第15章逻辑代数及逻辑门电路.

第15章逻辑代数及逻辑门电路毛锡锋国学引入子曰：知者不惑，仁者不忧，勇者不惧2教学准备3逻辑代数起源1849年英国数学家乔治·布尔首先提出描述客观事物逻辑关系的数学方法－布尔代数。1938年克劳德·香农将布尔代数应用到继电器开关电路的设计，故称为开关代数。随着数字技术的发展，布尔代数成为数字逻辑电路分析和设计的基础，又称为逻辑代数。4逻辑——事物（条件、事件）之间的一种因果关系15.1.1基本逻辑关系5例1：楼道灯控制电路~220VYBA开关A开关B灯Y断断灭断合灭合断灭合合亮与逻辑只有当决定事件发生的条件全部具备时事件才会发生。6常用“·”或∧、∩、&、and表示7开关A开关B灯Y断断灭断合亮合断亮合合亮例2：房间灯控制电路~220VYBA或逻辑只要当决定事件发生的条件中有一个或多个具备时，事件就会发生8常用“﹢”或∨、∪、or表示9开关A灯Y断亮合灭例3：灯控制电路~220VYA非逻辑只要某个条件具备，结果便不会发生；而条件不具备时，结果却一定发生。10常用“ˉ”或no表示2-11与逻辑（逻辑乘），Y＝A·B＝AB只有A和B都为1时，函数值Y才为1。有0出0，全1出1逻辑乘的逻辑符号是运算规则是0·0＝0A·0＝00·1＝0A·1＝A1·0＝0A·A＝A1·1＝1AB&Y或逻辑（逻辑加），Y＝A＋BA或B中只要有一个为1，则函数值Y就为1。有1出1，全0出0逻辑加的逻辑符号是运算规则是0＋0＝0A＋0＝A0＋1＝1A＋1＝11＋0＝1A＋A＝A1＋1＝1AB≥1Y非逻辑（非运算）Y其意义在于：函数值Y等于输入变量的反。逻辑非的逻辑符号是运算规则是A=1Y0110AAAA1AA0A2.1.2基本逻辑运算1415.1.2复合逻辑与非逻辑运算或非逻辑运算异或逻辑运算同或逻辑运算与或非逻辑运算YABBAYYABCDYABABABYAB+AB=AB复合逻辑符号AB&YAB≥1YAB=1YAB≥1AB=1YCDY&&复合逻辑符号AB&YAB≥1YAB=1YAB≥1AB=1YCDY&&与非或非异或同或与或非15.1.3逻辑代数的基本公式和常用公式A0A1AAA0A1AA01或01A1A0AAA1A0AA与2-18逻辑代数中的公式A0AA11AA1A0AA1AAA101或01A1AA00AA0A1AA0AAA0与普通代数不适用ABBAABBAABC(AB)CABC(AB)CA(BC)ABACA(BC)ABAC交换律结合律分配率）＋（＋＋）＋（＋＋分配率结合律交换律CA)BA(CBACA)BA(BCAC)BA(CBAC)BA(CBAABBAABBA逻辑代数中的公式逻辑代数中的公式分配律的证明A+BC=(A+B)(A+C)证明：A+BC=A·1+BC=A(1+B+C)+BC=A+AB+AC+BC=A·A+AB+AC+BC=A(A+B)+C(A+B)=(A+B)(A+C)分配律的证明A+BC=(A+B)(A+C)证明：(A+B)(A+C)=A·A+AB+AC+BC=A+AB+AC+BC=A（1+B+C）+BC=A+BC证明以下代数式证明以下代数式24证明以下代数式ABC+A𝐵𝐶+AB𝐶=AB+ACA+A𝐵𝐶+𝐴CD+(𝐶+𝐷)E=A+CD+E2515.1.4逻辑代数的基本运算规则1.代入规则•在任何一个逻辑等式中，若将等式两边出现的同一变量代之以另一函数，则等式仍成立。26例如A(B+E)=AB+AE用(C+D)代替EA[B+(C+D)]=AB+A(C+D)则原等式左边=A[B+(C+D)]=AB+AC+AD原等式右边=AB+A(C+D)=AB+AC+AD等式A[B+(C+D)]=AB+A(C+D)仍然成立2.反演规则（摩根定理）•对于任意的Y逻辑式，若将其中所有的“∙”换成“＋”，所有的“＋”换成“·”，0换成1，1换成0，原变量换成反变量，反变量换成原变量，则得的结果就是𝑌。27注意：（1）𝒀称为𝒀的反补函数（2）凡是不属于单个变量的非运算符号保留不变。求反函数𝑌28)(1DBCDCBABCY))()((答案1DBCDCBCBAY注意括号的运用DBCDCBCBAY))((易犯错误129DBACDBCABY)(2求反函数𝑌})(]){[(答案2DBACDBCBAY3.对偶规则•对于任意的Y逻辑式，若将其中所有的“∙”换成“＋”，所有的“＋”换成“·”，0换成1，1换成0，可得到一个新的逻辑式Y′30注意：（1）Y’称为𝒀的对偶式（2）若两个逻辑式相等，则它们的对偶式也相等求对偶函数31)(Y1DBCDCBABC))()((答案'1DBCDCBCBAY求对偶函数32DBACDBCABY)(2])()[(答案'2DBACDBCBAY15.2逻辑函数的化简请画出以下代数式的电路图33•简化逻辑电路，减少元、器件数量，降低设备成本，提高设备可靠性。逻辑函数简化的意义3415.2.1逻辑函数及表示方法真值表•描述逻辑函数各个变量聚会的组合和函数值对应关系的表格35ABY001010100111练习写出Y=𝐴𝐵+𝐶𝐵的真值表3637YABCD逻辑图•它将逻辑函数式的运算关系用对应的逻辑符号表示出来38AB≥1CDY&&与或非卡诺图•利用图示的方法，将各种输入逻辑变量聚会组合下的输出函数一一表达出来39m10m14m6m2m11m15m7m3m9m13m5m1m8m12m4m0CDAB0001111000011110波形图•利用波形图示的方法，画出输入逻辑变量和输出函数的对应关系4015.2.3逻辑函数的公式化简法41化简工具：逻辑代数的全部定律(理)、规则、公式化简方法利用公式的并项法利用公式的吸收法利用公式的消因子法利用公式的消项法利用公式A+A=A的配项法ABAABAABABABAACAABBCCAAB并项法Y=ABC+AB𝐶+A𝐶Y=A𝐵𝐶𝐷+A𝐵CDY=𝐴B𝐶+A𝐶+𝐵CY=B𝐶D+BC𝐷+B𝐶𝐷+BCD42利用AB+A𝑩=𝑨，将两项合并为一项，消去一个变量吸收法利用A+A𝑩=𝑨，可将AB项消去43Y=(𝐴𝐵+𝐶)ABD+ADY=AB+AB𝐶+ABD+ABC𝐶+𝐴𝐵𝐷Y=A+𝐴𝐵𝐶(𝐴+𝐵𝐶+𝐷)+BC消项法利用AB+𝑨C+𝐁𝐂=AB+𝑨C，将多余项BC消除44Y=AC+A𝐵+𝐵+𝐶Y=A𝐵C𝐷+𝐴𝐵E+C𝐷E消因子法利用公式A+𝑨B=A+B将𝑨B中的𝑨因子消去45Y=𝑩+ABCY=A𝑩+B+𝑨BY=AC+𝑨D+𝑪D配项法46利用公式A+A=A可以在逻辑函数中重复写入某项Y=𝐴B𝐶+𝐴BC+ABC习题练习47化简Y=𝐴𝐵C+𝐴B𝐶+A𝐵𝐶+ABC48已是最简逻辑式，无法再化简15.2.2逻辑函数的最小项标准形式最小项•逻辑函数的多个变量相乘构成乘积项，它包含了逻辑函数的全部变量，而且每个变量因子仅仅以原变量或反变量的形式在一个乘积项中唯一出现一次，则称该代数项为最小项。49n变量逻辑函数有2n个最小项50ABC0001000000000101000000010001000000110001000010000001000101000001001100000001011100000001CBACBACBABCACBACBACABABC最小项的性质在变量的任意取值组合下，仅有一个最小项的值为1全体最小项的和为1任意两个最小项的积为0具有相邻性的两个最小项之和可以合并成一项，并可消除一对因子51写出以下逻辑表达式的全部最小项52)(Y1DBCDCBABC15.2.4逻辑函数的卡诺图化简法是一种变形真值表。将n变量的全部最小项各用一个小方格表示，并使具有逻辑相邻性的最小项在几何位置上也相邻地排列起来，所得到的图形称为n变量最小项的卡诺图。53逻辑相邻•两个最小项中，仅有一位逻辑变量取值相反542-5410产生循环码循环码又称为反射码格雷码01101011100100110011000001100111011010001101101111000011110000卡诺图的形式55m3m2m1m0AB01012变量卡诺图m3m1m2m0BA01012变量卡诺图卡诺图的形式56m6m7m5m4m2m3m1m0ABC00011110013变量卡诺图卡诺图的形式57m10m11m9m8m14m15m13m12m6m7m5m4m2m3m1m0ABCD00011110000111104变量卡诺图卡诺图的使用方法将函数化为最小项之和的形式根据逻辑函数所包含的逻辑就是数目，画出相应的最小项卡诺图（2n个方块）根据逻辑函数中包含的最小项，在最小项卡诺图上找到对应的方块，并填上1，其余处不填。将能合并的最小项圈起来，作为一个乘积项，将乘积项相加即得到最简逻辑式58591111ABC00011110011111ABC0001111001111111ABC000111100111ABC0001111001卡诺图合并时的注意事项（1）能够合并的最小项数必须是2的整数次幂（2）要合并的方格必须排列成矩形或正文形，圈尽可能大（3）每个圈中至少应有一个没被圈过的最小项（4）所有函数值为1的最小项都要圈真情为6061例：交通指挥系统中，红（R）、黄（Y）、绿（G）灯状态示意图车停车行交通指挥系统真值表620×0101××GRY000111100115.3无关项逻辑函数及化简法无关项把这些最小项写入逻辑函数式时无关紧要，它们不影响逻辑函数的输出结果。约束项逻辑变量之间具有一定的约束关系，使得有些变量的取值组合不会出现，这些不会出现的取值组合所对应的最小项称为约束项任意项在逻辑变量的取值下，允许函数值取1或0，且不影响电路的功能，这些变量的取值所对应的最小项称为任意项63640×0101××GRY0001111001