统计热力学(班)第六章电科

５２第六章量子统计法（QuantumStatisticalMethods）§6.1玻色与费米分布（Bose&FermiDistributions）1．两种分布(Twodistributions)2.非简并性条件的讨论(Discussionaboutthenon-degeneracycondition)1．对于给定的分布la，由第一章得玻色系统的微观状态数llllllllllBaaaaW!!)!(~)!1(!)!1(费米系统的微观状态数lllllllFaaaW)!(!!要求有约束条件lllllaEaN,.下面用Lagrange未定乘子法求最概然分布，即：0)(lnENWi（1）其中i=B或F因为)()(ln)[(lnlllllllBaaaW]lnlnllllllaaa]lnln)(ln)[(lllllllllaaaa则llllllllllBaaaaaaW)1ln(]ln)[ln(ln同理lllllFaaW)1ln(ln（1）式为0)1ln(lllllaa，FB又因所有la独立，可有0)1ln(llla即leall1则1leall，DFEB分布５３可以证明:kTkT1,2．讨论非简并性条件当满足非简并性条件时lla或1e,则有llaliaWl!，则两种分布化为leall.即Boltzmann分布。由理想气体的讨论知：非简并性条件是粒子质量大、温度高、密度低.例如：金属中的电子气为强简并；理想气体为非简并.作业：选做课本7.3§6.2金属中的自由电子（FreeElectronsinMetals）1．金属中的自由电子2．费米函数(Fermifunction)3．电子热容量(Heatcapacityofelectrons)1．金属原子形成大块晶体时,价电子形成共有化电子,可视为自由电子,若利用能均分定理,可有NkCNkTEV323.由§4.5知,在低温时TCV.故需用量子理论才可.2.对于金属中的电子，应用费米分布,可得l能级上的电子数为1leall若对能级采用准连续近似,则d)(Dl，llD0d)(由第一章，电子在V内dppp内的状态数为d)(d)2(4d82/12/3323DmhVpphV,这里,)(D称为态密度.电子占据一个量子态的电子数(平均)为1111/)(kTeef,上式称为费米函数.llllfDeaNl0d)(11,(1)５４llllllDfeaEl0d)(11.(2)设0T时，化学势为0(费米能量)，则费米函数为0001f.讲解绝对零度时费米函数的物理意义!如上图，0T的性质需特别注意.当0T时，（1）式为d)2(4d)(d)(0002/12/3030mhVDfDN2/302/33)2(38mhV.3/220)3(8VNmh，（令3/10)83(2VNhmpF）mpF22，0为费米能级，Fp为费米动量.002/302/3353d)2(4d)(00NmhVgE.上式说明粒子按能量的分布不是均匀的.对于0T212121f.可计算知:])(121[2020kT.在0T时,费米能量(面)附近(kT范围)内的电子被激发到费米面以上.3.电子热容量５５这里,我们仅做估算.受激电子数/电子数~0kT,每个电子获得的能量为kT23,则电子气获得的能量为00323kTNkCkTkTNEeV而LVeVVCCC则TCCCLVeVTVT)(limlim00(电子贡献).与实验相符.估算与精确结果022kTNkCeV仅有30%的误差.课本作业：7.5-7.7.问题讨论：1、简述费米函数的物理意义。2、费米函数中的化学势是什么？3、单电子最外层有一个电子，基态时处于最低能级，当许多原子结合在一起，形成什么形式的能级？§6.3光子气体（PhotonGas）1．黑体辐射的Planck公式(Planckformulaofblack-bodyradiation)2．光子系热力学(Thermodynamicsofphotonsystem)1．光子可近似为理想气体，静止质量为零，自旋为1，光子数不守恒，0.黑体辐射：0T的任何物体可辐射（吸收和放出）电磁波（两个偏振方向），称为热辐射，C500T为可见光，C500T为红外线，只吸收电磁波的物体为黑体.典型的黑体为空腔(Cavity)，腔内辐射与吸收达平衡时，称为平衡辐射(Equilibriumradiation)，计算此时辐射场的能量按频率的分布:llhv,故lhvllhvllllehvEea11.定义态密度)(vD，在dvvv范围内的状态数为vvDd)(,５６需vvDlld)(,在dppp内光子态数为pphVd823，而pcchvp,，vehvvDEvvcVdvvDhvd1)(d8)(23.故而dvvv内的辐射能vehvcVEEhvvvd18dd33.（1）（1）为黑体辐射的Planck公式.高温时vkTvcVEkThvvd8d123,（2）Rayleigh-Jeans公式低温时vehvcVEkThvkThvvd8d133.（3）WeinFormula总能量04/33d18VTvehvcVEkThv.讲积分化简其中3345158hck.2.辐射通量密度(Fluxdensityofradiation)是在单位时间内通过单位面积向一侧辐射的总辐射能量，设有一束电磁波投射到dA上，则在单位时间内向一侧辐射的能量为圆柱体之体积与VE之乘积.Cylinder体积为Acdcos，辐射的能量VEAcdcos.平均而言，在单位时间内通过dA向d立体角内辐射的能量为4ddcosAVEc.总辐射能量dcos4ddAVEcAW202/0ddsincos4dAVEcAcVEd41.辐射通量密度441TcVEW，称为stefan公式.由此公式可测量θdAc５７辐射体的温度（如太阳、熔炉）.另外：由（1）据vc，可求出在d内的辐射能1d8d/5kThcehcVE由上式可找出的极大值，即mddE0，上图称为Wein位移律.课本作业：7.9.§6.4玻色—爱因斯坦凝结（Bose-EinsteinCondensation）1．玻色子特征(CharacteristicofBosons)2．玻色凝结3．热容量(Heatcapacity)1．对于0的玻色子lllllleNea1,1)()(.0lal.最低能级0,00.对于准连续情形d)(Dll,0)(2/12/330)(1d)2(2d1)(lemhVeDN.（1）由于2/1忽略了0的粒子数，当T很低时，需考虑此.故0)(2/12/331d)2(211emhVeN,0)(2/12/3301d)2(2emhVNVN.（2）2．玻色凝结，若体系在nVN不变时降温，（1）式中欲)(e不变，需T3T2T1５８直至为零，此时cTT.则0/2/12/331d)2(2ckTemhn.设ckTx/，可有612.202/12/321d2)2(xCexxhmkTnVN.（3）3/22)612.2(2nmkhTc称为临界温度.cTT下降到时，粒子开始在0能级聚集，称为EB凝结.（1）、（2）、（3）结合有2/30)(1cTTNN.如上图（讲解粒子占据与温度的关系）.3．热容量，对cTT情形2/32/502/32/3377.01d)2(2cTTNkemhVE讲与温度指数定性关系02/32/52/331d)()2(2xexxkTmhV.2/3)(93.1CVTTNkTEC.cTT时为经典理想气体，由比热特征，称为相变.如下图：５９用于He4理论值kTc13.3,实验值kTc17.2.人们猜测He4的相系为.CEB但He4在kT17.2为HeI，是正常流体，kT17.2为HeⅡ，是超流。He4在k2.4发生液化，应考虑分子间相互作用，理想玻色气体不可能有超流性.CEB一直到95年才由Ketterle在Rb气体上实现，朱棣文96年用激光致冷将钾气体冷冻到几乎静止，证实了CEB，获诺贝尔奖，成为第5位华人获奖者.(参见：李剑君，大学物理，17，7，46（1998）)对于Rb，nKTcmnc170,10~312，20000个原子.讲Weimanetal激光致冷原子捕捉（Lasercooling，Atomtrapping）的大意.2001年,Weiman,Cornell观测到He4,KTNc7.4,105~6.最后：简单介绍固体组的工作.课本作业：7.10，7.11.