行程问题大全

戴氏精品堂学校成渝总校——唐老师：15828234448第1页共15页小升初专题之行程问题行程问题研究的是物体在一定条件下的速度、时间、路程间的相互关系及状态。行程问题变式有很多，但是最终必将回归到路程、时间和速度三者之间的关系上来。在行程问题的题目中，除了速度时间路程外，还涉及如下一些的重要因素：运动方向：相向，背向，同向，出发地点：同地，不同地出发时间：同时，不同时，运动途径：直线，圆周运动结果，相遇，相距，交叉而过，追及。解决行程问题经常要借助线段图及分数、比和比例的相关知识。要运用到转化法，比较法以及假设法。行程问题基本公式：路程=速度×时间速度=路程÷时间时间=路程÷速度并由此可推导出一下结论：若两物体速度之比为a：b①在相同时间内，两物体的路程之比为a：b②在相同路程上，两物体的时间之比为b：a两物同时出发往返两地，相遇一次，共走1个全程；相遇两次，共走3个全程；相遇三次……（请学生总结）行程问题之相遇问题知识要点相遇问题是指两物体从两地出发相向而行，经过一段时间后相遇。相遇时路程、时间以及速度之间有如下的关系：速度和×相遇时间=路程和路程和÷相遇时间=速度和路程和÷速度和=相遇时间例题解析：例1A,B两地相距440千米，甲，乙两车同时从两站相对开出，甲车每小时行35千米，乙车每小时行45千米，一只信鸽以每小时50千米的速度和甲车同时出发，向乙车飞去，遇到乙车又折回向甲车飞去，遇到甲车又向乙车飞去，这样一直飞下去，信鸽飞行了多少千米两车才能相遇？【分析】：本题看似复杂，实际上只要抓住行程问题中的基本关系：速度×时间=路程就很简单了。要求信鸽飞行的路程，已知信鸽飞行的速度，只要知道信鸽飞行的时间即可，而信鸽飞行的时间就是甲，乙两车从出发到相遇所用的戴氏精品堂学校成渝总校——唐老师：15828234448第2页共15页时间。解：50×)(275)4535(440千米答：信鸽飞行275千米时甲乙两车才能相遇。例2一客车和一货车同时从A,B两地相向开出，客运车每小时行56千米，货运车每小时行48千米，两车在离中点3241千米处相遇，求A,B两地距离是多少千米？【分析】巧用线段图，化隐形为有形从线段图中很容易看出：两车在离中点3241千米处相遇，故相遇时客车比货车多运行32412=2164千米，又客车比货车每小时多行（56-48）千米，故可求出相遇时间。解：相遇时间，（小时）1618)4856(24132两地路程：（千米）218381618)4856(。答：两地的距离是（千米）21838。例3在一条笔直的公路上，小明与小华骑车从相距900米得两地同时出发，小华每分钟行200米，小明每分钟行250米，经过多少时间两人相距2700米？【分析】：本题由于没有告诉我们两人的行驶方向，所以我们要考虑如下三类四种情况。解：（1）两人相向而行，则两人相距2700米得时候，是当他们相遇又相离的时候，两人一共行了900+2700=3600（米），所用时间为3600（200+250）=8（分钟）（2）两人相背而行，则两人相距2700米得时候，他们一共行了2700-900=1800（米），所用时间为1800（200+250）=4（分钟）；（3）两人同向行驶，这时可以分为两种情况：第一种：小明在前，小华在后，此时由于小明速度比小华快，两人的距离越来越远，当两人相距2700米得时候，小明比小华多走了2700-900=1800（米）所用时间为1800（250-200）=36（分钟）；第二种：小华在前，小明在后，此时，是小明追上小华，又超过小华，当两人相距2700米时，也就是小明超过小华2700米得时候，小明比小华多走900+2700=3600（米）所用时间为：3600（250-200）=72（分）答两人相向而行时8分钟，相背而行4分钟，同向行驶可能36分钟，也可能72分钟。点评：这道题，貌似简单，其实不然，难在正确分类考虑到可能发生的各种情况。分类讨论是数学研究中的一种重戴氏精品堂学校成渝总校——唐老师：15828234448第3页共15页要方法。拓展练习：A级1、两城市相距477千米，甲车以每小时46千米，乙车以每小时38千米的速度先后从两城出发，相向而行，相遇时甲车行驶了230千米，问乙车比甲车早出发几小时？2、小明与小华两人分别从东西两地同时出发，相向而行，10小时可以相遇，如果两人每小时都少行2千米，那么12小时后相遇，问两地相距多少千米？3、一自行车赛道全程60千米，某人骑自行车8点整从一端出发去另一端，前一半时间平均速度为每分钟1千米，后一半时间的平均速度是每分钟54千米，此人在什么时间到达目的地？4、小明和小华同时从步行街和少年宫出发，相向而行，小明每分钟走90米，两人相遇后，小明再走4分钟到达少年宫，小华再走270米到达步行街，小华每分钟走多少米？5、甲、乙两站相距360千米，客车与货车同时从甲站出发驶向乙站，客车每小时行60千米，货车每小时行40千米。客车到达乙站后停留0.5小时，又以原速返回甲站，两车迎面相遇的地点离乙站又多远？B级1、甲乙两站相距360千米，客车与货车同时从甲站出发驶向乙站，客车每小时60千米，货车每小时40千米，客车到达乙站停留半小时，又以原速返回甲站，两车相遇的地点离乙站多少千米？戴氏精品堂学校成渝总校——唐老师：15828234448第4页共15页2、两市相距460千米，甲车从A市向B市开出2小时候，乙车从B市出发与甲车相向行驶，已知甲车每小时比乙车多行10千米，乙车开出4小时候遇到甲车，求甲车每小时行多少千米？3、甲乙两艘船分别从AB两港口同时相向而行，乙船的速度为甲船速度的2/3，两船相遇后继续航行，甲船到B港后立即返回，乙船到A港后也立即返回，已知两船两次相遇地点相距40千米，问A,B两港口相距多少千米？4、甲乙两车同时从AB两地相对而行，在距B地54千米处相遇，他们各自到达对方车站后立即返回原地，途中又在距A地42千米处相遇，求两次相遇地点之间的距离。5、甲、乙两人分别从小路两端A、B两处同时出发相向而行，第一次相遇在距B处80米的地方，然后两人继续按原速向前行走，分别到B、A处后立即返回，第二次相遇在距A处30米的地方，照上面的走法，两人第三次相遇在距A处多少米的地方？习题解答：1、乙车比甲车早出发1、5小时。提示：根据甲车每小时行46千米和相遇时甲车行驶了230千米，可知甲车行了230÷46=5（小时），乙车行了477-230=247（千米）用了247千米÷38=6.5（小时）所以乙车比甲车早出发6.5-5=1.5（小时）2、240千米。提示：两人每小时都少行了2千米，速度和就少了（2×2）千米/每小时，（106面）这样就要12小时才能相遇，多用了2小时，我们可以看成减速后先行了10小时，这是两人并不能相遇，两人之间应该相距（2×2×10）千米。这段路程就是后来12-10=2（小时）这段路长÷2小时求出的是减速后的速度和，再乘以12就求出了两地的距离。3、9时06分40秒。提示：由于前后两半时间是相等的所以可以将此题转化为相遇问题，看成是以戴氏精品堂学校成渝总校——唐老师：15828234448第5页共15页每分钟1千米和每分钟4/5千米的速度前进的两人共同走完60千米的路程，得到两人326623133（分钟）所以此人行完全程时间是1小时06分40秒。4、120米，提示：小华再走的270米就是小明相遇前走的路程，因此他们相遇用了270÷90=3分钟，相遇后小明再走4分钟也就是90×4=360米到达，而这360米就是小华相遇前走的路程，因此小华的速度是360÷3=120米。5、两车共行驶了360×2=720（千米），两车相遇需要（720+60×0.5）÷（40+60）=7.5（小时），货车行驶了40×7.5=300（千米），所以两车相遇离乙站还有360-300=60（千米）B级1、60千米，提示：由题意可知，客车到乙站需要360÷60=6小时，客车返回时，货车已经行40×（6+0.5）=260千米，货车此时距乙站360-260=100千米，因此客车返回与货车相遇时用了100÷（60+40）=1小时，相遇点离乙站60×1=60千米。2、50千米。提示由题意可知：甲行了6小时，乙行了4小时。甲比乙多行了6×10=60千米，从全程里面减掉甲比乙多走的路程，剩下的甲每小时所行的路程就和乙一样，所以通过（460-10×6）÷（2+4+4）=40千米可以得到乙的速度。3、100千米，提示设全程为S如图:c是第一次相遇的地方，d是第二次相遇的地方。乙的速度是甲的2/3，甲乙两人速度之比是3:2即AC=53s,BC=52S,DC=40千米第二次相遇时甲所行的路程是：s+)4057(4052ss，第二次相遇时乙所行的路程是：s+)4058(4053ss（千米）甲乙两人所行路程是3:2，也即100,2:3)4058(:)4057(sss（千米）4、24千米。提示：设两地相距S千米，甲乙两车速度分别为甲V乙V。根据相遇时两车所用时间相等列方程组：乙甲乙甲，vsvsvsv425442545454解方程组得，s=120（千米），120-54-42=24（千米）(107面)4、全程长为54×3-42=120（千米），120-54-42=24（千米）5、126米提示：先求出两地之间的距离，然后判定A、B的速度之比，最后讨论第三次相遇时什么情况的相遇（涉及一些追及问题）行程问题之追及问题知识要点：戴氏精品堂学校成渝总校——唐老师：15828234448第6页共15页追及指速度快的追速度慢的，追及问题中的路程，时间速度这三要素主要体现在路程差（或追及时间）、速度差、追及时间上，三者之间的关系如下：速度差×追击时间=路程差路程差÷追及时间=速度差路程差÷速度差=追及时间切记追击问题中追击者速度一定要大于被追者速度，否则不能追上，反而两人间距会越来越远。例题讲解：例1.小华与小伟从学校到江滩看神六航展，小伟以每分钟60千米的速度向江滩走去，5分钟后小华以每分钟80米得速度向江滩走去，结果两人同时到达航展的现场，问学校到航展现场之间的距离是多少？分析：解决这个问题关键是要求求出追及时间，由于小华晚出发5分钟，结果两人同时到达航展现场，说明小华追上小伟时间正好到目的地，由此可根据路程差÷速度差=追及时间，求出追及时间：（60×5）÷（80-60）=15分。追及时间就是小华从学校到航展现场所用的时间。解：80×米）（1200158060-80560答学校到航展现场的距离是1200米。例2.一辆卡车上午9时出发，以每小时40千米的速度向乙城驶去，2小时候，一辆小轿车以每小时70千米的速度也从甲城出发向乙城行驶，当小轿车到达乙城，大卡车距离乙城还有100千米，问小轿车是什么时候到达乙城市的？分析：有题目可知，小轿车在从甲城市行驶到乙城市的过程中，不仅要追上大卡车40×2=80千米。还要超过100千米。解：在相同的时间里，小轿车比大卡车多行的路程，即路程差为：40×2+100=180千米小轿车从甲城市行驶到乙城市需要时间：180÷（70-40）=6小时小轿车到达乙城市的时刻：9+2+6=17时答：小轿车是在17时到达乙城市的。例3某城市举行“万人申奥”长跑活动，长跑队伍以每小时6千米的速度前进，长跑开始时，两名电视记者小张和小王分别从排尾、拍头同时向队伍中间进行，报道这次活动，小张和小王都乘摩托车每小时行10千米，他们离队伍中点900米处相遇，长跑队伍有多长？分析：本题是一个行进队伍中的相遇问题，相遇地点是在离队伍中点900米处，因此相对中点而言，小张的速度是摩托车速度+队伍速度，小王的速度是摩托车速度-队伍速度，两者相对速度为（10+6）戴氏精品堂学校成渝总校——唐老师：15828234448第7页共15页-(10-6)=12千米/时，而相对中点的路程差为：（108面）900×2=1800米=1.8千米，理解这一点，问题就好解决了。解：小张和小