浅谈高等代数中线性方程组的解法

第页1浅谈高等代数中线性方程组的解法摘要：在大学的课程中，高等代数我们数学专业的必修课程，在高等代数里，解线性方程组是一个重点，也是一个难点。在数学的研究和解决问题的过程中，常常要运用到许多未知量，为此，为了解决遇到的这些问题，许多数学家致力于研究之中，寻找解决这些问题的方法.《高等代数》教材介绍的关于求解线性方程组的解的基本方法是行初等变换法,但这种方法计算量大,同时方法和步骤也比较麻烦。解线性方程组对初学者来说不是那么的得心应手，常常能下笔却常常是解错的，为了方便快捷而准确的解线性方程组，为此我们在前人的研究基础上对解线性方程组做了研究、分析和整理，详细的解析了克拉默规则、消元法、基础解系法、矩阵法、填充矩阵法，LU分解法。希望能帮助降低学生学习犯错误的可能性,拓宽学生的思维。Abstract：Inuniversitycourse,werequiredcoursewithspecializedmathematicsofthehigheralgebra,inadvancedalgebra,isafocusonsolvinglinearequations,isalsoadifficulty.Inmathematicsstudyandsolvetheproblemintheprocess,isoftenappliedtomanyunknownvariables,therefore,inordertosolvetheseproblems,manymathematiciansiscommittedtoresearch,findoutthewaystosolvetheseproblems.advancedalgebrateachingmaterialintroduceaboutsolvingsystemoflinearequationssolutionofthelineisthebasicmethodofelementarytransformationmethod,butthiskindofmethodtolargeamountofcalculation,atthesametime,methodsandstepsarealsomoretrouble.Solutionoflinearequationsforbeginnersisnotsocomfortable,oftencanoftenarethewrongwriting,inordertoconvenientandquickandaccuratesolutionsoflinearequations,weinthebasisofforefathers'researchtodotheresearch,analysisandsolvinglinearequations,detailedrulesofparsingthekramer,eliminationmethodandbasicsolutionmethod,matrixmethod,matrixmethod,theLUdecompositionmethod.HopeIcanhelpreducethepossibilityofstudentslearningtomakemistakes,tobroadenthemindsofstudents.关键词：线性方程组、增广矩阵，系数矩阵、基础解系、解空间Keywords：Linearequations、Augmentedmatrix,、Thecoefficientmatrix、Thebasicsolution、Thesolutionspace第页2引言：线性方程组的解法，早在中国古代的数学著作《九章算术》方程章中已作了比较完整的论述。其中所述方法实质上相当于现代的对方程组的增广矩阵施行初等行变换从而消去未知量的方法，即高斯消元法。在西方，线性方程组的研究是在17世纪后期由莱布尼茨开创的。他曾研究含两个未知量的三个线性方程组组成的方程组。麦克劳林在18世纪上半叶研究了具有二、三、四个未知量的线性方程组，得到了现在称为克莱姆法则的结果。克莱姆不久也发表了这个法则。18世纪下半叶，法国数学家贝祖对线性方程组理论进行了一系列研究，证明了一元齐次线性方程组有非零解的条件是系数行列式等于零。法国数学家范德蒙不仅对行列式理论本身进行了开创性研究，而且把行列式应用于解线性方程组。英国数学家凯莱用矩阵表示线性方程组及线性方程组的解。19世纪，英国数学家史密斯和道奇森继续研究线性方程组理论，前者引进了方程组的增广矩阵和非增广矩阵的概念，后者证明了n个未知数m个方程的方程组相容的充要条件是系数矩阵和增广矩阵的秩相同。格拉斯曼则使用向量表示线性方程组的解。本文将一一解读线性方程组的解法。1关于线性方程组及其解的概述1.1线性方程组的一般形式线性方程组的一般形式是：11212111...baxaxan22222121...baxaxan（1）.........mmnmmbaxaxa...2211其中nxxx,...,,21代表未知量，),...,2,1;,...,2,1(njmiaij代表未知量的系数，nbbb,...,,21代表常数项。1.2线性方程组的分类第页31.2.1齐次线性方程组当线性方程组的一般形式中的常数项nbbb,...,,21都等于0，即0...1212111naxaxa0...2222121naxaxa（2）.........0...2211mnmmaxaxa称此线性方程组为齐次线性方程组。1.2.2非齐次线性方程组当线性方程组的一般形式中的常数项nbbb,...,,21都不等于0时，就称此线性方程组为非齐次线性方程组。1.3线性方程组的解线性方程组（1）的一个解指的是这样一组数(nkkk,...,2,1)，用它们依次代替（1）中的未知量nxxx,...,21,后，（1）的每一个方程都变成恒等式。注：本论文是在复数域C上讨论线性方程组。2线性方程组可解的判断方法2.1线性方程组的系数矩阵与增广矩阵2.1.1线性方程组（1）的系数矩阵111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa2.1.2线性方程组（1）的增广矩阵第页411121121222212nnmmmnmaaabaaabAaaab2.2线性方程组（1）有解的判断2.2.1线性方程组（1）有解的充要条件（定理）线性方程组（1）的系数矩阵与增广矩阵有相同的秩。2.2.2线性方程组（1）有唯一解和无穷多解的判断（定理）(数域K上线性方程组有解的判别定理)对于数域K上的线性方程组（1），若r)(Ar)(A，则方程组无解；r)(ArnA)(，则有唯一解；r)(ArnA)(，则有无穷多解。3有解线性方程组的解法3.1特殊线性方程组的解法3.1.1特殊线性方程组的概述特殊线性方程组是指当线性方程组（1）中的m=n时的n个未知量n个方程组成的线性方程组。即形式如下的线性方程组11212111...baxaxan22222121...baxaxan（3）.........bnaxaxannnn...2211利用（3）的系数可以构成一个n阶行列式nnnnnnaaaaaaaaa212222111211D第页5这个行列式叫作方程组（3）的行列式。3.1.2特殊线性方程组的解法（定理）一个含有n个未知量n个方程的线性方程组（3）当它的行列式0D时，有且仅有一个解DDxDDxDDxnn,...,,2211此处jD是把行列式D的第j列的元素换以方程的常数项nbbb,...,,21而得到的n阶行列式。第一步：求出D，并判断其是否等于0第二步：若0D，方程有唯一解，求出nDD,...,D21第三步：DDxDDxDDxnn,...,,22113.2消元法消元法是一种规则化的加减消元法，基本思想是通过逐次消元计算把需要求解的线性方程组转化为上三角形方程组，也就是把线性方程组的系数矩阵转化为上三角矩阵，从而使一般线性方程组的求解转化为等价(同解)的上三角形方程组的求解。现在分析求解n元线性方程组的消元法的一般步骤，为方便起见，将方程组（3）改写成如下形式)1()1(2)1(21)1(1)1(2)1(22)1(221)1(21)1(1)1(12)1(121)1(11nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa简记为)1()1(bxA，其中bbAA)1()1(,。其增广矩阵为)1()1()1(2)1(1)1(2)1(2)1(22)1(21)1(1)1(1)1(12)1(11)1()1(,nnnnnnnbaaabaaabaaabA消元过程：第一步消元：设,0)1(11a记),3,2(/)1(11)1(11niaalii，做运算第页6),,3,2,(,)1(11)1()2()1(11)1()2(njiblbbalaaiiijiijij将增广阵第一列中)1(11a以下元素消去使其为零，得到与原方程组等价的方程组)2()2(bxA。这一过程的实现需要对增广矩阵的第i),,3,2(ni行（用ir表示）施行行的初等变换：11)(rlrii。从矩阵运算的观点看，相当于用矩阵1000100010001131211nlllL左乘矩阵bAbA,],[)1()1(，即00],[],[)2()2()2(2)2(2)2(2)2(22)1(1)1(1)1(12)1(11)1()1(1)2()2(nnnnnnbaabaabaaabALbA一般地，设第1k步后得等价方程组)()(kkbxA，其增广矩阵为)()()()()()()2(2)2(2)2(22)1(11)1(1)1(12)1(11)()(000,knknnknkkkkknkkknnkkbaabaabaaaaaabA第k步消元：设,0)(kkka记),1(/)()(nkiaalkkkkikik。做运算),,1,(,)()()1()()()1(nkjiblbbalaakkikkikikkjikkijkij将增广矩阵的第k列中)(kkka以下的元素消为零，得同解方程组)1()1(kkbxA。第k步消元，相当于用矩阵10101011nkkkkllL第页7左乘矩阵()(),kkAb。按上述作法，完成1n次消元后，方程组（3-4）化成同解的上三角方程组)()()3(3)3(33)3(33)2(2)2(23)2(232)2(22)1(1)1(1)1(132)1(121)1(11nnnnnnnnnnnnbxabxaxabxaxaxabxaaxaxa记为)()(nnbxA，其增广矩阵为)()(,nnbA)()()2(2)2(2)2(22)1(1)1(1)1(12)1(110nnnnnnnbabaabaaa1nL],[)1()1(nnbA121LLLnn],[)1()1(nnbA因为)1,,2,1(nkLk均为非奇异阵，故它们的逆矩阵存在。容易求出101010111nkkkkllL令10101010113213121111211nnnnnnllllllLLLL于是有)1()1(,,bAbA111211