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《高等传热学》研究生课程讲稿-第二次课(2学时)稳态导热第1页稳态导热稳态导热的数学模型包括常微分方程(一维稳态导热)和偏微分方程(常物性二维或三维稳态导热,有内热源时为泊松方程,无内热源时为拉普拉斯方程),其中常微分方程的求解比较简单,而泊松方程和拉普拉斯方程的求解较复杂,但已经积累了许多成果的经验,如解析法、数值解法、图解法和模拟法。这里仅详细介绍解析法中的分离变量法。一、一维稳态导热现象控制方程(常微分方程)3,2,101iqdxdtxdxdxvii(球坐标系分别代表直角、圆柱、3,2,1i)在一定的边界条件下,将此式积分,即可求得温度分布及热流密度。二、典型一维稳态导热现象(参考文献[1]PP27-40)1、一维线性齐次导热问题典型问题:常物性、无内热源、一维稳态导热(单层或多层无限大平壁、无限长圆筒壁、空心球体壁)。3,2,10idxdtxdxdi(球坐标系分别代表直角、圆柱、3,2,1i,x分别为坐标x、r、r)2、一维非线性齐次导热问题典型问题:变物性、无内热源、一维无限大平壁稳态导热。010dxdtbtdxd,温度分布:2121211221121213、一维线性非齐次导热问题典型问题1:有内热源的、常物性,单层无限大平壁稳态导热。Vqdxtd22,温度分布:2124CxCxqtV典型问题2:有内热源柱体、常物性、径向的一维稳态导热处理。Vqdrdtrdrdr1,温度分布:212ln4CrCrqtV,必然有224CrqtV典型问题3:任意形状肋(包括矩形直肋、三角形类)的准一维稳态导热微分方程⑴普通一维肋的微分方程一任意几何形状的一维肋,如图所示。在距离基面为x处取厚度为dx的一微元段肋,设此微元段的侧表面面积为ds,其表面温度为t,Qc为单位时间内通过ds外表面以对流方式散失到温度为tf流体的热量。Qx和Qx+dx分别为导入和导出该微元段的热量。是准一维稳态导热。实际应用:增大换热表面,减小换热热阻;工程部件:测温套管、透平机叶片。准一维简化条件:肋片足够薄、足够大。分析的问题:肋的优化(最佳肋),其涉及的条件包括重量、体积、传热量、价格。一般以最小的重量的换热器传递最大的热量为首要的优化条件。该微元段的热平衡式为:cdxxxQQQ其中Qx+dx可用泰勒级数展开:任意几何形状的一维肋《高等传热学》研究生课程讲稿-第二次课(2学时)稳态导热第2页222!2dxQddxdxdQdxQQxxxdxxfctthdsQ,dxdtAQx0!2222ftthdsdxdtAdxddxdxdtAdxddx令dx→0,则:0fttdxdshdxdtAdxd可以得出普通一维肋的通用微分方程:0fttxhUdxdtxAdxd⑵矩形直肋的导热问题:如图所示,此时表面积ConstU,0dxdA,令AhUm导热微分方程式)(22fttAhUdxtd或222mdxd其通解为:mxmxfeCeCtt21,由二个边界条件确定。①第一类边界条件0,000Lxttxf②第二类边界条件0|,000LxfdxdLxttx③第三类边界条件LxLxfhdxdLxttx||,000对于情况②,解为:021021mlmlmeCmeCCC,即℃mlchxlmch0肋基热流量:2000mWmlthmdxhUdxdQLx⑶三角形肋的导热这是肋的最佳形状,它属于变截面肋片,可充分利用肋片材料。问题:如图所示,此时表面积LU2,HxLxA导热微分方程式02122fttxhHdxdtxdxtd或02122xhHdxdxdxd边界条件fxttHxdxdx000,0|0《高等传热学》研究生课程讲稿-第二次课(2学时)稳态导热第3页令xz2,其中hH2,则有0222dxdzdzd其通解为:zKCzIC0201利用边界条件得温度场:HIxI22000,肋基热流量:2010222mWHIHILHdxdLQHx其中010KII、、分别为第一类0、1阶及第二类0阶贝塞尔函数。4、最佳肋的问题(参考文献[2]PP76-97)优化条件:重量、体积、传热量、价格,一般以最小的重量换热器传递最大的热量是首要的问题。三、二维稳态导热现象(分离变量法求解Laplace方程)注意:分离变量法分析求解导热问题的条件、基本步骤;特征方程、特征函数及其模或范数、特征值在分离变量法中的重要作用。1、示例确定如图所示矩形薄板的温度场及y=0处单位厚度的热流量。解:问题的数学描述为:02222ytxt,12211000ttLyttyttLxxtx时,时,时,时,,含有3个非齐次边界条件。为减少非齐次边界条件的个数,令1tt,得02222yx,000002121时,时,时,时,LyttyLxxx,通过变量代换,将非齐次边界条件个数减少至1。分离变量,令)(,yYxXyxt,得01122222>dyYdYdxXdX为常数,称为特征值。0,0,0012XLxAXxXX)(,0,022YLyBYY,其中式(A)称为特征方程特征方程的通解为:xCxCxXsincos21《高等传热学》研究生课程讲稿-第二次课(2学时)稳态导热第4页由0)0('X得02C,由01LX,即0cos11LC,得特征值,3,2,1,2121mLmm特征方程的特解为:即,xCxXmmmsin1此处,xmsin称为特征函数。而方程(B)的通解为:yCyCyYmmsinhcosh43则yByAxyxmmmmmmsinhcoshcos,1由02时,Ly,即0sinhcoshcos,2212LBLAxLxmmmmmm得22sinhcoshLLABmmmm即2212sinhsinhcoshcoshcoscosh,LyLyxLAyxmmmmmmmm又121cos0,ttxAxmmm利用特征函数的正交性:xdxxAxdxttLnmmLn110012coscoscosnmnmdxxALmm0cos1022coscos10201211LAdxxAdxxttmLmmLm此处令2cos1021LdxxNLmm,mN称为特征函数的模或范数。110011sin1sin1cos11mmmmLmmLmLxddxx111212mmmLttA22121112sinhsinhcoshcoshcoscosh12,LyLyxLLttyxmmmmmmmmm令2121mLmm《高等传热学》研究生课程讲稿-第二次课(2学时)稳态导热第5页则:12112111121121sinhsinhcoshcoshcoscosh12,LLLyLLLyLxLLtttyxtmmmmmmmmmy=0处单位厚度的热流量:22121112sinhcoshcoshsinhcoscosh12LyLyxLLttytmmmmmmmmmmm1211120coscoth12mmmmyxLLttytmWLLttdxytQmmmyLyL21112000coth12112、分离变量法的基本步骤分离变量法可直接求解仅含有一个非齐次边界条件的Laplace方程。其基本步骤为:⑴首先利用某种变换,将偏微分方程转换为线性齐次形式,同时只含1个非齐次边界条件,以满足分离变量法使用的条件,对于二维稳态导热问题为3个齐次边界条件和1个非齐次边界条件。⑵分离变量,即引入)(,yYxXyxt,将偏微分方程式化解为两个常微分方程,其中具有两个齐次边界条件的那个常微分方程称为特征方程。⑶求解特征方程,利用对应的两个齐次边界条件,确定一个积分常数及特征值,由此确定特征函数。⑷求解解另一个常微分方程的特特征函数1,mmCyx,利用最后一个齐次边界条件确定一个积分常数,再利用非齐次边界条件及特征函数的模或范数,确定另一个积分常数mC,该积分常数的一般表达式为:?0mLmNdxxfC特征函数从而得到特征解:)(,yYxXyxTiii的确定同样可利用表确定。⑸确定定解问题的解:1)(,iiiyYxXyxT注意:特征值、特征函数、特征函数的模或范数的确定可利用表确定。3、非齐次边界条件多于一个时的稳态导热(参考文献[4]P32)如果矩形柱体的4个边界条件中,非齐次边界条件多于一个,且无法利用变量代换减少非齐次边界条件数目时,虽然不能直接用分离变量法求解,但是可以变为几个简单的导热问题。每个简单导热问题中,非齐次边界条件只有一个,然后用分离变量法求得每个简单导热问题的解,最后,把这几个简单导热问题的解叠加起来,得到原导热问题的解。《高等传热学》研究生课程讲稿-第二次课(2学时)稳态导热第6页n个非齐次边界条件,可以分解成n个简单导热问题。某矩形柱体,其边界条件如图示,其中4个边界条件都是非齐次的,因而这个问题可以分解为4个简单导热问题,求解原理如图所示。多个非齐次边界条件的稳态导热这里要注意一点,每一个简单导热问题中的三个齐次边界条件,一定要是原非齐次边界条件对应的齐次边界条件。例如x=0处是非齐次的第三类边界条件,其对应的齐次边界条件应是齐次第三类边界条件。注意:各类非齐次边界条件所对应的齐次边界条件如何表达?基准温度又是多少?教材P29图2-2的表达方法有错误!关键是过余温度中基准温度的选取。如果图中ytw1、ytf2、xtf4均为非常数,则取过余温度没有任何意义,如果有一项为常数,则应取该常数为基准温度,可使该边界条件齐次化。参考文献:[1]程俊国等.高等传热学[M].北京:重庆大学出版社.1991[2]E.R.G.埃克特.R.M.德雷克著.航青译.传热与传质分析[M].北京:科学出版社,1983[3]M.N.奥齐西克著.俞昌铭主译.热传导[M].北京:高等教育出版社,1983[4]杨强生等.高等传热学[M].上海:上海交通大学出版社,2001
本文标题:第02次课J-稳态导热
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