第18章静定结构的位移计算.

18.1计算结构位移的目的18.2功与虚功原理18.3计算结构位移的一般公式18.5图乘法第18章静定结构的位移计算小结18.4荷载作用下的位移计算18.6支座移动时的位移计算18.7弹性体系的几个互等定理•截面的移动称为线位移，截面的转动称为角位移。18.1计算结构位移的目的18.1.1变形和位移•结构在荷载、温度变化、支座位移和制造误差等各种因素作用下会发生变形。•结构的位移指结构中杆件横截面位置的改变，分线位移和角位移两种。•在平面结构的位移计算中，通常采用水平位移分量和竖直位移分量来表示线位移。•通常将线位移、角位移、相对线位移及相对角位移统称为广义位移，记为∆。举例：刚架C点的水平、竖直位移和转角梁C截面的竖直位移和转角平面悬臂刚架的变形及自由端的位移和转角在计算超静定结构的内力时，除了平衡条件外，还必须考虑结构的变形和位移条件。因此，位移计算是计算超静定结构的基础。18.1.2位移计算的目的•计算结构位移的一个目的是为了校核结构的刚度。校核结构的刚度，一般就是检验结构中的某一位移是否超过规定的允许值，以防止结构因产生过大的变形而影响其正常的使用。•计算结构位移的另一个目的是为了求解超静定结构。18.2功与虚功原理F112AB11211118.2.1实功与虚功1.位移的表示方法集中荷载F1作用点沿F1方向的位移，记为。第一个下标1表示此位移是与F1相对应的位移；第二个下标1表示此位移是荷载F1引起的，如图示。2.功的表示方法（1）实功：力在其自身引起的位移上所做的功。由于自身引起的位移总与力的方向一致，故实功恒为正。应注意实功算式前的系数1/2。荷载在上述加载过程中所做的功为1F1111121FW力做功用Wij表示，有两个下标：第一个下标表示做功的力；第二个下标表示位移的产生原因。这相当于F-△图中三角形Oab的面积。ab011FF1（2）虚功：力在与其自身无关的相应位移上所做的功。12112FW2F1F12当时，Wij表示做功的力与产生位移的不是一个力。位移是荷载所引起，与荷载没有任何关系。ji22121F12ABF2当位移与力的方向一致时，虚功为正功；方向相反时，虚功为负。虚功算式前的系数为1。实功的力与位移彼此不独立，相互之间存在着一定的关系。虚功的力和位移彼此是独立的。112AB1121Fa）12AB1222F2b)3.虚功的两个状态由于小变形，故符合叠加原理。图示变形可分解为两种彼此独立的状态。1F12AB2212F2所谓力状态和位移状态，必须根据所讨论的虚功来确定。12112WF例如，对虚功来说，图a所示的状态是力状态，图b所示的是位移状态。但对虚功来说，如图b所示的状态则是力状态，而图a所示的是位移状态。21221WF广义位移：与广义力相对应的位移，分别是线位移或角位移、相对线位移或相对角位移。4.广义力与广义位移广义力：做功的力可以是一个集中力或一个集中力偶，也可以是一对集中力或一对集中力偶，甚至可以是某一力系。ABMeAABMeAMeBF1F2F2F1a）一个集中力偶b）一对集中力偶c）一个力系Me18.3.2虚拟状态中的单位广义力单位荷载法不仅可以计算线位移，也可以计算其他性质的位移，如角位移、相对位移等。例如欲求某截面的转角，则应在该截面处加一个单位力偶。欲求某点的线位移，就应该在该点沿所求位移的方向加一个单位集中力。欲求两点沿其连线方向上的相对线位移，就应该在此两点沿其连线方向上加一对方向相反的单位集中力。欲求两截面的相对角位移，则在两截面处加一对方向相反的单位力偶。欲求桁架某杆的角位移时，则可在该杆的两端加一对大小等于杆长倒数、与杆垂直但方向相反的集中力。18.3计算结构位移的一般公式18.3.1单位荷载法如图所示结构，在荷载F1、F2及支座位移C1、C2等因素作用下，发生双点划线所示变形，这一状态称为实际状态。C现在要计算实际状态中C点的竖向位移。为了利用虚功方程求C点的竖向位移，应选取一个虚设的力状态，如图所示，即在C点处沿其竖向位移方向施加一单位集中力FC=1。由于力状态是虚设的，故称为虚拟状态。C式中2211CFCFFWRRCCeiRiCeCFWRiF虚拟状态中的支座反力；iC实际状态中相应的支座位移；iRiCF支座反力所做虚功之和。虚拟状态的外力在实际状态的位移所做的总虚功为简写为因为实际状态中支座A处位移为零，故虚拟状态中A处支座反力所做虚功为零，即在表达式中该项为零。eW18.2.2虚功原理1.外力虚功力状态的外力（包括作用的荷载和支座反力）在位移状态的相应位移上所做的虚功称为外力虚功。图示外力虚功总和为12231223ieiWFFMFF2.内力虚功由于位移状态中各杆件发生了变形，力状态中各杆件的内力在位移状态中相应的变形（相对位移）上也做了虚功，称为内力虚功，或变形虚功。qF1a）dxFR2R3FR1F2M2求一根杆件的内力虚功可将上式沿杆长积分，整个结构的内力虚功总和即ddddNSWFuMFvdddiSWFuMFv对所有杆求和；对整根杆积分；力状态中微段dx上的各内力在位移状态中微段的相应变形上所做的虚功之和为iW式中dxb）dMMNNdFFSSdFFSFNFMABDCdxCABDd）dxACDDBBe）dxduIRddxdxdvc）2）虚功原理在实际应用中有两种方式：虚力原理——虚荷载法；虚位移原理——虚位移法。3.变形体的虚功原理设变形体在力系的作用下处于平衡状态（力状态），又设该变形体由于别的与上述力系无关的原因作用下，发生符合约束条件的微小的连续变形（位移状态），则力状态的外力在位移状态的相应位移上所做的外力虚功总和（记为We），等于力状态中变形体的内力在位移状态的相应变形上所做内力虚功的总和（记为Wi），即虚功方程注意：1）虚位移或虚变形必须与结构的支承条件相协调并满足变形连续性条件，它必须是结构的支承条件所允许发生的。eiWWCdMddRiiNPPSPFCFuFv——沿每一杆的全长积分；iRiPSPPNCCF-dvFdMduF式中根据虚功方程有即该式是平面杆件结构位移计算的一般公式，可以求结构上任何点的任何位移。计算结果若为正，则所求得实际位移方向与所假设单位力指向相同，为负则相反。pSPPNidvFdMduFW总内力虚功为——对结构中所有相关杆件求和。单位荷载法18.4荷载作用下的位移计算式中微段的变形是由荷载引起的，以Mp、FNP、FSP表示实际状态中微段上所受内力。由实际变形dMddNPPSPFuFvdddNPPFuxxEAdddSPPkFvxxGA1dddPpMxxEIdddEAEIGANNPSSPPFFkFFMMxxx式中EA——抗拉刚度；GA——抗剪刚度；k——截面的切应力分布不均匀系数，只与截面形状有关，对于EI——抗弯刚度；dx如果结构只受到荷载作用，且不考虑支座位移的影响，则位移公式为得到——实际荷载引起的弯矩、轴力、剪力；Mp、FNP、FSP——虚拟单位荷载引起的弯矩、轴力、剪力。Mp、FNP、FSP矩形截面k=1.2，圆形截面k=10/9，薄壁圆环形截面k=2；（4）拱：拱的位移通常只考虑弯矩变形的影响，但在计算扁平拱的水平位移dxEIMMPlNPNNPNPEAlFFdxEAFF0EAlFFdxEIMMNPNP平面杆系结构在荷载作用下的位移计算公式。（1）梁和刚架：轴力和剪力影响很小，位移计算一般只考虑弯矩影响。（2）桁架：桁架内力只有轴力，且各杆轴力和截面沿杆长L一般均为常数。（3）组合结构：组合结构中一些杆件主要承受弯矩，一些杆件主要承受轴力。对于不同类型的结构，还可作如下简化：dddEAEIGANNPSSPPFFkFFMMxxxEAlFFdxEIMMNPNP或当压力线与拱轴相近时，应同时考虑弯曲变形和轴向变形的影响。例18-1试求图示矩形截面简支梁中点C的竖向位移Δcy，并比较弯矩和剪力对该位移的影响。梁的EI、GA均为常数。ABCl/2l/21FqABCl/2hbl/2x解：作虚拟状态，在C点加一竖向单位荷载F=1。xABCl/2l/21FxqABCl/2l/2x作实际状态的MP、FSP图，虚拟状态的M、FS图。M=x/2SF=1/2实际状态中AC段的弯矩方程M=(lx-x)q22剪力方程为F=(l-2x)q2SP剪力方程为虚拟状态中AC段（0≤x≤l/2）上的弯矩方程为设坐标原点在A点，由于对称，可以只取左半部分AC段进行计算qABCl/2l/2xABCl/2l/21FxC点的竖向位移/2/2002(dd)llSSPPcykFFMMxxEIGA/2/2200112[()(2)]2222llxqkqlxxdxlxdxEIGAdxxlGAkqdxxlxEIqll)2(2)(22/0322/0)(8384524GAkqlEIql式中第一项是弯矩的影响；第二项是剪力的影响。])(25241[384524lhGEEIqlCy]3911[38454EIqlCy对矩形截面,12/,,2.13bhIbhAk代入上式，得设材料的泊松比,3/1则,3/8)1(2/GE当10/1/lh时，有可见此时剪力对位移的影响只是弯矩影响的1/39=2.56%,所以通常可略去不计。例18-2试求图示刚架C点的转角，各杆的EI均为常数。qEIAEIBCll解：作虚拟状态，在C点加的一个单位集中力偶M=1。作Mp图和M图。qEIAEIBClla)M=-Pql22M=-1AB杆为M=-Pqx22M=-1各杆的x坐标轴，水平杆以C点为原点，向左为正。竖杆以B点为原点，向下为正。则BC杆的弯矩方程为代入得C点的转角为dPCMMxEI2200dd(1)(1)22llqlxqxxEIEIEIqlEIqlEIql3262333()qEIAEIBCllxx例18-3试求图示对称桁架节点I的竖向位移，各杆采用的型钢规格已在图所示桁架的右半部分杆件旁标出。材料的弹性模量E=2.06×10MPa。5解：实际状态中各杆的轴力FNP如b图示。虚拟状态是在I点加一竖向集中力F=1作为单位荷载，此时各杆的FN如图c所示。由于对称只需计算左半边桁架。NPF图NF图计算位移时可列成表格进行，位于对称轴上的DI杆的截面面积和轴力都只取一半数值。最后，取桁架左半边各杆的总和再乘以2，便得4532156.8810kN/m2.061010kN/mNNPlyFFlEA21.5210m1.52cm()杆件m/lABBCCD上弦1.501.501.5021.7221.7221.72-155-155-265-0.5-0.5-1.55.355.3527.45下弦HI3.0015.82+220+141.72竖杆BHDI/21.51.59.614.80-90-450000AH2.127.79+219+0.7142.32斜杆CHCI2.122.129.614.72-91.92+63.64-0.71+0.7114.4020.2942/10mA/kNNPF/kNNF4//10kN/mNNPFFlA4156.8810kN/m1）各杆件的杆轴为直线。2）各杆段的EI为常数。3）各杆段的Mp图和M图中至少有一个是直线图形。18.5图乘法dPMMxEI18.5.1图乘法公式的推导计算梁和刚架在荷载作用下的位移时，需先列出Mp和M的方程式，然后再代入积分式求解。当杆件数目较多，荷载较复杂时，这个运算过程是很麻烦的。但是如果结构各杆段均满足下列3个条件，则可通过使积分运算转化为两