2.51《相似》全章复习与巩固---知识讲解(基础)

2.51《相似》全章复习与巩固--知识讲解（基础）【学习目标】1、了解比例的基本性质，线段的比、成比例线段；2、通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，理解相似多边形对应角相等、对应边成比例、周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方，探索并掌握相似三角形的判定方法，并能利用这些性质和判定方法解决生活中的一些实际问题；3、了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小，在同一直角坐标系中，感受位似变换后点的坐标的变化；4、结合相似图形性质和判定方法的探索和证明，进一步培养推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力，以及综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.【知识网络】【要点梳理】要点一、相似图形及比例线段1．相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similarfigures).要点诠释：(1)相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；(2)“全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形全等；2.相似多边形如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形．要点诠释：（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．（2）相似多边形对应边的比称为相似比.3.比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．要点诠释：（1）若a:b=c:d，则ad=bc；（d也叫第四比例项）（2）若a:b=b:c，则2b=ac（b称为a、c的比例中项）．要点二、相似三角形1.相似三角形的判定:判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.判定方法（二）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.判定方法（三）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.要点诠释：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必须是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.判定方法（四）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.要点诠释：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.2.相似三角形的性质：（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；（2）相似三角形中的重要线段的比等于相似比；相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.要点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.(3)相似三角形周长的比等于相似比；（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。3.相似多边形的性质：（1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．（2）相似多边形的周长比等于相似比．（3）相似多边形的面积比等于相似比的平方．要点三、位似1.位似图形定义:如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．2.位似图形的性质:（1）位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；（2)位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.要点诠释：(1）位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.（2）位似变换中对应点的坐标变化规律:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.【典型例题】类型一、相似图形及比例线段1.已知:a:b:c=3:5:7且2a+3b-c=28,求3a-2b+c的值.【答案与解析】∵a:b:c=3:5:7设a=3k,b=5k,c=7k∵2a+3b-c=28∴6k+15k-7k=28，∴k=2∴3a-2b+c=9k-10k+7k=6k=12【总结升华】题目中已知三个量a,b,c的比例关系和有关a,b,c的等式,我们可以利用这个等量关系,通过设参数k,转化成关于k的一元方程,求出k后,使得问题得解.举一反三【变式】如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，AC＝4，CE＝6，BD＝3，则BF＝（）A．7B．7.5C．8D．8.5【答案】B.类型二、相似三角形2.如图所示，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．(1)∠ABC=________，BC=________；(2)判断△ABC与△DEF是否相似，并说明理由.【答案与解析】(1)135°，(2)△ABC和△DEF相似(或△ABC∽△DEF).因为，，所以.又因为∠ABC=∠DEF=90°+45°=135°，所以△ABC∽△DEF.【总结升华】根据正方形的性质和格点三角形的特点，从边角方面去探究两三角形有关角的度数和边的长度，利用两边对应成比例且夹角相等证明两三角形相似．举一反三：【变式】下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（）.A．B．C．D．【答案】B.3.在正方形ABCD中，P是BC上的点，BP=3PC，Q是CD的中点，求证：△ADQ∽△QCP．【答案与解析】∵BP=3PC，Q是CD的中点，∴12CPCQDQAD，又∵∠ADQ=∠QCP=90°，∴△ADQ∽△QCP.【总结升华】本题考查了相似三角形对应角相等的性质，以及相似三角形的判定.4.如图所示，在△ABC和△DBE中，若.(1)△ABC与△DBE的周长差为10cm，求△ABC的周长；(2)△ABC与△DBE的面积之和为170cm2，求△DBE的面积．【答案与解析】(1)∵，∴△ABC∽△DBE.∴，设△ABC的周长为5kcm，△DBE的周长为3kcm，∴，，，∴△ABC的周长为.(2)∵△ABC∽△DBE，∴.设，.∴，解得k=5，∴.【总结升华】相似三角形的周长比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方．举一反三【变式】如图，在平行四边形ABCD中，E是CD上的一点，DE：EC=2：3，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则S△DEF：S△EBF：S△ABF=（）A．2：5：25B．4：9：25C．2：3：5D．4：10：25【答案】D.5.如图所示，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD=6，∠ABC=60°，点E，F分别在线段AD，DC上(点E与点A，D不重合)，且∠BEF=120°，设，.(1)求y与x的函数解析式；(2)当x为何值时，y有最大值？最大值是多少？【答案与解析】(1)在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD=6，∠ABC=60°，所以∠A=∠D=120°，所以∠AEB+∠ABE=180°-120°=60°.因为∠BEF=120°，所以∠AEB+∠DEF=180°-120°=60°，所以∠ABE=∠DEF.所以△ABE∽△DEF，所以.因为，，所以，所以y与x的函数解析式是.(2)，所以当时，y有最大值，最大值为.【总结升华】本题考查了等腰梯形的性质，相似三角形的判定和性质，以及二次函数的最值问题.举一反三【变式】如图所示，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=8，AC=6．若动点D从点B出发，沿线段BA运动到点A为止，运动速度为每秒2个单位长度．过点D作DE∥BC交AC于点E，设动点D运动的时间为x秒，AE的长为y．(1)求出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)当x为何值时，△BDE的面积S有最大值，最大值为多少?【答案】(1)因为DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，所以.又因为AB=8，AC=6，，，所以，即，自变量x的取值范围为.(2).所以当时，S有最大值，且最大值为6.类型三、位似6.将下图中的△ABC作下列变换，画出相应的图形，指出三个顶点的坐标所发生的变化．(1)沿y轴负方向平移1个单位；(2)关于x轴对称；(3)以C点为位似中心，放大到1.5倍．【答案与解析】变换后的图形如下图所示．(1)将△ABC沿y轴负方向平移1个单位后得到△A1B1C1，A1(-5，-1)，B1(0，2)，C1(0，-1)．即横坐标不变，纵坐标减小．(2)将△ABC关于x轴对称后，得△A2B2C2，A2(-5，0)，B2(0，-3)，C2(0，0)．即横坐标不变，纵坐标变为原来的相反数．(3)将△ABC以C点为位似中心，放大到1.5倍得△A3B3C3(有2个三角形)，显然，A3(-5×1.5，0)，B3(0，3×1.5)，C3(0，0)，即A3(-7.5，0)，B3(0，4.5)，C3(0，0),或A3（7.5,0）、B3（0，-4.5）、C3（0,0）.【总结升华】本题应先按图形变换的要求画出相应的图形，再求出变换后图形的点的坐标，第(3)问可先求变换后图形的点的坐标，但注意此时的位似中心是原点．【巩固练习】一、选择题1．如图，已知，那么下列结论正确的是()A．B．C．D．2.在和中，，如果的周长是16，面积是12，那么的周长、面积依次为()A．8，3B．8，6C．4，3D．4，63．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与相似的是()4.如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(-1，0)．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点B′的横坐标是，则点B的横坐标是（）A．B．C．D．5．下列说法：①位似图形都相似；②位似图形都是平移后再放大(或缩小)得到；③直角三角形斜边上的中线与斜边的比为1：2；④两个相似多边形的面积比为4：9，则周长的比为16：81中，正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个6.如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，P是BC边上的点，下列条件中不能推出△ABP与以点E、C、P为顶点的三角形相似的是()A．∠APB=∠EPCB．∠APE=90°C．P是BC的中点D．BP：BC=2：37.如图，在△ABC中，EF∥BC，12AEEB,，S四边形BCFE=8，则S△ABC=（）A．9B．10C．12D．138.如图，六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2：1，则下列结论正确的是（）A．∠E=2∠KB．BC=2HIC．六边形ABCDEF的周长=六边形GHIJKL的周长D．S六边形ABCDEF=2S六边形GHIJKL二、填空题9.在□ABCD中，在上，若，则___________.10.如图，在△ABC中，D、E分别是AB和AC中点，F是BC延长线上一点，DF平分CE于点G，CF=1，则BC=_______，△ADE与△ABC的面积之比为_______，△CFG与△BFD的面积之比为________.11.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于O点，S△AOD:S△COB=1:9，则S△DOC:S△BOC=_______.12.在相同时刻的物高与影长成比例.小明的身高为1.5米，在地面上的影长为2米，同时一古塔在面上的影长为40米，则古塔高为________.13.若,则的值为.14．如图，在△ABC中，MN∥BC，若∠C=68°，AM：MB＝1：2，则∠MNA=_______度，AN：NC＝_____________.15.如图，点D,E分别在AB、AC上，且∠ABC=∠AED。若DE=4，AE=5，BC=8，则AB的长为_________.第14题第15题16.－油桶高0.8m，桶内有油，一根木棒长1m，从桶盖小口斜插入桶内，一端到桶底，另一端到小口，抽出木棒，量得棒上浸油部分长0.8m，则桶内油面的高度为.三、解答题17.如图，等腰直角△ABC的斜边AB所在的直线上有点E、F，且∠E+∠F=45°，AE=3，设AB=x，BF=y，求y关于x的函数解析式.18.一块直角三角形木板，一直角边是1.5米，