6(k∈Z)．当k＝1，则为2π3≤x≤7π6，故在其子区间[2π3，7π6]上为增函数．5．函数y＝3tan(12x＋π4)的增区间为_______答案：(2kπ－3π2，2kπ＋π2)，(k∈Z)6．已知函数y＝tanωx在(－π2，π2)内是减函数，则ω的取值范围是________．解析：y＝tanωx在(－π2，π2)是减函数，∴ω＜0且π|ω|≥π⇒－1≤ω＜0.答案：－1≤ω＜07.求函数f(x)＝3tan(π6－x4)的周期和单调递减区间；解：(1)因为f(x)＝3tan(π6－x4)＝－3tan(x4－π6)，所以T＝πω＝π14＝4π.由kπ－π2＜x4－π6＜kπ＋π2(k∈Z)，得4kπ－4π3＜x＜4kπ＋8π3(k∈Z)．因为y＝3tan(x4－π6)在(4kπ－4π3，4kπ＋8π3)(k∈Z)内单调递增，所以f(x)＝－3tan(x4－π6)在(4kπ－4π3，4kπ＋8π3)(k∈Z)内单调递减．故原函数的周期为4π，单调递减区间为(4kπ－4π3，4kπ＋8π3)(k∈Z)．8．函数f(x)＝(13)|cosx|在[－π，π]上的单调递减区间为________．解析：只需求出y＝|cosx|在[－π，π]上的单调递增区间．答案：[－π2，0]和[π2，π]-3-敦品励行勤学致知9．下列函数中，周期为π，且在[π4，π2]上为减函数的是________(填序号)．①y＝sin(2x＋π2)；②y＝cos(2x＋π2)；③y＝sin(x＋π2);④y＝cos(x＋π2)．解析：因为函数的周期为π，所以排除③④，又因为y＝cos(2x＋π2)＝－sin2x在[π4，π2]上为增函数，所以②不符合，只有函数y＝sin(2x＋π2)的周期为π，且在[π4，π2]上为减函数．答案：①10．函数y＝2sinπ3－x－cosπ6＋x(x∈R)的单调递增区间是__________．解析：因为(π3－x)＋(π6＋x)＝π2，所以y＝2sin(π3－x)－sin(π3－x)＝sin(π3－x)＝－sin(x－π3)．由2kπ＋π2≤x－π3≤2kπ＋32π(k∈Z)，得2kπ＋56π≤x≤2kπ＋116π(k∈Z)，故原函数的单调递增区间是[2kπ＋56π，2kπ＋116π](k∈Z)．答案：[2kπ＋56π，2kπ＋116π](k∈Z)11．求下列函数的单调递增区间：(1)y＝1＋2sin(π6－x)；(2)y＝log12cosx.解：(1)y＝1＋2sin(π6－x)＝1－2sin(x－π6)．令u＝x－π6，则根据复合函数的单调性知，所给函数的单调递增区间就是y＝sinu的单调递减区间，即π2＋2kπ≤x－π6≤3π2＋2kπ(k∈Z)，亦即23π＋2kπ≤x≤53π＋2kπ(k∈Z)，故函数y＝1＋2sin(π6－x)的单调递增区间是[23π＋2kπ，53π＋2kπ](k∈Z)．(2)由cosx0，得－π2＋2kπxπ2＋2kπ，k∈Z.∵121，∴函数y＝log12cosx的单调递增区间即为u＝cosx，x∈(－π2＋2kπ，π2＋2kπ)(k∈Z)的递减区间，∴2kπ≤xπ2＋2kπ，k∈Z.故函-4-敦品励行勤学致知数y＝log12cosx的单调递增区间为[2kπ，π2＋2kπ)(k∈Z)．12．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ为实数且|φ|＜π，若f(x)≤fπ6对x∈R恒成立，且fπ2＞f(π)，求f(x)的单调递增区间．解：由f(x)≤fπ6对x∈R恒成立知2×π6＋φ＝2kπ±π2(k∈Z)，得到φ＝2kπ＋π6或φ＝2kπ－5π6(k∈Z)，代入f(x)并由fπ2＞f(π)检验得，φ的取值为－5π6，所以由2kπ－π2≤2x－5π6≤2kπ＋π2(k∈Z)，得f(x)的单调递增区间是kπ＋π6，kπ＋2π3(k∈Z)．13．已知ω＞0，函数f(x)＝sin(ωx＋π4)在(π2，π)上单调递减，则ω的取值范围是________．解析：因为ω＞0，f(x)＝sin(ωx＋π4)在(π2，π)上单调递减，所以函数f(x)＝sin(ωx＋π4)的周期T≥2(π－π2)＝π.又ω＞0，所以0＜ω≤2.因为π2＜x＜π，所以ωπ2＋π4＜ωx＋π4＜ωπ＋π4，所以0＜ω≤2，ωπ2＋π4≥π2，ωπ＋π4≤3π2，解得12≤ω≤54.答案：[12，54]14.函数y＝(12)sinx的单调递增区间为_______解析：设u＝sinx，由复合函数的单调性知求原函数的单调递增区间即求u＝sinx的单调递减区间，结合u＝sinx的图象知：2kπ＋π2≤x≤2kπ＋3π2，k∈Z.答案：[2kπ＋π2，2kπ＋3π2](k∈Z)-5-敦品励行勤学致知15．y＝sinx－|sinx|的值域是()A．[－1，0]B．[0，1]C．[－1，1]D．[－2，0]解析：选D.y＝sinx－|sinx|＝0，sinx≥02sinx，sinx0⇒－2≤y≤0.16.函数f(x)＝－2sin2x＋2cosx的最小值和最大值分别是()A．－2，2B．－2，52C．－12，2D．－52，2解析：选D.f(x)＝－2sin2x＋2cosx＝2cos2x＋2cosx－2＝2cosx＋122－52.∵－1≤cosx≤1，∴当cosx＝－12时，f(x)min＝－52，当cosx＝1时，f(x)max＝2.故选D.17.对于函数y＝sinx＋1sinx(0xπ)，下列结论正确的是()A．有最大值而无最小值B．有最小值而无最大值C．有最大值且有最小值D．既无最大值也无最小值解析：选B.∵y＝sinx＋1sinx＝1＋1sinx，又x∈(0，π)，∴sinx∈(0，1]．∴y∈[2，＋∞)，故选B.18.函数y＝tanx(－π4≤x≤π4且x≠0)的值域是()A．[－1，1]B．[－1，0)∪(0，1]C．(－∞，1]D．[－1，＋∞)解析：选B.根据函数的单调性可得．19．函数y＝|tan2x|是()A．周期为π的奇函数B．周期为π的偶函数C．周期为π2的奇函数D．周期为π2的偶函数解析：选D.f(－x)＝|tan(－2x)|＝|tan2x|＝f(x)为偶函数，T＝π2.20.函数y＝sin2x＋sinx－1的值域为()-6-敦品励行勤学致知A．[－1,1]B．[－54，－1]C．[－54，1]D．[－1，54]解析：选C.令sinx＝t，t∈[－1,1]，∴y＝t2＋t－1＝(t＋12)2－54，∵t∈[－1,1]，∴y∈[－54，1]．21．函数y＝sinx的定义域为[a，b]，值域为[－1，12]，则b－a的最大值和最小值之和为A.4π3B．2πC．4πD.3π2解析：选B.画出图象可知，b－a的最大值为4π3，最小值为2π3，∴最大值和最小值的和为4π3＋2π3＝2π22．函数y＝4cos2x＋4cosx－2的值域为A．[－2,6]B．[－3,6]C．[－2,4]D．[－3,8]解析：选B.y＝4cos2x＋4cosx－2＝4(cos2x＋cosx)－2＝4(cosx＋12)2－3.∵－1≤cosx≤1，∴ymin＝－3，ymax＝4(1＋12)2－3＝6.23.函数y＝tan(π2－x)(x∈[－π4，π4]且x≠0)的值域为()A．[－1，1]B．(－∞，－1]∪[1，＋∞)C．(－∞，1)D．[－1，＋∞)解析：选B.∵－π4≤x≤π4，∴π4≤π2－x≤3π4且π2－x≠π2.由函数y＝tanx的单调性，可得y＝tan(π2－x)的值域为(－∞，－1]∪[1，＋∞)．24.函数y＝3－sin2x－4cosx的最小值为()A．－2B．－1C．－6D．－3解析：选B.y＝3－sin2x－4cosx＝3－(1－cos2x)－4cosx＝cos2x－4cosx＋2＝(cosx－2)2－2.∵－1≤cosx≤1，∴ymin＝(1－2)2－2＝－1.-7-敦品励行勤学致知25.已知函数f(x)＝12(sinx＋cosx)－12|sinx－cosx|，则f(x)的值域是()A．[－1,1]B．[－22，1]C．[－1，22]D．[－1，－22]解析：选C.当sinx≥cosx，f(x)＝cosx，当sinx＜cosx，f(x)＝sinx，∴f(x)＝cosxsinx≥cosx，sinxsinx＜cosx.图象如图实线表示．所以值域为[－1，22]，故选C.26.函数y＝3＋3cos(2x＋π3)的值域是________．解析：－1≤cos(2x＋π3)≤1，∴0≤y≤6.答案：[0,6]27.已知函数y＝3cos(π－x)，则当x＝________时函数取得最大值．解析：当函数取最大值时，12x－π4＝2kπ(k∈Z)，x＝4kπ＋π2(k∈Z)．答案：4kπ＋π2(k∈Z)28．函数y＝sin2x－6sinx＋10的最大值是________，最小值是________．解析：令sinx＝t，t∈[－1,1]，则t2－6t＋10＝(t－3)2＋1，∴最大值为17，最小值为5.答案：17529.函数y＝3cos12x－π4在x＝________时，y取最大值．解析：当函数取最大值时，12x－π4＝2kπ(k∈Z)，x＝4kπ＋π2(k∈Z)．答案：4kπ＋π2(k∈Z)30．已知函数f(x)＝2sin(x＋π3)，x∈[0，π3]，则f(x)的值域是________解析：x∈[0，π3]，x＋π3∈[π3，23π]．sin(x＋π3)∈[32，1]，则2sin(x＋π3)∈[3，2]．答案：[3，2]31．若函数f(x)＝2sinωx(0＜ω＜1)在区间[0，π3]上的最大值为2，则ω＝________.-8-敦品励行勤学致知解析：由0＜ω＜1知，函数f(x)在[0，π3]上单调递增，所以f(π3)＝2，则可求出ω.答案：3432.函数y＝1tanx(－π4≤x≤π4且x≠0)的值域是________解析：当x∈[－π4，0)∪(0，π4]时，tanx∈[－1,0)∪(0,1]，∴y∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)．答案：(－∞，－1]∪[1，＋∞)33.f(x)＝2sinωx(0＜ω＜1)