第10章矩量法

327第十章矩量法解析方法仅适用于结构简单的散射体。如果散射目标结构复杂，必须选用数值方法。数值方法是对所求解的微分方程或积分方程实施离散，采用一组基函数表示电场、磁场或感应电流等未知量，然后将电磁场微分方程或积分方程转换为一组线性代数方程，即可按照标准的数值程序求解这些线性方程组。数值方法的优点在于容易处理结构复杂的散射体，而且通常可以获得高精度解。随着高性能计算机的飞速发展，数值方法已经成为解决实际问题的日益重要的工具。现今已有多种数值方法，各具特色，分别适用于求解不同的电磁问题。典型的数值方法是矩量法（MoM）、时域有限差分法（FDTD）和有限元法（FEM）等。本章讨论矩量法，后两章将分别介绍时域有限差分法和有限元法。矩量法是求解算子方程的有效方法，这些算子通常是微分算子、积分算子或者是两者的组合。20世纪60年代，R.F.Harrington首先将矩量法用于电磁问题的求解[1]。目前已经广泛地用于天线分析、微波器件的设计以及复杂目标的雷达散射截面（RCS）的计算。通常认为矩量法是精度最高的数值方法，因此引起更多的关注。如今很多商用软件的开发都基于矩量法。但是，矩量法需要求解稠密的矩阵方程。对于电大尺寸的散射体，它将十分消耗大量机时及内存。为了解决这个问题，人们作了很多努力，研发快速计算和有效的存储方法。因此发展了很多有关积分方程的快速求解算法，大力推动了矩量法的应用。10-1一般步骤典型的算子方程可以表示为下列形式hLf（10-1-1）式中L为线性算子，可以是微分、积分或两者组合，h为一个已知函数，f为待求的未知函数。这些函数可以是矢量或标量，且定义域可为一维、二维或三维空间。因此，在电磁学中它们可以是空间及时间函数。矩量法的一般步骤是，首先将未知函数表示为一组基函数的线性组合，然后匹配算子方程，最后由离散的线性方程组求出展开系数。下面详述矩量法的具体步骤。首先令Nfff,,,21为一组基函数，那么，未知函数)(xf可以近似表示为NnnnNNxfaxfaxfaxfaxf12211)()()()()(（10-1-2）式中),,3,2,1(Nnan为展开系数，它们是未知的。如果N足够大，上述表示式将非常精确。将上式代入式（10-1-1），得)()(1xhxLfaNnnn（10-1-3）下一步是选择一组权函数，N，以每个权函数与上式各项逐一相乘，并且在未知函数的定义域内求积，建立一组未知系数为na的线性代数方程。该组方程可以表示为1,1,2,3,,NmnnmnZabmN（10-1-4）该方程组的系数及右边项分别为xLfxwZnmmnd)(（10-1-5）xxhxwbmmd)()(（10-1-6）求出未知系数后，即可近似地决定未知函数，并由此求得其它场量。上面简述了矩量法的求解过程，现在需要讨论几个问题。首先是基函数的选择。对于基函数的两个基本要求是完备性和正交性。完备性是指选择的基函数可以精确地表示任何未知函数，且其精度随着基函数的数目增加而提高。正交性可以放宽为线性独立，即要求一组基函数中任何两个必须是线性独立的。众所周知，一组线性独立函数总可以应用所谓Gram-Smit方法使其正交化。此外，表示式的有效性通常也是选择基函数的重要判椐。328如果基函数可使未知函数易于满足实际的边界条件，那么即是一种较好的基函数。具有实际应用的典型基函数有两种：其一称为全域基函数，另一个称为分域基函数或称为子域基函数。每一个全域基函数都在相同的域中定义，而每一个分域基函数的非零区域是在未知函数的部分域中定义。例如下列积分方程2d)(),(11xxfxxg（10-1-7）其中未知函数)(xf的定义域为]1,1[，因此，基函数]1,1[),2/sin()(xnxxfn是一组全域基函数。全域基函数的很大优点是各个基函数具有相同的表示精度。与分域基函数比较，采用全域基函数时通常待求的未知数的数目较少。因为使用全域基函数时无须网格剖分，数值计算也相对地易于实现。一些有用的全域基函数是多项式（例如,,,,,12nxxx。），以及正弦和余弦函数。例如，对于区域],0[a，可以选择),/3sin(),/2sin(),/sin(axaxax作为一组基函数。全域基函数通常用于求解一维问题的线性积分方程，定义域为矩形的二维问题有时也可采用。全域基函数也可与分域基函数组合使用。一个典型的例子是，旋转体散射问题的求解。此时，每个基函数是一个随角度变化的全域基函数与一个轴向变量的分域基函数（例如方波函数或三角函数）的乘积。全域基函数的主要缺点是，它们仅可用于形状规则的定义域，例如一维导线和二维的方形或矩形域。对于边界形状复杂的区域，定义全域基函数是十分困难的。一个分域基函数仅在部分函数域内定义有非零值，通常这部分域的尺寸远小于波长。除了方波函数（又称为脉冲基函数）以外，几乎全部分域基函数（例如三角函数）具有重叠的非零区。因此，为了定义分域基函数，通常需要将求解区域划分为很多小片的集合，每个小片称为一个网格单元或简称为一个单元。这样的单元集合构成目标的近似表示，因此称为网格。一些典型的网格单元形状如图10-1-1所示。典型的网格单元的形状，对于线状结构为线段；对于面状结构为三角形和方形；对于体状结构为立方体、四面体及棱柱体[2~5]。实际上，广泛地选择矩形基函数和三角基函数作为分域基函数[2~5]。许多其它基函数是该两种基函数的变形或组合。一个矩形基函数在一个单元内定义为1，而在其余全部单元内定义为零。因此，任何两个矩形基函数的非零的子域不会重叠。三角基函数恰好相反，每个三角基函数在两个单元中具有非零区域。显然，基函数的选择有时与网格的形状有关。以一维为例，将未知函数定义在一个区域[0,1]，再将该区域划分为相同尺寸的N个子区。第n个子区的数学定义为ΔΔ)1(nxn，这里Nn,,3,2,1，而N1/Δ。一个矩形基函数)(xfn定义为其它区域,0ΔΔ)1(,1)(nxnxfn（10-1-8）该函数如图10-1-2所示。(a)(b)(c)图10-1-1典型的网格单元：(a)线段，(b)平面三角形，(c)六面体329为了说明表示的精度，图10-1-3中给出函数]4,3[,sin)(xxxf的近似表示，图10-1-3(a)为原函数，图10-1-3(b)使用14个矩形基函数表示，图10-1-3(c)使用46个矩形基函数表示。由图可见，为了精确地表示一个函数需要大量矩形基函数。矩形基函数是在一个分段内用常数表示的函数，所以它是一个零阶的函数。矩形基函数十分简单，且易于编程。但是，它不是一个有效的基函数。为了改善表示的有效性，可以提高基函数的阶数。三角函数是一个一阶基函数，因为它在一段域内线性地由0增加到1，在相邻的域内线性地由1降至0。因此，两个相邻的三角函数具有重叠部分。再以一维例子予以说明。令],[1nnxx和],[1nnxx为两个相邻的单元，那么一个三角基函数可以表示为111111),/()(),/()()(nnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxf（10-1-9）该函数如图10-1-4(a)所示。图10-1-4(b)使用5个三角基函数近似表示函数]2,0[,2)(2xxxxf。显然，三角基函数比矩形基函数能够更加有效地表示原函数。下面讨论算子方程的匹配技术。匹配即是使原方程在弱条件下近似成立的方法。例如在函数域中某点使方程两边相等，那么获得一个代数方程。如果对于N个不同点重复进行，那么将获得N个线性无关的方程。这是一种最简单的匹配方法，通常称为点匹配技术。总之，矩量法的一般步骤即是，首先选择一个权函数，与算子方程相乘，然后将方程两边再分别在未知函数的定义域1ΔΔ)1(nn)(xfx图10-1-2第n个矩形基基函数)(xfn图10-1-3sinx函数的近似表示：(a)原函数，(b)14个矩形基函数，(c)46个矩形基函数图10-1-4三角基函数及其表示：(a)第三和第四单元中的三角基函数。(b)5个三角基函数近似表示函数]2,0[,2)(2xxxxf。0)(3xfx(a)(b)0xxx222330内进行积分。如果对于N个不同的权函数重复进行，也可建立N个线性代数方程。现有许多不同的匹配方法，在矩量法中最为广泛使用的是Galerkin方法，这种方法选择权函数组与基函数组相同。下面详细说明使用矩形基函数作为权函数的点匹配技术。为了简单起见，仍以一维问题为例。令ncx为区域],[1nnxx的中心，那么对于这个区域的方波函数定义为1()0,()d1nnnncxnxwxxxwxx（10-1-10）如果使方程在Nxxxx,,,,321等处进行点匹配，得NmxhxLfamNnmnn,,3,2,1),()(1（10-1-11）点匹配技术基于场量在匹配点附近区域内（通常小于十分之一波长）是平滑的假定，其精度是有限的，且仅可用于小网格的情况。但是，点匹配技术避免了积分，便于应用。如果使用Galerkin方法匹配方程，那么)()(xfxwmm，获得的方程具有下列形式1()d()()d,1,2,3,,NnmnmnafxLfxfxhxxmN（10-1-12）Galerkin匹配方法的一个优点是，获得的系数矩阵通常是对称的，这将减小内存，因为所需的矩阵单元数仅略微超过一半。而且Galerkin匹配方法比点匹配技术的精度高。上述算子方程的离散方法很容易推广到二维和三维情况。矩量法的最后一步是求解线性方程组。现有很多标准程序可以完成这个任务。例如，广泛用于科学与工程计算的LAPACK和PETsc两个软件包含有许多这样的子程序。求解线性方程组的方法中，直接求解和迭代求解是两种最为常用的方法。直接法所需的内存正比于2N（N是未知数的数目），所需的CPU时间正比于3N。这些方法最为精确，且适用于多个右端项。但是，随着未知数的增加，CPU时间迅速加长。迭代法试图以有限的迭代次数构造一个近似解。在计算电磁学中，共轭梯度法（CG）及其相关的变形广泛地用于迭代求解[2]。迭代求解时，为了求解一个右端矢量对应的未知数所需的内存和CPU时间正比于2N。必须承认无论直接求解还是迭代求解均限于求解电小问题。幸运的是，近数十年以来已经开发了很多快速积分方程求解方法，显著地增强了矩量法的求解能力。10-2线散射设一根理想导电的导线位于自由空间，其半径为常数a，且远小于波长。再令导线的中心线为C，其表面为S。如果是多根线体，C代表一组全部线体中心线的集合，而S代表全部表面的集合。在入射波作用下，导线表面产生的感应电流为J，那么该电流产生的散射电场sE可以表示为SSSGSGd)(),(j1d)(),(j)(0000srJrrrJrrrE（10-2-1）式中),(0rrG为三维自由空间Green函数，即rrrrrrπ4e),(0j0kG（10-2-2）若以)(irE表示入射电场，那么理想导电表面的边界条件可以表示为SrrErE,)()(tits（10-2-3）式中下标“t”代表矢量的切向分量。由于导线很细，确切地说导线半径为电小尺寸，那么可取两个近似：①认为导线中的电流在垂直于导线的平面内为常数；②不考虑电流圆周方向的分量，因为该分量的辐射由于相互抵消，因而贡献通常很小。这就是所谓的电细导线近似。通常，如果331导线的半径小于或等于0.01，为激励波的波长，那么即可认为电细导线。如果导线半径不满足这个条件，或者要求更高的精度，应该采用三维全波模型，详述见10-5节。在电细导线近似情况下，未知的表面电流可以表示为alIπ2)()(terJ（10-2-4）式中te为沿表面S的切线方向上的单位矢量。因此，面积分方程简化为线积分方程，即i000t01j(,)()d(,)()d(),jCCGIlGIlSll