《概率论与数理统计》期末考试试题及答案

《概率论与数理统计》期末考试试题（A）专业、班级：姓名：学号：题号一二三四五六七八九十十一十二总成绩得分一、单项选择题(每题3分共18分)1．D2．A3．B4．A5．A6．B（1）.0)(,0)(;;0)(0)();(().,0)(ABPAP(D)BA(C)BPAP(B)BA(A)ABPBA则同时出现是不可能事件与或互不相容互斥与则以下说法正确的是适合、若事件（2）设随机变量X其概率分布为X-1012P0.20.30.10.4则}5.1{XP（）。(A)0.6(B)1(C)0(D)21（3）设事件1A与2A同时发生必导致事件A发生，则下列结论正确的是（）（A）)()(21AAPAP（B）1)()()(21APAPAP（C）)()(21AAPAP（D）1)()()(21APAPAP（4）).54,0);46,0();3,0();5,0(~,72,),1,2(~),1,3(~(D)N(C)N(B)N(A)ZYXZYXNYNX则令相互独与且设随机变量(N立).(（5）设nXXX,,2,1为正态总体),(2N的一个简单随机样本，其中,2未知，则（）是一个统计量。(A)212niiX(B)21)(niiX(C)X(D)X（6）设样本nXXX,,,21来自总体22),,(~NX未知。统计假设为。：已知）（：01000HH则所用统计量为（）(A)nXU0(B)nSXT0(C)222)1(Sn(D)niiX1222)(1二、填空题(每空3分共15分)1.)(BP2.000)(xxxexfx,23e3.14.)9(t（1）如果)()(,0)(,0)(APBAPBPAP，则)(ABP.（2）设随机变量X的分布函数为.0,)1(1,0,0)(xexxxFx则X的密度函数)(xf，)2(XP.（3）.ˆ,________,ˆ3ˆ2ˆˆ,ˆ,ˆ,ˆ321321是的无偏估计量也时当的无偏估计量是总体分布中参数设aa（4）设总体X和Y相互独立,且都服从)1,0(N，921,,XXX是来自总体X的样本，921,,YYY是来自总体Y的样本，则统计量292191YYXXU服从分布（要求给出自由度）。三、(6分)设BA,相互独立，7.0)(AP，88.0)(BAP，求)(BAP.解：0.88=)()()()(ABPBPAPBAP=)()()()(BPAPBPAP(因为BA,相互独立)……..2分=)(7.0)(7.0BPBP…………3分则6.0)(BP………….4分)()()()()()(BPAPAPABPAPBAP28.06.07.07.0…………6分四、（6分）某宾馆大楼有4部电梯，通过调查，知道在某时刻T，各电梯在运行的概率均为0.7，求在此时刻至少有1台电梯在运行的概率。解：用X表示时刻T运行的电梯数，则X~)7.0,4(b………...2分所求概率011XPXP…………4分4004)7.01()7.0(1C=0.9919………….6分五、（6分）设随机变量X的概率密度为其它,00,)(xexfx，求随机变量Y=2X+1的概率密度。解：因为12xy是单调可导的，故可用公式法计算………….1分当0X时，1Y………….2分由12xy，得21',21xyx…………4分从而Y的密度函数为10121)21()(yyyfyfY…………..5分=1012121yyey…………..6分六、（8分）已知随机变量X和Y的概率分布为X101Y10P412141P2121而且1}0{XYP.(1)求随机变量X和Y的联合分布;(2)判断X与Y是否相互独立?解：因为10XYP，所以00XYP(1)根据边缘概率与联合概率之间的关系得出YX-101014100214102121412141………….4分(2)因为4121210000,0YPXPYXP所以X与Y不相互独立…………8分七、（8分）设二维随机变量),(YX的联合密度函数为.,0,0,0,12),()43(其他yxeyxfyx求：（1）)20,10(YXP；（2）求X的边缘密度。解：（1）1020)43(12)20,10(dyedxYXPyx…………..2分20410343dyedxeyx=204103yxee=[31e]]1[8e………….4分（2）dyexfyxX)43(12)(…………..6分00033xxex……………..8分八、（6分）一工厂生产的某种设备的寿命X（以年计）服从参数为41的指数分布。工厂规定，出售的设备在售出一年之内损坏可予以调换。若工厂售出一台设备盈利100元，调换一台设备厂方需花费300元，求工厂出售一台设备净盈利的期望。解：因为)41(~eX得00041)(41xxexfx………….2分用Y表示出售一台设备的净盈利103001001100XXY…………3分则414141)100(edxeYPx41410141200edxeYPx………..4分所以)1()200(1004141eeEY20030041e64.33（元）………..6分九、（8分）设随机变量X与Y的数学期望分别为2和2，方差分别为1和4，而相关系数为5.0，求)2(),2(YXDYXE。解：已知5.0,4,1,2,2XYDYDXEYEX则62)2(22)2(EYEXYXE……….4分),2cov(2)2()2(YXDYXDYXD……….5分),cov(42YXDYDX……….6分XYDYDXDYDX42=12…………..8分十、（7分）设供电站供应某地区1000户居民用电，各户用电情况相互独立。已知每户每日用电量（单位：度）服从[0，20]上的均匀分布，利用中心极限定理求这1000户居民每日用电量超过10100度的概率。（所求概率用标准正态分布函数)(x的值表示）.解：用iX表示第i户居民的用电量，则]20,0[~UXi102200iEX310012)020(2iDX………2分则1000户居民的用电量为10001iiXX，由独立同分布中心极限定理10100110100XPXP………3分=3100100010100010100310010001010001XP………4分)3100100010100010100(1……….6分=1)103(………7分十一、（7分）设nxxx,,,21是取自总体X的一组样本值，X的密度函数为,,0,10,)1()(其他xxxf其中0未知，求的最大似然估计。解:最大似然函数为iniininxxfxxL)1()(),,,(111……….2分=),,()1(1nnxx……….3分则),,ln()1ln(),,,(ln11nnxxnxxL1,,01nxx………..4分令0),,ln(1ln1nxxndLd………..5分于是的最大似然估计：),,ln(ln1ˆ1nxxn。……….7分十二、（5分）某商店每天每百元投资的利润率)1,(~NX服从正态分布，均值为，长期以来方差2稳定为1，现随机抽取的100天的利润，样本均值为5x，试求的置信水平为95%的置信区间。（,99.1)100(05.0t975.0)96.1(）解：因为已知，且)1,0(~NnX…………1分故12UnXP…………2分依题意5,1,100,96.1,05.02xnU则的置信水平为95%的置信区间为],[22nUxnUx…………4分即为[4.801,5.199]…………5分