考研数学线性代数典型题型分析向量

中国知名教育品牌考研数学线性代数典型题型分析:向量来源：文都教育在考研数学中，向量是线性代数的基本内容之一，每年必考，向量的考题常常以选择题或填空题的形式出现，有时也会以解答题的形式出题，占11分。向量是数学一、数学二和数学三的共同考试内容，但按考试大纲来说，数学一比数学二和数学三多了一些内容。多的内容包括：“了解n维向量空间、子空间、基底、维数及坐标等概念，了解基变换及坐标变换公式，会求过渡矩阵”，这些多的内容虽然考试的频率不高，但考数学一的考生也应了解其概念和掌握基本计算方法。为了帮助广大考生了解向量方面的典型考题和解题方法，文都考研数学辅导老师对其进行了细致的分析总结，供各位考生参考，希望对大家有所帮助。下面对向量这一章的典型题型进行分析。向量典型题型：1）判断或证明向量组的线性相关性；2）判断或证明向量组之间是否等价；3）判断某个向量是否可由一组向量线性表示，以及求其表达式；判断向量组线性相关或无关的方法：1）根据线性相关和无关的定义；2）根据向量组的秩或矩阵的秩；3）根据方程组AX=0是否有非零解判断A的列向量组的相关性；4）根据行列式是否为零判断nn个维向量的相关性；5）根据向量组线性相关和无关的有关性质（如：(1)nkk个n维向量必线性相关）；判断向量线性表示及向量组等价的方法：1）根据方程组Axb是否有解来判断向量b是否可由A的列向量组线性表示；2）利用向量组的秩判断向量的线性表示和向量组的等价；3）利用矩阵的列（行）分块判断向量组的等价；中国知名教育品牌4）利用向量组的线性表示判断等价；典型例题分析：例1.设,,ABC均为n阶矩阵，若ABC，且B可逆，则(A)矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价；(B)矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价；(C)矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价；(D)矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价；（2013年考研真题数学（一）第5题）分析：题目条件ABC等价于1CBA，即,AC具有对称性，正确的选项可能是关于,AC的，即可能是选项(A)或(B)，另外，4个选项都是关于矩阵的行向量组或列向量组等价的问题，因此须根据矩阵条件找出这些行向量组或列向量组之间的关系，这需要采取矩阵分块的方法。解析：将ABC写成分块矩阵的形式11112121(,,,)(,,,)nnnnnnbbbb，即11121211121222221122nnnnnnnnnnbbbbbbbbb，这说明C的列向量组可由A的列向量组线性表示，同理，由1CBA可知，A的列向量组可由C的列向量组线性表示，故C的列向量组与A的列向量组等价，选(B)例2.设1234123400110,1,1,1cccc，其中1234,,,cccc为任意常数，则下列向量组线性相关的是（）(A)123,,(B)124,,(C)134,,(D)234,,（2012年考研真题数学（一）第5题）中国知名教育品牌分析：选项中的向量组都是3个3维向量，其相关性可用行列式是否为0来判断，也可以用初等行变换不改变列向量组的相关性这个性质来判断。解析：法1：（行列式法）计算发现，134134011,,0110ccc，故134,,线性相关，选(C)法2：（初等行变换和矩阵秩法）12341234123412340011(,,,)01110111010000110011rrccccccccBcccc，B的第1,3,4列向量组的秩≤2，因而线性相关，故对应的1234(,,,)中的第1,3,4列向量组也线性相关，选(C)上面就是文都考研数学辅导老师对考研数学中线性代数向量这部分内容典型题型及解题方法的分析，在以前的文章中，我们已向大家介绍了行列式和矩阵及线性方程组方面的典型题型及解题方法，在以后的时间里，我们还会陆续向大家介绍线性代数其它部分的典型考题和解题方法，希望各位考生留意查看。最后预祝各位学子在2015考研中取得佳绩，成功实现自己的人生梦想。