第2章工程随机数学基础习题答案

1第2章随机变量及其分布习题21．设有函数其它，,0,0,sin)(xxxF试说明)(xF能否是某随机变量的分布函数。解：不能，易知对21xx，有：122121{}{}{}()(),PxXxPXxPXxFxFx又)()(,0}{1221xFxFxXxP，因此)(xF在定义域内必为单调递增函数。然而)(xF在),0(上不是单调递增函数，所以不是某随机变量的分布函数。2．－筐中装有7只蓝球，编号为1，2．3，4，5，6，7.在筐中同时取3只，以X表示取出的3只当中的最大号码，写出随机变量X的分布列。解：X的可能值为3，4，5，6，7。在7只篮球中任取3个共有37C种取法。}3{X表示取出的3只篮球以3为最大值，其余两个数是1，2，仅有这一种情况，故3515673211)3(37CXP}4{X表示取出的3只篮球以4为最大值，其余两个数可以在1，2，3中任取两个，共有23C种取法，故35356732113)4(3723CCXP。}5{X表示取出的3只篮球以5为最大值，其余两个数可在1，2，3，4中任取2个，共有24C种取法，故3565673212134)5(3724CCXP，}6{X表示取出的3只篮球以6为最大值，其余两个数可在1，2，3，4，5中任取2个，共有25C种取法，故35105673212145)6(3725CCXP，}7{X表示取出的3只篮球以7为最大值，其余两个数可在1，2，3，4，5，6中任取2个，共有26C种取法，故35155673212156)7(3726CCXP。3.设X服从)10(分布，其分布列为,)1(}{1kkppkXP,1,0k求X的分布函数，并作出其图形。2解：X服从（0-1）分布，其分布律为：X01Pp1p当0x时，0}{)(xXPXF当10x时，pXPxXPXF1}0{}{)(当1x时，,1)1(}1{}0{}{)(ppXPXPxXPXF即有：1100,1,1,0)(xxxpXF，其分布图形如下图2-1x0y11-p1。图2-14．将一颗骰子抛掷两次，以X表示两次所得点数之和，以Y表示两次中得到的小的点数，试分别求X与Y的分布列。解以21XX分别记第一次，第二次投掷时的点数，样本空间为}6...,21;6...,21|)({2121，，，，XXXXS个样本点共有366612,11,10,9,8,7,6,5,4,3,221所有可能的取值为XXX12)66(11)56(),65(10)46(),55(),64(9)36(),45(),54(),63(8)26(),35(),44(),53(),62(7)16(),25(),34(),43(),52(),61(6)15(),24(),33(),42(),51(5)14(),23(),32(),41(4)13(),22(),31(3)12(),21(2)11(),(21取，取，，取，，，取，，，，取，，，，，取，，，，，，取，，，，，取，，，，取，，，取，，取，分别为：易知当XXXXXXXXXXXXX故X的分布列如下：X23456789101112P1/362/363/364/365/366/365/364/363/361/351/363Y的取值为1,2,3,4,5,6Y的分布列为：5．试求下列分布列中的待定系数k（1）3,2,1,4}{~..mmkmPvr（2）3,2,1,34}{~..mkmPvrm（3）0,,2,1,0,!}{~..mmkmPvrm为常数。解：（1）由分布列的性质有6114342411kkkk，所以。116k（2）由分布列的性质有kkmP2)3131(4}{121，所以21k。或解由...,3,2,1,34)31(34)(1mkkmPmm所以服从几何分布，故有21,31134kk。（3）由分布列的性质有kemkmkmPmmmmm000!!}{1，所以ek。6．进行重复独立试验，设每次试验成功的概率为p失败的概率为)10(1ppq。（1）将试验进行到出现一次成功为止，以X表示所需的试验次数，求X的分布列。（此时称X服从以p为参数的几何分布。）（2）将试验进行到出现r次成功为止，以X表示所需的试验次数，求X的分布列。Y123456P11/369/367/365/363/361/364（此时称X服从以r,p为参数的巴斯卡分布。）（3）一篮球运动员的投篮命中率为45%。以X表示他首次投中时累汁已投篮的次数，写出X的分布列，并计算X取偶数的概率。解（1）此试验至少做一次，此即X可能值的最小值。若需做k次，则前k-1次试验均失败最后一次成功，由于各次试验是相互独立的，故分布律为,...3,2,1,)1(}k{11kpppqXPkk。（1）此试验至少做r次，若需做k次，则第k次比为成功，而前k-1次中有r-1次成功，由于各次试验是相互独立的，故分布律为,...1,,)11(}{rrkqprkkXPrkr。（2）先写出X的分布律。它是题（1）中p=0.45的情形。所求的分布律为,...2,1,)55.0(45.0}{1kkXPk。因),(}{}{kjkXjX故X取偶数的概率为311155.0155.045.0)55.0(45.0}2{)}2({211211kkkkkXPkXPU.7．有甲、乙两个口袋，两袋分别装有3个白球和2个黑球。现从甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋任取4个球，求从乙袋中取出的4个球中包含的黑球数X的分布列。解：分为以下两种情况，即从甲袋中取一球放入乙袋，取出的球为白球的概率为53，黑球为52。（1）假设取出的是白球，乙袋此时为4白球2黑球。从中取出4球，黑球数可为0,1,2，概率如下151)0(460244CCCXP,158)1(461234CCCXP,156)2(462224CCCXP.（2）假设取出的是黑球，乙袋此时为3白球3黑球，从中取出4球，黑球数可为1,2,3.概率如下153)1(461333CCCXP,159)2(462323CCCXP,153)3(463313CCCXP.综合以上两种情况，又已知从甲袋取出为白球的概率为53，黑球是52.所以525215352)3(25121595215653)2(25101535215853)1(25115153)0(XPXPXPXP分布列为X0123kP251251025122528.设X服从Poisson分布，且已知}2{}1{XPXP，求}4{XP。解：由于),(~X即X的分布律为,...,2,1,0,!}k{kekXPk于是有,2}2{,}1{2eXPeXP由条件},2{}1{XPXP可得方程,22ee解得0.2(舍去)所以),2(~X于是0902.0e!42}4{2-4XP(查表)。9．一大楼装有5套同类型的空调系统，调查表明在任一时刻t每套系统被使用的概率为0.1，问在同一时刻（1）恰有2套系统被使用的概率是多少?（2）至少有3套系统被使用的概率是多少?（3）至多有3套系统被使用的概率是多少?（4）至少有1套系统被使用的概率是多少？解：以X表示同一时刻被使用的设备的个数，则)1.0,5(~bX。（3）所求的概率为0729.0)1.01(1.0)25(}2{32XP。（4）所求的概率为}5{}4{}3{}3{XPXPXPXP54231.0)1.01(1.0)45()1.01(1.0)35(00856.000001.000045.00081.0（5）所求的概率为99954.000001.000045.01}5{}4{1}3{XPXPXP6（6）所求的概率为40951.0)1.01(1}0{1}1{5XPXP10．在纺织厂里一个女工照顾800个纱锭。每个纱锭旋转时，由于偶然的原因，纱会被扯断。设在某段时间内每个纱锭上的纱被扯断的概率是0.005,求在这段时间内断纱次数不大于10的概率。解：设纱被扯断的概率是P，P=0.005.用X表示在某段时间内的纱断次数，所求的概率为kkCXP800k100k800)005.01()005.0()10(，而利用柏松定理，4,005.0,800nppn，有：10,...,2,1,0,!4)10(kekXPk，查表得：9972.00053.00132.00298.00595.01042.01563.01954.01954.01465.00733.00183.0P11．一寻呼台每分钟收到寻呼的次数服从参数为4的泊松分布。求（1）每分钟恰有7次寻呼的概率。（2）每分钟的寻呼次数大于10的概率。解：,...)1,0(,!4)(4kekkXPk（1）0596.08893.09489.0!64!74)6()7(4647eeXPXP（2）0028.09972.01!1041)10(1410eXP12.某商店出售某种商品,据历史记载分析,月销售量服从泊松分布，参数为5，问在月初进货时要库存多少件此种商品，才能以0.999的概率满足顾客的需要。解：设表示商品的月销售量，则由服从参数为5的泊松分布，其概率分布为,...2,1,0,!5)(5kekkPk由题意，应确定m使得,001.0}{,999.0}{mPmP或即001.0}{}{1mkkPmP，查泊松分布表得m+1=14,或m=13，即在月初进货时，至少要库存13件此种商品。13．确定下列函数中的待定系数a，使它们成为分布密度，并求它们的分布函数。7（1）其它，,0,1||),1()(2xxaxf（2）xaexfx,)(||。解：（1）因11-x时)1()(2xaxf，且x为其他值时，)(xf为0.根据公式-1)(dxxf有：1)1()(-112dxxadxxf解得43a.分布函数为：.1,1,11,432,1,0)()(3xxxxxdttfxFx(2)对dxaedxaedxxfxx00)(1)|)|(00xxeea有12a所以21a.分布函数为：.0,211,0,21)()(xexedttfxFxxx14．设随机变量X的分布函数为,,1,1,ln,1,0)(exexxxxF（1）求},2{XP},41{XP}23{XP；（2）求分布密度)(xf。解：（1）2ln)2(}2{}2{FXPXP,11ln1)1()4(}41{FFXP23ln1)23(1}23{FXP（2）xdxxdFxf1)()(，,,0,1,1)(其他exxxf815.设随机变量X的分布密度为)(xf,且),()(xfxf)(xF是随机变量X的分布函数,则对任意实数a有,)(21)(0adxxfaF试证之。证明：因xdxxfxF)()(，有aadxxfaFdxxfaF)()(,)()(易知aadxxfaFaF)()()(。又)(xf为偶函数，有aadxxfdxxf00)()(，即