第21讲平面电磁波

第21讲平面电磁波（1）本节内容：1，无耗介质中齐次波动方程的均匀平面波解2，均匀平面波的传播特性3，向任意方向传播的平面波交变电磁场具有波动性，电场和磁场（E，H）都满足波动方程，其解是以波动的形式在空间传播的，即电磁波。一个点源所发射的电磁波的等相位面是什么样？一，无耗介质中齐次波动方程的均匀平面波解平面波：波阵面是平面的波叫平面波。均匀平面波：波阵面上各点电场E和磁场H都分别相等的平面波叫均匀平面波。均匀平面波是一种理想模型，但实际中某些电磁波可作为均匀平面波处理。如：偶极子天线的远区辐射场是球面波，但当球面半径足够大，而研究其一个局部时，可近似认为是均匀平面波。1，均匀平面波方程在均匀、线性、各向同性的理想介质中的无源区域，复数形式的麦克斯韦方程组为：00EHHjEEjH（1）若均匀平面波是沿z轴方向传播的，则等相位面为Cz的平面，由均匀平面波的定义，E、H与x、y无关，即：0yx则：zyxzyxHHHzaaaH00zzyyxxyxxyEaEaEajazHazH∴zHjEyx1，zHjExy1，0zE同理，由：HjE得：zEjHyx1，zEjHxy1，0zH（2）0,0,0,0yHxHyExE因此，电场强度E和磁场强度H只是直角坐标Z和时间t的函数。由于空间无外加场源，所以0E。0),(),(),(0),(ztzEytzExtzEtzEzyx前两项均为零，从而)(),(tctzEz。如果0t时，电磁场为零，那么0)(tc，从而0),(tzEz。所以),(),(tzEetzEeEyyxx),(),(tzHetzHeHyyxx可见：理想介质中的均匀平面波是横电磁波（0zzHE）或TEM波，将坐标系旋转使x轴与E方向一致，则电场只有xE分量，则：xxaEE，显然，H只有yH分量：yxazEjH1此时，均匀平面波只有xE、yH二分量。zEjzjzHjExyx1112221zEx得到波动方程∴0222xxEkzdEd其解为：zkjzkjxeBeAE第一项代表沿z方向传播的波，第二项代表沿z方向传播的波。我们只讨论沿z方向的波（z方向与此类似）。zkjxeAE则：xxzkjyEEkekjAjH1即：yxHE——媒质的波阻抗（单位）真空中：3771200xxEaEEaEaaHaHzxxzyy10HE∴均匀平面波的电场、磁场相互垂直，且垂直于传播方向∵yxHE——实数故E，H同相解的讨论（1）zkjxeAE瞬时值：0coszktEExmx固定位置z：0Cz00cosCktEExmx可见，在此点处，场的大小随时间作正弦振动，相位随时间连续超前。xE0zzt00zk0zzt固定某个时刻0tt00coszktEExmxE0ttz00tz可见在此时刻场的大小沿z方向正弦分布，相位随z增加连续滞后。（2）0),(1),(22222ttzEztzExx（书上的推导方法，比较复杂）此方程的通解为)()(),(21tzftzftzEx无界媒质中，一般没有反射波存在，只有单一行进方向的波。如果假设均匀平面电磁波沿+z方向传播，电场强度只有Ex(z,t)分量，解为：)(),(vtzftzEx只考虑向+z方向传播的波由麦克斯韦方程式tBtzEzyxeeeExzyx00),(即：tHzEexy012222tHzHyy)(),(vtzgtzHy0)()(222zEkdzzEdxxjkzjkzxeEeEzE00)(将上式代入麦克斯韦方程▽×E=-jωμH，得到均匀平面波的磁场强度zEejtzEzyxeeejEjHxyxzyx00),()()(1))((])()[(00000000jkzjkzyjkzjkzyjkzjkzyjkzjkzyeHeEeeEeEeeEeEjkejeEjkeEjkejH式中：kHEHE0000η具有阻抗的量纲，单位为欧姆(Ω)，它的值与媒质参数有关，因此它被称为媒质的波阻抗(或本征阻抗)。真空中的介电常数和磁导率为mHmF/104,/103617090377120000二．均匀平面电磁波的传播特性假设均匀平面波沿+Z方向传播，电场强度只有x分量。1，均匀平面波的传播特性jkzxxxeEeEeE0jkzyjkzyyxeHeeEeHeH00时域形式：t为时间相位，kz为空间相位。)cos()cos(]Re[),()cos(]Re[),(0000)(000)(0kztHekztEeeEetzHkztEeeEetzEmymykztjymxkztjx理想介质中均匀平面电磁波的电场和磁场空间分布正弦均匀平面电磁波的等相位面方程为：（常数）.constkzt相速pv——平面电磁波等相位面移动的速度，Czkt0或：022011zktzkt1ktdzdvppv实际上是沿波振面法向等相位面移动的速度。波长：波在一个周期内传播的距离（空间相位kz变化2π所经过的距离称为波长，以λ表示。按此定义有kλ=2π，所以）。fvTvpp波长除了与频率有关外，还和介质有关，还可写成：k22k相移常数：由相位的表达式，k表示在传播方向上经过单位距离相位的变化量，故称为相移常数。2fvkp可见k又表示相位变化2时，经过的波长的个数，故又称波数。时间相位ωt变化2π所经历的时间称为周期，以T表示。而一秒内相位变化2π的次数称为频率，以f表示。由ωT=2π得21Tffp三．能量密度与能流∵yxHE∴yxHE0coszktEExmx0coszktEHxmy22121xeEDEw22121ymHHBw∴myyyewHHHw22221212122yxmeHE即均匀平面波的电场能量密度和磁场能量密度相等。2yzyxzyyxxHaHEaHaEaHES从另一个角度考虑，S为单位时间穿过单位单位面积的能量，能量流动速度为gv，则图中柱体内的能量在时间gvl内全部通过S，则：lSzazgzgavwaSvlSlwS而由（*）：wvaHaHaSzyzyz22可见均匀平面波能速等于相速。复坡印廷矢量为221*2120*00mzjkzjkzxEeeEeEeHES2]Re[20mzavEeSS平均功率密度为常数，表明与传播方向垂直的所有平面上，每单位面积通过的平均功率都相同，电磁波在传播过程中没有能量损失(沿传播方向电磁波无衰减)。因此理想媒质中的均匀平面电磁波是等振幅波。ExHyz电场能量密度和磁场能量密度的瞬时值为)()(cos/21)(cos21)(21)()(cos212121)(02200220202202twkztEkztHtHtwkztEEEDtwemmmme可见，任一时刻电场能量密度和磁场能量密度相等，各为总电磁能量的一半。电磁能量的时间平均值为均匀平面电磁波的能量传播速度为20,,20,20,21,41,41mmaveavavmmavmeavEpmmavavevEEwSv12/2/2020[例]沿z方向传播的均匀平面波，频率为710fHz，4r，1r，已知0t时，0z处221xmxEEmV/m，求1tμs时，65zm处的xE，yH，S。解：0coszktEExmx221cos000xmxmztxEEEmV/m304xmEmV/m∴3cos4zktEx3102102cos477zt334.0102cos47ztmV/m∴36534.010102cos467651mzstxE2312cos4mV/m3102V/m60102603xxxyEEEHA/m601046yxzHEaSW/m²四．向任意方向传播的均匀平面波在直角坐标系oxyz中，我们仍然假设无界媒质中，均匀平面波沿+z方向传播，电场强度只有x方向的坐标分量Ex(z)，那么正弦均匀平面电磁波的复场量还可以表示为jkzjkzxeEeEeE00利用矢量恒等式▽×(ΨA)=Ψ▽×A+▽Ψ×A和▽·(ΨA)=Ψ▽·A+▽Ψ·A，将上式代入麦克斯韦方程▽×E=-jωμH和▽·E=0，可以得到EekeEejkjEejkejEeEejeEjHzjkzzzjkzjkzjkzjkz00000)()(）（）（所以0)()(0000jkzzjkzjkzjkzeEejkEeEeeE0Eez0,,0EeEekHeEEzzjkz如果开始时我们选择直角坐标系ox′y′z′，那么，正弦均匀平面电磁波的复场量可以表示为0,,'''0EeEekHeEEzzjkzcoscoscos,'zyxzzyxeeaeezeyexer向k方向传播的均匀平面电磁波式中cosα、cosβ、cosγ是e′z在直角坐标系oxyz中的方向余弦。这样式(6-21)中的相位因子为zkykxkrkrkeeaerkekzzyxzyxz)coscoscos(''0,,00EeEekHeEEkkrjk传播矢量：zyxkzkykxkkkˆˆˆˆ其中，cosˆcosˆcosˆˆzyxk代表波的传播方向。则，沿kˆ方向传播的平面电磁波可表示为（以电场为例）：其中：zzyyxxrˆˆˆ)(00zkykxkjrkjzyxeEeEE总结：1.理想介质中的均匀平面波是横电磁波（TEM波——TransverseElectromagneticWave）。2.理想介质中的均匀平面波HE，且都垂直于传播方向，且E，H同相。3.在某一固定点处，场的大小随时间作正弦变化，相移随时间连续超前。4.在某一固定时刻，场大小沿传播方向按正弦分布，相移随距离连续滞后。5.理想介质中均匀平面波的能速等于相速。作业：P2486.26.46.8