考研数学高数中不等式证明的六种方法(Ⅰ)

中国知名教育品牌考研数学：高数中不等式证明的六种方法（Ⅰ）来源：文都教育不等式证明是考研数学高数中的重要内容，也是考研数学的常考知识点，但也是学生很难掌握牢固的内容。只要方法和技巧掌握得恰当，同学们攻克不等式的证明不在话下。下面文都考研数学教研老师介绍六种常见的证明方法，希望帮助广大考生掌握不等式证明。首先，介绍三种比较常用的方法和典型例题，后续会继续介绍另外三种重要的方法和相关例题。1、利用函数的单调性证明不等式利用单调性证明不等式是高等数学中一种最常用的方法，使用范围非常广。主要思路是将所证明的不等式做一些适当或必要的变形后，构造适当函数()Fx及区间[,]ab，利用导数确定函数在区间内的单调性。如果一阶导数不能确定函数的单调性是，再利用高阶导数来判断函数的单调性。下面来看一道典型例题：例1证明：当0x时，ln(1)xx．证明：构造函数()ln(1)Fxxx，则1'()11Fxx．当0x时，'()0Fx，()Fx单调减少，则()(0)0FxF，即ln(1)xx．类似可证明：当0x时，1xex．这两个不等式是经常会使用到的，同学们务必牢记。2、利用函数的最值证明不等式利用函数的最大值、最小值证明不等式是一种比较特殊的方法，主要利用连续函数的最大值最小值定理或利用导数求出函数的最值。具体思路是求出函数()fx在给定区间内的最大值M、最小值m，则函数在该区间内满足()mfxM。例2证明：111ln(1)xx，当10xx且时成立．证明：令()ln(1)ln(1)Fxxxxx，中国知名教育品牌则1'()1ln(1)ln(1)11xFxxxxx，当0x时，'()0Fx，()Fx单调递减；当01x时，'()0Fx，()Fx单调递增，所以0x是()Fx的极小值点，也是最小值点．又(0)0F，故()(0)(10)FxFxx且，即ln(1)ln(1)xxxx.又ln(1)0xx，所以有ln(1)1ln(1)xxxx，即111ln(1)xx．3、利用函数的凸凹性证明不等式分按定义和依据定理两种请况证明不等式，具体如下：（1）如果要证明的不等式中包含形如122xxf、121[()()]2fxfx的项，那么往往可以找到合适的函数，并利用该函数的凸凹性证明不等式。例3已知0x，0y且xy，证明：lnln()ln2xyxxyyxy．证明：构造函数()lnFxxx，(0)x，则'()1lnFxx，1()0Fxx，从而可知()Fx在0x时是凹的．所以由凹函数的性质可得，()()()22FxFyxyF，即lnln()ln2xyxxyyxy．（2）利用定理：设()fx在[,]ab上二阶可导，若0''()0fx，则000()()'()()fxfxfxxx，等号成立当且仅当0xx；若0''()0fx，则000()()'()()fxfxfxxx，等号成立当且仅当0xx．例4设()fx在[0,1]上二阶可导且()0fx，证明：1201()()3fxdxf．证明：因为()0fx，所以有111()()'()()333fxffx，于是22111()()'()()333fxffx，两边同时在[0,1]上积分得，112200111()()'()()333fxdxffxdx，即1201()()3fxdxf以上就是三种比较常用的不等式证明方法和典型例题，同学们在做题的过程中，要注意灵活选用、恰当运用。