第11章弯曲应力.

第11章弯曲应力§11-1平面弯曲的概念及实例1.弯曲：举例说明：我们在家洗衣服后，总是要拿到阳光下去晒，在这种情况下，我们都是在有阳光的地方拉一根铁丝（或绳子），在没有铁丝或绳子的情况下，一般都喜欢在两个建筑物之间横上一根竹杆用来凉衣服。这些绳子或竹杆在没有挂上衣物之前都保持在水平位置（它的轴线自然也是一条水平直线）。当我们把衣服挂上去之后，结果我们发现原来为直线的轴线变成了曲线，这种形式的变形我们就称为弯曲变形。再如我们书中所举的火车轮轴的例子，也是一样的情况。2、定义：当通过杆件轴线的纵向平面内作用一对等值、反向的力偶时，杆件的轴线由原来的直线变为曲线，这种形式的变形就称为弯曲。3、梁：以弯曲为主要变形的杆件，我们通常称之为梁。①轴线是直线的称为直梁，轴线是曲线的称为曲梁。②有对称平面的梁称为对称梁，没有对称平面的梁称为非对称梁5、非对称弯曲：若梁不具有纵向对称面，或梁有纵向对称面，但外力并不作用在纵向对称面内的弯曲。FqFAFB纵向对称面4、平面弯曲（对称弯曲）一般情况下，工程中受弯杆件的横截面都至少有一个通过几何形心的对称轴，因而整个杆件都有一个包含轴线的纵向对称面。如下图，当作用于杆件的外力都在这个纵向对称平面上时，可以想象到，弯曲变形后的轴线也将是位于这个对称面内的一条曲线。这种情况的变形我们就称为平面弯曲变形，简称为平面弯曲。§11-2弯曲正应力纯弯曲横力弯曲常量MF0S)(0SxMMF0000FSxFFxMFaFalaF①横向线(ab、cd）变形后仍为直线，但有转动；1、梁的纯弯曲实验纵向对称面bdacabcdMM②纵向线变为曲线，且上缩下伸；③横向线与纵向线变形后仍正交。④横截面高度不变。11-2-1实验现象的观察与分析2.平面假设：梁在变形前为平面的横截面，变形后仍保持为平面，并仍然垂直于变形后的梁轴线，只是绕截面内的某一轴线旋转了一个角度，这就是弯曲变形的平面假设。对上面的实验结果进行判断和推理，我们就可以得出如下的结论：假设各纵向纤维之间互不挤压。于是各纵向纤维均处于单向受拉或受压的状态。3.单向受力假设：平面假设梁在纯弯曲时，横截面仍保持为平面，且与梁变形后的轴线仍保持正交，只是绕垂直于纵对称轴的某一轴转动。中性轴根据变形的连续性可知，梁弯曲时从其凹入一侧的纵向线缩短区到其凸出一侧的纵向线伸长区，中间必有一层纵向无长度改变的过渡层，称为中性层。中性层中性轴中性层与横截面的交线就是中性轴。中性层中性轴11-2-2正应力公式的推导（一）几何方面表面变形情况(1)纵线弯成弧线，靠近顶面的纵线缩短，而靠近底面的纵线则伸长；(2)横线仍为直线，并与变形后的纵线保持正交，只是横线间相对转动。mabmanbnmmnnaabbyOOBBABBB21111dd21xOOd)(yAB——中性层的曲率半径CABO1O2B1d}dxmmnnaabb（二）物理方面——单轴应力状态下的胡克定律不计挤压，即认为梁内各点均处于单轴应力状态。当p，且拉、压弹性模量相同时，有yyEE即直梁的横截面上的正应力沿垂直于中性轴的方向按直线规律变化。zOyzdAdAyx（三）静力关系：从式yE可知：我们虽然知道了正应力的分布规律，但因曲率半径和中性轴的位置尚未确定，所以仍不能求出正应力，因此我们还有必要考虑静力平衡关系。如图所示：横截面上的微内力可组成一个与横截面垂直的空间平行力系，这样的平行力系可简化成三个内力的分量：N——平行于x轴的轴力NMZ——对Z轴的力偶矩My——对y轴的力偶矩z(中性轴)ydA图6—6NAyAzAFdAMzdAMydA其中：由左半部分平衡可得：zAAyzAAzAAEIMMdAyEdAyIdAyzEdAzSdAyEdA10000200NAyAzAFdAMzdAMydA0000yzAAzAAIdAyzEdAzSdAyEdA中性层通过截面形心。由于y轴是横截面的对称轴，故自然满足。由yEEIMz1zIyM(6—3)其中：1是梁轴线变形后的曲率，EIz是梁的抗弯刚度。上式即是纯弯曲时，梁横截面上正应力的计算公式。（四）讨论：1.梁的上下边缘处，弯曲正应力达到最大值，分别为：zyzLIMyIMy2max1max，zzWMyIM)/(||maxmax，式中：Wz——抗弯截面模量对矩形和圆形截面的抗弯截面模量。[注：各种型钢的抗弯截面模量可从型钢表中查到]矩形：6212223bhhbhhIWzz(6—4)圆形：32264234ddddIWzz(6—5)若梁的横截面对中性轴不对称，其最大拉压应力并不相等，这时应分别进行计算。2.横截面上正应力的分布规律：maxmaxMminMmin3.公式适用范围：①适用于线弹性范围——正应力小于比例极限p；②适用于平面弯曲下的纯弯曲梁；③横力弯曲的细长梁(跨度与截面高度比L/h5)，上述公式的误差不大，但此时公式中的M应为所研究截面上的弯矩，即：zIyxM)(目录中性轴z为横截面的对称轴时zIMymaxmax称为弯曲截面系数maxyIMzzWMyzzybh中性轴z不是横截面的对称轴时zIMymax,tmaxt,zIMymaxc,maxc,Ozyyt，maxyc，maxⅡ.纯弯曲理论的推广横力弯曲时：1、由于切应力的存在梁的横截面发生翘曲；2、横向力还使各纵向线之间发生挤压。平面假设和纵向线之间无挤压的假设实际上都不再成立。弹性力学的分析结果：对于细长梁（l/h5），纯弯曲时的正应力计算公式用于横力弯曲情况，其结果仍足够精确。zIyxM)(zWxM)(maxFl4lF§11-3常用截面的惯性矩、平行移轴公式一、基本概念1.静矩（或一次矩）OxdAyyxCxydAx——微面积对y轴的静矩dAy——微面积对x轴的静矩AxSAydAySAxd——整个平面图形对y轴的静矩——整个平面图形对x轴的静矩2.形心坐标公式ASAAyyASAAxxxAyAdd常用单位：m3或mm3。数值：可为正、负或0。3.静矩与形心坐标的关系yASxASxy推论：截面对形心轴的静矩恒为0，反之，亦然。1.组合截面的静矩根据静矩的定义：整个平面图形对某轴的静矩应等于它的各组成部分对同一轴的静矩的代数和，即：niiixniiiyyASxAS11和面积。个简单图形的形心坐标分别为第和　式中：　iAyxiii,二、讨论：2.组合截面的形心坐标公式niiixniiiyyASxAS11组合截面静矩niiAA1组合截面面积组合截面的形心坐标公式为：niiniiixniiniiiyAyAASyAxAASx1111，11-3-1常用截面的惯性矩1.极惯性矩（或截面二次极矩）AIAd2p2.惯性矩（或截面二次轴矩）AyIAxIAxAydd22222xy由于所以IIAxyAIyxAAd)(d222pOxyyxdA例11-1：试计算矩形截面对于其对称轴（即形心轴）x和y的惯性矩。解：取平行于x轴的狭长条则dA=bdy12dd32222bhybyAyIhhAx同理123hbIyyhCxdyyb简单截面的惯性矩计算⑴矩形截面123bhIz62/2bhhIWzz123hbIy62/2hbbIWyy⑵圆形截面64π4dIIyz32π2/2/3ddIdIWWyzyzzybhyzd§11-3-2平行移轴公式1.平行移轴公式推导左图是一面积为A的任意形状的平面，c为其形心，xcyc为形心坐标轴。与该形心坐标轴分别平行的任意坐标轴为xy,形心c在oxy坐标系下的坐标为(a,b)任意微面元dA在两坐标系下的坐标关系为：ayybxxCCycyxcxCObdAxcycyxAaIAaSIAaAyaAyAayAyIcccxxxAAcAcAcAx222222dd2ddd　　同理，有：abAIIAbIIcccyxxyyy2注：式中的a、b代表坐标值，有时可能取负值。例11—2：求图示直径为d的半圆对其自身形心轴xc的惯性矩。（1）求形心坐标222)(yRyb12d2d)(d3222020dyyRyyybyAySddAxπ328π1223dddASyxc解：xyb(y)ycCdxcy（2）求对形心轴xc的惯性矩128π264π44ddIxπ18128π8π)(4422dddyIIcxxc由平行移轴公式得：例11—3：求图示平面图形对y轴的惯性矩Iyyzaadyzaad解：Iday()212321284ddd22823dda22823例11-4图示简支梁由56a号工字钢制成，已知F=150kN。试求危险截面上的最大正应力max和同一横截面上翼缘与腹板交界处a点处的正应力a。B5m10mAFCFAFB12.521166560za375kN.mM解：1、作弯矩图如上，mkN3754maxFlM2、查型钢表得3cm2342zW4cm65586zIMPa160mm102342mmN10375336maxmaxzWMMPa148mm1065586mm212560mmN10375446maxzaaIyM56号工字钢3、求正应力为12.521166560za或根据正应力沿梁高的线性分布关系的MPa160maxMPa148MPa1602560212560maxmaxyyaa12.521166560za§11-4梁的切应力11-4-1矩形梁横截面上的切应力推导思路：近似方法不同于前面章节各种应力计算公式的分析过程分离体的平衡横截面上切应力分布规律的假设横截面上弯曲切应力的计算公式1、两点假设:（1）切应力与横截面的侧边平行（2）切应力沿截面宽度均匀分布bhF2F1q(x)zyτhbFSτx=0τyτz=0zyτhbFSτ'由切应力互等定理一、矩形截面梁mmnnq(x)F1F2xdxbhzyhm'mn'nnm'mdxbzyOxFS(x)M(x)M(x)+dM(x)FS(x)+dFS(x)mnnmm'n'yzyBAA1dA横截面上纵向力不平衡意味着纵截面上有水平剪力，即有水平切应力分布。*N1*N2SdFFF*111*1N***dddzzAzAzASIMAyIMAIMyAF*12*N2dd)d(d**zzAzASIMMAyIMMAF面积AA1mm'对中性轴z的静矩而横截面上纵向力的大小为mnm'y1ABA1B1dxdAyzO*N2FSdF*N1Fx0xF*N1*N2SdFFF*SddzzSIMF纵截面上水平剪力值为**1NzzSIMF**N2dzzSIMMF要确定与之对应的水平切应力‘还需要补充条件。mnm'y1ABA1B1dxdAyzO*N2FSdF*N1Fx窄高矩形截面梁横截面上弯曲切应力分布的假设：(1)横截面上各点处的切应力均与侧边平行；(2)横截面上距中性轴等远各点处的切应力大小相等。根据切应力互等定理推得：(1)'沿截面宽度方向均匀分布；(2)在dx微段长度内可以认为'没有变化。m'mn'nnm'mdxby'A1ABB1hzyOx*SddzzSIMFbISFbISxMzzzz*S*ddbISFzz*S