第07章习题分析与解答

EOr(B)E∝1/r2REOr(A)E∝1/r2REOr(C)E∝1/r2REOr(D)E∝1/r2EOr(B)E∝1/r2REOr(A)E∝1/r2REOr(C)E∝1/r2REOr(D)E∝1/r2第七章静电场7-1关于电场强度与电势的关系，描述正确的是[]。(A)电场强度大的地方电势一定高；(B)沿着电场线的方向电势一定降低；(C)均匀电场中电势处处相等；(D)电场强度为零的地方电势也为零。分析与解电场强度与电势是描述静电场的两个不同物理量，电场强度为零表示试验电荷在该点受到的电场力为零，电势为零表示将试验电荷从该点移到参考零电势点时，电场力作功为零；电场强度等于负电势梯度；静电场是保守场，电场线的方向就是电势降低的方向。正确答案为（B）。7-2半径为R的均匀带电球面的静电场中各点的电场强度的大小E与距球心的距离r之间的关系曲线为[]。7-3、下分析与解根据静电场的高斯定理可以求得均匀带电球面的电场强度分布为RrrQRrE2040。正确答案为（B）。7-3下列说法正确的是[]。（A）带正电的物体电势一定是正的(B)电场强度为零的地方电势一定为零（C）等势面与电场线处处正交(D)等势面上的电场强度处处相等分析与解正电荷在电场中所受的电场力的方向与电场线的切线方向相同，电荷在等势面上移动电荷时，电场力不做功，说明电场力与位移方向垂直。正确答案为（C）。7-4真空中一均匀带电量为Q的球壳，将试验正电荷q从球壳外的R处移至无限远处时,电场力的功为[]。（A）24RqQo（B）RQo4（C）Rqo4（D）RqQo4分析与解静电场力是保守力，电场力做的功等电势能增量的负值，也可以表示成这一过程的电势差与移动电量的乘积，由习题7-2可知电场强度分布，由电势定义式RrEdV可得球壳与无限远处的电势差。正确答案为（D）。7-5关于静电场的高斯定理有下面几种说法，其中正确的是[]。（A）如果高斯面上电场强度处处为零，则高斯面内必无电荷；（B）如果高斯面内有净电荷，则穿过高斯面的电场强度通量必不为零；（C）高斯面上各点的电场强度仅由面内的电荷产生；（D）如果穿过高斯面的电通量为零，则高斯面上电场强度处处为零分析与解静电场的高斯定理表明，高斯面上的电场强度是由面内外电荷共同产生，而高斯面的电通量只由面内电荷决定。正确答案为（B）。7-6在棱长为a的立方体中心放一点电荷Q，则通过其下底面的电通量为[]。（A）oQ6（B）oQ（C）0（D）oQ4分析与解由静电场的高斯定理可知，该立方体六个面的电通量只由面内电荷决定，并且六个面的电通量是均等的。正确答案为（B）。7-7如图所示，当把正电荷Q从A点缓慢移动到B点时，则导体内某点P的电场强度与电势（取无限远处为电势零点）的变化情况为[]。（A）电场强度不变，电势升高（B）电场强度变大，电势升高（C）电场强度不变，电势不变（D）电场强度变大，电势不变分析与解静电平衡条件下的导体内部场强恒为零，故P点的场强不变；电场线的方向是电势降落的方向，当正电荷从A点移向B点时，相当于P点逆着电场线方向移动靠近正电荷Q，电势升高。正确答案为（A）。7-8一空气平行板电容器，充电后与电源断开，当在极板间充满介电体时，则下列叙述错误的是[]。（A）极板间的电场强度变小（B）极板间的电势差变小（C）电容器包含的电场能变小（D）电容器的电容变小分析与解介电体放入电场中因发生极化，从而改变自身的电荷分布并对电场产生影响。当电容器板间填充介电体后，可以提高电容器的容电能力和耐压能力。正确答案为（D）。7-9真空中一均匀带电细圆环，电荷线密度为λ，则将单位正电荷从圆心移至无限远处时电场力的功为。分析与解静电场力的功可以用移动的电荷与对应的电势差的乘积表示，而无限远处电势设为零，故只要求得细圆环圆心处的电势，就可得电场力的功。正确答案为（02ελ）。7-10半径为R，电荷面密度为σ的均匀带电球面，若挖掉一小面积元S后，则球心处电场强度大小为。分析与解均匀带电球面挖掉一小面元后，电荷分布不满足球对称，可用补偿法求解，即等效于带异号等量电荷的小面元在球心处所产生的电场强度。正确答案为（RεS04）。7-11负电荷逆着电场线方向运动，电场力做______功（填正、负），其电势能_______（增加、减少）。分析与解负电荷逆着电场线方向运动与其所受电场力的方向相同，故电场力做正功；静电场力是保守力，保守力做正功时，其电势能减少。正确答案为（正、减少）。7-12与点电荷C100.28q分别相距m0.1a和m0.2b的两点的电势差为。分析与解由点电荷的电势分布式rεqV04可知，离点电荷相同距离的场点，电势相同。正确答案为（v901140baεqU）。7-13地球表面附近的电场强度约为100N/C，方向垂直地面向下，假设地球上的电荷都均匀分布在地表面上，则地球表面的电荷面密度为_____。（真空的电容率为8.85×10-12C2.N-1.m-2）分析与解在地面附近作钱币状高斯面，由静电场的高斯定理可求得地面附近的电场强度为0εE。正确答案为（210mC1085.8）。导体ABQP习题7-7图习题7-14图PL0xxdx•-L/2+L/2r7-14如图所示，一长为L、均匀带电量为Q的细棒，其延长线上有一点P，到细棒的中心的距离为L，求P处的电场强度和电势。分析这是一个连续带电体的电场强度的计算问题。此时棒的长度不能忽略，不能当作点电荷来处理，但带电细棒上的电荷是均匀分布的，在细棒上取一线元dx，其所带的电荷在P点产生的电场强度满足点电荷的场强公式，积分遍及整个带电细棒即可。电势的计算类似。解（1）如题图，电荷元xLQqdddq在点P的电场强度dxxLLQrdqdE2020)(44积分得2020223)(4LQdxxLLQdEEELLp（2）同理，dq在点P的电势dx)xL(L4Qr4dqdV00积分得3ln4)(40022LQdxxLLQdVVLLp（2分）7-15如图所示，一个半径为R的1/4圆弧状橡皮绳，均匀地分布着线密度为λ的电荷，求其中心O处的电场强度和电势。分析这是个连续带电体问题，求解关键是如何取电荷元。解（1）选择电荷元θRqdd,其在圆心O点电场强度为θRεRεqEd44dd020分解得θθRεθEE0xdsin4sindd，θθRεθEE0ydcos4cosdd由对称性可知，Ex=0，积分得RθθR004/4yy42dcos4dEE合场强E=Ey方向沿y轴负向。OxRθdEdqθy（2）同理，dq在圆心O点的电势θεRεqVd44dd00积分得圆心O的电势004/48d4dθVV7-16两个带有等量异号电荷的无限长同轴圆柱面，半径分别为R1和R2（R1R2），单位长度上的电荷为λ。求离轴线为r处的电场强度：（1）；（2）R1rR2；（3）rR2。分析电荷分布在无限长同轴柱面上，电场强度也必定沿轴对称分布，取同轴圆柱面为高斯面，只有侧面的电场强度通量不为零，再求出不同半径高斯面内的电荷代数和，即可求得各区域电场分布。解如图，作同轴圆柱面为高斯面，根据高斯定理S2πd0q/rLESE0，0,11EqRr得当rελELqRrR02212，，得时当0，0,32EqRr得当在带电面附近，电场强度大小不连续，电场强度有一跃变00022εσrLελLrελE这一跃变是将带电圆柱面的厚度抽象为零的必然结果，且具有普遍性。7-17两个同心球面的半径分别为R1和R2各自带有电荷Q1和Q2。求（1）各区域电势的分布，并画出分布曲线；（2）两球面上的电势差为多少？分析求电势分布通常可采用两种方法：（1）由于电荷分布具有球对称性，因此，可根据电势与电场强度的积分关系求电势；（2）利用电势叠加原理求电势，一个均匀带电球面内外的电势为：)(4）（400RrRεQRrrεQV其中R是球面的半径。将两个球面在各区域产生的电势叠加，可求得电势分布。解1（1）由高斯定理可求得电场分布）（011RrE)(42102RrRrεQEr21e)(42023RrrεQQEr21e由电势rVlEd可求得各区域的电势分布。R1R2r习题7-16图3-2LrR1R2O习题7-17图2021012021210132111444)11(40ddd，1212RεQRεQRεQQRRεQVRrRrRRRlElElE有时当20201202120132221444)11(4dd22RεQrεQRεQQRrεQVRrRRrRlElE时当r4d,0213322εQQVRrRlE有时当（2）两球面间的电势差)11(4d210121221RRεQURRlE解2（1）由各球面电势的叠加计算电势分布。2021011144，，RεQRεQVRr有时即若点位于两个球面之内2020122144，，RεQrεQVRrR有时当若点位于两个球面之间r4，，02132εQQVRr有时即若点位于两个球面之外（2）两个球面间的电势差)11(4)(210121122RRεQVVURr7-18在一次典型的闪电中，两个放电点间的电势差约为109V，被迁移的电荷约为30C，如果一个家庭1年消耗的能量为3000kw·h，则可为多少个家庭提供1年的能量消耗？解一个家庭一年消耗的能量为J1008.1hkw3000100E故8.200EqUEEn即一次闪电在极短的时间内释放出来的能量约可维持3个家庭一年清耗的电能。