第11章气体分子运动论

大学物理第十一章气体分子运动论章节简介热运动能量均分气体内能本章对理想气体的微观与宏观关系作了研究，说明了气体分子运动符合统计规律。（课时数：共3讲，6学时）压强，温度微观宏观分子运动的统计规律麦克斯韦速率分布玻尔兹曼分布平均自由程真实气体的范德瓦耳斯方程重力场中的压强方均根速率平均速率最可几速率大学物理第二十七讲理想气体的压强与温度均分定理与内能主要内容：状态方程，压强公式，温度公式，均分定理，内能重点要求：压强的形成的微观机理难点理解：温度与内能数学方法：代数运算典型示例：课外练习：思考题11.1，习题11.2，11.4，11.7，11.8大学物理1.平衡态在没有外界的影响下(与外界无能量和物质的交换)，经过足够长的时间后，系统的宏观性质不随时间而变化状态称平衡态。一、平衡态与理想气体状态方程大学物理2.状态参量0,.....),,(VPTf压强P(单位Pa)体积V(单位m3)温度T(单位K)......描述宏观物理性质和状态的物理量（温度，压强，体积……..)。大学物理3.理想气体状态方程RTMPVnkT　单位体积的分子数　VNn称玻尔兹曼常数RTVMPRTmVNNm012301038.1KJNRk＝　压力不太大，温度不太低。实际气体能够被看趁成理想气体的条件大学物理动画演示：布朗运动思维空间：a.温度和压强的分子物理学含义。b.统计规律的重要性。c.气体扩散与均匀分布。d.热量的对流与传导。动画说明：可调整气体温度，范围200K-1000K；显示一个固定分子的瞬时速度和碰撞次数；分子热运动。大学物理1.理想气体的微观模型每个分子看成一完全弹性球。分子除碰撞外无相互作用；理想气体可看成大量自由地、无规则运动着的弹性球分子的集合。（1）微观模型二、理想气体压强和温度的统计意义气体分子看成质点；大学物理（2）统计性假设平衡态下，平均来说，朝各方向运动的分子数相同。在各不同方向上，分子速度的各种平均值相同。zyxvvv222zyxvvv大学物理2.压强公式气体对器壁的压强，是大量气体分子对器壁碰撞的结果。1.一个分子碰撞器壁给器壁的冲量；2.所有分子碰撞给器壁的总冲量；3.总冲量除以时间、面积即得压强。压强公式推导的步骤：大学物理一个速度为vi的分子对dA面碰撞（1）分子i碰撞所受的冲量=–mvix–mvix=–2mvix器壁受到的冲量2mvix（2）dt时间内和dA碰撞的速度为vi的分子分子数vixdtdAni速度vi的分子在dt时间内碰撞dA,给dA施加的冲量=2mvix2dtdAnixzyodAvixdtvi大学物理2mvix2dtdAni（3）对各种速度的分子求和，dA受到的总冲量022ixviixdtdAnmvIiiixdtdAnmv2dtdAIP压强　iiixnmv2iixivnm2大学物理iixivnmP2iixixxxnnnvnvnvnv21222221122xvmnP2222zyxvvvv2222222zyxzyxvvvvvvv23xv231vnmPiiiixinvn2nvniixi2大学物理231vnmP)21(322vmn(3)32n分子平均平动功能221vmP是宏观量，是微观量的统计平均值，这说明：理想气体的压强是一个统计平均结果。大学物理3.温度的统计意义RTMPVnP32P=nkT将式比较kT23气体温度的本质：气体的温度是气体分子平均平动功能的量度。含有统计的意义。大学物理1.自由度确定物体在空间位置的独立坐标数称物体的自由度。单原子分子自由度为3刚性双原子分子自由度为5刚性多原子分子自由度为6i(x,y,z)(x,y,z)zxy单原子分子zxy双原子分子zxy多原子分子(x,y,z)三、能量按自由度均分原理，理想气体的内能大学物理2.能量按自由度均分原理由于大量分子的频繁碰撞，平衡态时，无论平动、转动、振动、每个自由度上的能量平均来讲是相等的为kTi21每个分子的平均动能kTiEi2大学物理3.理想气体的内能1mol理想气体的总动能RTikTiN220M克理想气体的内能2RTiME(理想气体分子间无相互作用，内能即总动能)大学物理第二十八讲麦克斯韦速率分布平均自由程主要内容：麦克斯韦速率分布，三种速率，平均自由程重点要求：速率分布的意义，三种速率难点理解：速率分布的意义数学方法：求和到积分典型示例：课外练习：思考题11.5，11.6，习题11.10，11.11，11.13大学物理动画演示：麦克斯韦速率分布思维空间：a.最概然速率的位置和物理意义。b.平均速率的位置和物理意义。c.速度方向的统计分布。d.统计分布的物理意义和高低温时的分布特点。动画说明：调节气体温度改变分子速率分布曲线，同时改变了方均根速率和最概然速率；改变速率取值，可观察到在200m/s速率区间内的分子的多寡。大学物理1.气体分子速率的实验测定l=R=tR2R=vtvRRvRl222lRv22vRolv一、麦克斯韦速率分布律大学物理2.速率分布的描述，速率分布函数vNNvf)(称分布函数)(vfNdvdN（1）成绩（分数g）分布的描述0102030405060708090100g0112021950187人数（2）速率分布的描述vvv0vNvfNvvvNfN)(大学物理（5）表达式22232)2(4)(vekTmvfkTmv称麦克斯韦速率分布函数.表示在平衡状态下，分子速率在v附近单位速率间隔的分子数占总分子数的百分率。NdvdNvf)(（3）物理意义（4）性质01)(dvvf大学物理（6）分布曲线曲线中影印部分的面积：f(v)dv最可几速率vp01)(　归一化dvvf0)(dvvdfRTmKTvp22vf(v)0dvvp总面积：大学物理同种气体不同温度：相同温度不同气体：（7）分布曲线和m，T的关系T2＞T1(m1m2)vf(v)0m2m1vf(v)0T2T1大学物理已知分布函数NdvdNvf)(（1）求百分率dvvf)(21)(vvdvvfdvvNf)(21)(vvdvvNf（2）求分子数v附近，dv间隔内的分子数占总分子数的百分率v1——v2间的分子数占总分子数的百分率v附近，dv间隔内的分子数v1——v2间的分子数NdN3.应用大学物理（3）v的平均值计算08)(RTdvvvfvRTdvvfvv3)(022vf(v)0dvvpdvvNfdN)(dvvvdvvvNfvdN)(00)()(dvvvfNdvvvNfv大学物理二、平均碰撞频率,平均自由程先假定其它分子都不动，只有一个分子以平均相对速率u跟其它分子碰撞。ABtNzNl三、平均碰撞频率tvlzv大学物理undz2nvdz22··Adu··dvu2大学物理四、平均自由程ndzv221pdkT22大学物理第二十九讲玻尔兹曼分布真实气体的范德瓦尔斯方程主要内容：玻尔兹曼分布，重力场中的压强公式，真实气体重点要求：重力场中压强公式难点理解：概念代换数学方法：典型示例：课外练习：习题11.17，11.19大学物理一、麦克斯韦速度分布律三维位置空间dxdydz三维速度空间dvxdvydvzzyxkTvvvmdvdvdvekTmNdNzyx2)(232222zyxkTEdvdvdvekTmk232大学物理二、玻尔兹曼分布律将分子数按动能的分布推广到保守力场，总能量E=Ek+Ep势能是位置的函数，分子在空间的分布也应跟位置有关。大学物理当系统在保守外场中处于平衡态时，分子的速度介于：vx~vx+dvxvy~vy+dvyvz~vz+dvz坐标介于：x~x+dxy~y+dyz~z+dz的分子数称玻尔兹曼分布律dxdydzdvdvdvedNzyxkTEmvP22－C大学物理dxdydzdvdvdvCedNzyxkTEmvp22kTEedN~处于能量大的粒子数少大学物理实例：考虑在重力场中mgzmvE221dxdydzdvdvdvCedNzyxkTmgzmv22在高度为z，单位体积内各种速度的分子数dxdydzdNnzyxkTmgzmvdvdvdvCe22大学物理考虑在重力场中zyxkTmgzmvdvdvdvCen22dveevCkTmgzkTmv02224kTmgzemkTC23)2((4v2dv=dvxdvydvz)大学物理kTmgzemkTCn23)2(z=0230)2(mkTCnkTmgzkTennkTP0z=0P0=n0kTkTmgzePP0P0=105Pa,T=273.15K升高10m大气压下降133Pa大学物理玻尔兹曼分布律对所有经典粒子所构成的系统都成立，是经典统计力学的一条重要规律。在量子统计中应用爱因斯坦——玻色分布和费米——狄拉克分布。大学物理——分子间的相互作用对气体宏观性质的影响分子力实际上，气体分子是由电子和带正电的原子核组成，它们之间存在着相互作用力，称为分子力。对于分子力很难用简单的数学公式来描述。在分子运动论中，通常在实验基础上采用简化模型。三、范德瓦尔斯方程大学物理1.力心点模型假定分子之间相互作用力为有心力，可用半经验公式表示（st)r：两个分子的中心距离、、s、t：正数，由实验确定。tsrrfrr0——斥力rr0——引力rR——几乎无相互作用R称为分子力的有效作用距离R=r0——无相互作用r0称为平衡距离大学物理当两个分子彼此接近到rr0时斥力迅速增大，阻止两个分子进一步靠近，宛如两个分子都是具有一定大小的球体。2.有吸引力的刚球模型可简化的认为，当两个分子的中心距离达到某一值d时，斥力变为无穷大，两个分子不可能无限接近，这相当于把分子设想为直径为d的刚球，d称为分子的有效直径。d~10-10mR~几十倍或几百倍drd时分子间有吸引力d0fRr大学物理若将分子视为刚球，则每个分子的自由活动空间就不等于容器的体积，而应从vm中减去一个修正值b。理想气体状态方程应改为P（Vm-b）=RTVm为气体所占容积VM-b为分子自由活动空间可证明363102344mdNbA大学物理3.范德瓦尔斯方程（分子间引力引起的修正）设想：气体中任一分子都有一个以其为中心，以R为半径的力作用球，其它分子只有处于此球内才对此分子有吸引作用。(1)处于容器当中的分子平衡态下，周围的分子相对于球对称分布，它们对的引力平均说来相互抵消。RR大学物理(2)处于器壁附近厚度为R的表层内的分子的力作用球被器壁切割为球缺，周围分子的分布不均匀，使平均起来受到一个指向气体内部的合力，所有运动到器壁附近要与器壁相碰的分子必然通过此区域，则指向气体内部的力，将会减小分子撞击器壁的动量，从而减小对器壁的冲力。这层气体分子由于受到指向气体内部的力所产生的总效果相当于一个指向内部的压强，叫内压强Pi。所以，考虑引力作用后，气体分子实际作用于器壁并由实验可测得的压强为imPbVRTP大学物理(3)Pi的相关因素Pi表面层分子受到内部分子的通过单位面积的作用力与表面层分子（类似）的数密度n成正比与施加引力的内部分子的数密度n成正比221miVnP2miVaP或将气体分子视为有吸引力刚球时1摩尔气体范德瓦尔斯方程RTbVVaPmm2大学物理#a、b由实验确定。#实际气体在很大范围内近似遵守范德瓦尔斯方程。#理论上把完全遵守此方程的气体称为范德瓦尔斯气体。范德瓦尔斯等温线（4）范德瓦尔斯等温线由方程