第10章状态空间实现.

内蒙古工业大学电力学院自动化系第10章传递函数矩阵的状态空间实现☝☑实现的定义和属性☑能控类实现和能观测类实现10.1实现的基本概念和基本属性10.2标量传递函数的典型实现10.3基于有理分式矩阵描述的典型实现：能控形实现和能观测形实现☑能控规范形实现☑能观测规范形实现第10章传递函数矩阵的状态空间实现☑最小实现☑实现的最小维数☑并联形实现☑串联形实现内蒙古工业大学电力学院自动化系第10章传递函数矩阵的状态空间实现☝10.4基于矩阵分式描述的典型实现：控制器形实现和观测器形实现本章主要内容☑右MFD的控制器形实现☑控制器形实现的性质☑左MFD的观测器形实现☑观测器形实现的性质10.6不可简约矩阵分式描述的最小实现内蒙古工业大学电力学院自动化系第10章传递函数矩阵的状态空间实现☝10.1实现的基本概念和属性一、实现的意义1.物理意义u物理系统yuy(,)(,)xfxuygxu把外部描述的系统，用表征系统内部结构特性的内部描述等价。2.数学意义给定线性定常系统，传递函数矩阵，如果可以找到一个状态空间描述，使满足，则称为的一个实现。()GsxAxBuyCxEu1()()CsIABEGs(,,,)ABCE()Gs内蒙古工业大学电力学院自动化系第10章传递函数矩阵的状态空间实现☝10.1实现的基本概念和属性3.实现的基本属性（1）实现的维数实现的复杂程度由系统矩阵A的维数n或状态向量X的维数n表征。（2）实现的不惟一性实现的结果不惟一，维数也不惟一。（3）最小实现维数最小，结构最简，能控能观测实现。（4）代数等价关系最小实现之间存在代数等价关系内蒙古工业大学电力学院自动化系第10章传递函数矩阵的状态空间实现☝10.1实现的基本概念和属性（5）实现的物理本质对具有“黑箱”形式的真实系统，在状态空间领域寻找一个外部等价地内部假想结构，内部假想结构对真实系统的可否完全表征性依赖于系统的是否能控和能观测。（6）实现的形式G(s)为严真，其实现为（A,B,C)，E=0G(s)为真，其实现为（A,B,C,E)，lim()sEGs内蒙古工业大学电力学院自动化系第10章传递函数矩阵的状态空间实现☝10.1实现的基本概念和属性二、能控类实现和能观测类实现1.能控类实现(,,,)ABCE()Gs为的一个能控类实现，满足：1()()CsIABEGs①②(A,B)能控且有指定形式。2.能观测类实现(,,,)ABCE()Gs为的一个能观测类实现，满足：1()()CsIABEGs①②(A,C)能观测且有指定形式。内蒙古工业大学电力学院自动化系第10章传递函数矩阵的状态空间实现☝10.1实现的基本概念和属性三、最小实现(A,B,C)为严真传递函数矩阵G(s)的最小实现的充分必要条件是，(A,B)能控且(A,C)能观测。证明：必要性：已知(A,B,C)为最小实现，欲证(A,B)能控且(A,C)能观测采用反证法，反设(A,B,C)不是联合能控能观测的，则可通过结构分解找出其能控和能观测部分，且成立1111(,,)ABC111111()()()CsIABCsIABGs11dim()dim()AA与已知(A,B,C)为最小实现矛盾反设不成立，必要性得证。1.最小实现判据内蒙古工业大学电力学院自动化系第10章传递函数矩阵的状态空间实现☝10.1实现的基本概念和属性充分性：已知(A,B)能控且(A,C)能观测，欲证(A,B,C)为最小实现采用反证法，反设(A,B,C)不是最小实现，则G(s)必存在另一最小实现(,,)ABCdim()dim()nAAn对任一输入u有相同输出y，即()()00()()ttAtAtCeBudCeBud考虑到u和t的任意性，导出()()AtAtCeBCeB令，且表0()()AtAtHtCeBCeBHt(1)()AtAtHtCeABCAeB(2)22()AtAtHtCeABCAeB内蒙古工业大学电力学院自动化系第10章传递函数矩阵的状态空间实现☝10.1实现的基本概念和属性(1)(1)(1)(2)()(1)()(22)()()()()()()()()()()nnnnnHtHtHtHtHtHtLtHtHtHt1212211(0)nnnnnnocnCBCABCABCABCABCABLCABCABCABCCABABABQQCA(0)ocLQQococQQQQ内蒙古工业大学电力学院自动化系第10章传递函数矩阵的状态空间实现☝10.1实现的基本概念和属性与反设矛盾，充分性得证。已知(A,B)能控且(A,C)能观测orankQncrankQnocrankQQnmin,ococnrankQQrankQrankQ即orankQncrankQn2.最小实现的广义惟一性任意两个最小实现和，满足广义惟一性，即存在非奇异常阵，使成立：(,,)ABC(,,)ABCT1ATATCCT1BTB证明：由和为最小实现，有(,,)ABC(,,)ABCcocorankQrankQrankQrankQn内蒙古工业大学电力学院自动化系第10章传递函数矩阵的状态空间实现☝10.1实现的基本概念和属性由上述结论证明知ococQQQQ11()()()ocTTTTcooooococoQQQQQQQQQQQTQ令1()TTooooTQQQQ11)()()(TTTToccccccoococQQQQQQQQTQQQQ令1()TTccccTQQQQ导出TTI和均为非奇异，且TT1TT由1ccQTQ111nnBABABTBABAB得1BTB内蒙古工业大学电力学院自动化系第10章传递函数矩阵的状态空间实现☝10.1实现的基本概念和属性由得ooQQT11nnCCCACATCACACCT由ococQQQQ1111nnnnCCCACABABABBABABCACACBCB得CABCABkkCABCAB内蒙古工业大学电力学院自动化系第10章传递函数矩阵的状态空间实现☝10.1实现的基本概念和属性11111nocnnnococCCAQAQABABABCACCABABABCAQAQQTATQCBCBCABCABkkCABCAB1ATAT即1ATAT内蒙古工业大学电力学院自动化系第10章传递函数矩阵的状态空间实现☝10.1实现的基本概念和属性四、最小实现的维数1()iiiGshs严真为马尔柯夫参数矩阵ih123234345hhhhhhHhhh定义汉克尔矩阵minnrankH11()()0()()()0000rrssMsssG(s)对应的史密斯-麦克米伦形min1deg()riins内蒙古工业大学电力学院自动化系第10章传递函数矩阵的状态空间实现☝10.2标量传递函数的典型实现11101110()()()nnnnnssnsgsdssss1.能控规范形0110101cnA001cb011cnc（1）能控规范形实现的惟一性（2）实现维数的非最小性若d(s)和n(s)非互质，则实现为能控不能观测。内蒙古工业大学电力学院自动化系第10章传递函数矩阵的状态空间实现☝10.2标量传递函数的典型实现2.能观测规范形0110011onA011onb001oc（1）能观测规范形实现的惟一性（2）实现维数的非最小性若d(s)和n(s)非互质，则实现为能观测不能控。内蒙古工业大学电力学院自动化系第10章传递函数矩阵的状态空间实现☝10.2标量传递函数的典型实现3.并联形实现1()()()()()niiysgsusgsus()iiifgss1()gs2()gs()ngsuy12nA111b12ncfff内蒙古工业大学电力学院自动化系第10章传递函数矩阵的状态空间实现☝10.2标量传递函数的典型实现4.串联形实现1()gs2()gs()ngsuy例：3224()342isgssss能控规范形010001243cA001cb420cc能观测规范形002104013oA420ob001oc内蒙古工业大学电力学院自动化系第10章传递函数矩阵的状态空间实现☝10.3基于有理分式矩阵描述的典型实现()()qpijGsgs假定为严真其最小公分母1110()llldssss1110()1()()()llPsGsPsPsPdsdsP(s)为多项式矩阵10111()312(3)(2)(3)(2)111031(3)(2)()GssssssssPsPssds例：内蒙古工业大学电力学院自动化系第10章传递函数矩阵的状态空间实现☝给定，能控形实现为10.3基于有理分式矩阵描述的典型实现1、能控形实现()()qpijGsgs(,,)cccABC01100pcppplpIAIIII00cpBI011clCPPP说明：（1）能控形实现为标量传递函数能控形实现的推广。（2）能控形实现不一定能观测。内蒙古工业大学电力学院自动化系第10章传递函数矩阵的状态空间实现☝10.3基于有理分式矩阵描述的典型实现令121()()()()()cclVsVsVssIABVs()()ccsIAVsB即()()ccsVsAVsB1122011()()00()()00()()pppplppllIsVsVssVsVsIIIIIsVsVs①1()()cccCsIABGs①证明：②能控(,)ccAB内蒙古工业大学电力学院自动化系第10章传递函数矩阵的状态空间实现☝10.3基于有理分式矩阵描述的典型实现1122011()()00()()00()()pppplppllIsVsVssVsVsIIIIIsVsVs122301121()()()()()()()()lllpsVsVssVsVssVsVsVsVsI21()()VssVs2321()()()VssVssVs11111101()()()()lllpsVssVssVsVsI111()()()lllVssVssVs11101()()lllpsssVsI1()()pdsVsI内蒙古工业大学电力学院自动化系第10章传递函数矩阵的状态空间实现☝10.3基于有理分式矩阵描述的典型实现12101101111011()()()(1()1()())clPlllccllCPPPsIPPPdssPPsPsVsVssIABVsGs