第2章张量分析(68)

第2章张量分析7第2章张量分析§2.1矢量空间、基、基矢1．线性矢量空间设有n个矢量,1,2,,iina，它们构成一个集合R，其中每个矢量ia称为R的一个元素。如()ijijaa唯一地确定R的另一个元素，及ika（k为标量）也给定R内唯一确定的元素，则称R为线性（矢量）空间。R中的零元素记为O，且具有iOaO.2．空间的维数设i为m个标量，若能选取i，使得10miiia且i不合为零，则称此m个矢量线性相关，否则，称为线性无关。例1位于同一平面内的两个矢量1a和2a（如图）是线性无关的，即11220aa若1和2为任意值，且不全为零。例2位于同一平面内的三个矢量1a，2a，3a是线性相关的，则恒可找到1,2,3（不全为零）使1122330aaa如图：2113aaa集合R内线性无关元素的最大个数称为集合或空间的维数。设R的维数为n，则记为nR，欧氏空间为3R。3．空间的基和基元素nR中任意n个线性无关元素的全体称为nR的一个基。基的每个元素称为基元素，由于nR的n确良基元素是线性无关的。于是nR内任一个元素r可表示成基元素的线性组合。设(1,2,,)iina为nR的任选的基，则有：10niiia，i为任意的不全为零的标量但总可选取00及i不全等于零，使得010niiira或者2a1a1a2a3a第2章张量分析8r1122dddxxree1x2x3xiixre110()nniiiiiiraa①i,00不全等于零，所以i不全等于零，且为有限值。②nR内有无限个基，但只有一个基是独立的，因为nR内至少只有n个元素是线性无关的。设(1)ia及(2)ia是nR的两个基，则(1)ia中的每个基元素都可用(2)ia的线性组合来表示；反之亦然，因此，nR中的任两个基元之间存在唯一的变换关系。③对于同一个元素r，采用不同的基时，其系数i不同甘共苦。(1)(1)(2)(2)iiiiraa因为(1)ia与(2)ia间有确定的变换关系，因此，)1(i与)2(i间亦有确定的变换关系。④空间的基往往与坐标系相关连，每一种坐标系有一个与之对应的确定的基，其中i则是矢量r在基或坐标方向的分量值。⑤空间的元素如为矢平日里，则基元素称为基矢。如前所述，不同坐标系的基矢之间存在确定的变换关系，它是坐标变换的基础。正交基：基内各基矢相互正交的基，称为正交基。标准正交基：基矢为单位矢量的正交基，称为标准正交基。现以欧氏空间为例，这是三维空间。在欧氏空间内，笛卡儿坐标系为标准正交基，记作ie，在此坐标系内，任一矢量r（位矢）为12233iiixxxxreeeeie是不因坐标位置而改变的ddiiiixxrere当只一个坐标有变化时，例如1x有变化11ddxre此时，1dddrxr，因此，1e为单位矢量。ie都等于1，且彼此正交，故笛卡儿坐标系的基为标准正交基。正交曲线坐标系的基亦为正交基，记作ig，用i表示坐标值，则基矢ig定义之ddiiiirgrg①ig随坐标位置而变化，②1ig，因此ig是正交基，但不是标准正交基。第2章张量分析9例如：在极坐标系内1221212ddd,dddrrrggrgg其中12dd,1,ddirrrggg，因此，2rg，令iiHg（拉梅系数）及1112223331111iiiHHHHbgbgbgbg则ib为正交曲线坐标系的标准化正交基。因此，显然有ijijijijeebb§2.2字母指标法1．字母标号法：（标号：indexorsuffix）点位置：zyx,,（矢径）)3,2,1(,,321ixxxxi矢量：wvu,,（位移）)3,2,1(,,321iuuuuizyxvvv,,（速度）)3,2,1(,,321ivvvvi))3,2,1(,,,,(321iuuuuwvui应力（张量）：xzzxzyyzyxxyzyx,,,,,,,,133132232112332211,,,,,,,,)3,2,1,(jiij应变（张量）：,,,,,,,,xyzxyyxyzzyzxxz112233122123323113,,,,,,,,)3,2,1,(1jij微分符号：)3,2,1()(,,,321iffxfxfxfxfiii)3,2,1,(,,,,21223222222jifxxfxfxfxfij约定：,,,kji英文字母下标表示三维指标，取值1，2，3rddd2dg1dgr第2章张量分析102．求和约定：矢量点积：,ab两矢量分别记为iiba,31122331iiiiiabababababab记为哑标：在表达式式中等项中，某指标重复出现两次，则表示要把该项指标在取值范围内遍历求和，该重复指标称为“哑标”或“伪标”哑标的符号可以任意改变（仅表示求和）kkjjiibababa线性变换：jijijjjjjjxaxxaxxaxaxaxxaxxaxaxaxxaxxaxaxax3333323213132232322121212113132121111上式中，j为哑标表示求和，而i在每项中只出现一次，称为自由指标。自由指标表示，若轮流取该指标取值范围内的任一值，关系式恒成立。自由指标仅表示为轮流换值，因此也可以换标，如，上式可写为jkjkxax（同时换标）注意：①自由指标必须整个表达式换名②同项中出现两对（或多对）不同哑标表示多重求和。如：3131ijjiijjiijxxaxxa③哑标只能成对出现。否则要如求和号或特别指出（就书中标下加“-”）④由iiiicaba不能得出iicb⑤若重复出现的标号不求和，应特别声明§2.3符号ij和ijke1．ij符号（kronecherdelta）定义为jijiij01当当性质：对称性jiij第2章张量分析11iiijijjijilpnpmnlmjjiiijijikkjijaaaa3应用：ijjijiXxx,ijijee()ijjiijijjiijkjkijikjlklaxxaxaaaa2．排列符号（置换符号）ijke（PermutationSymbol）定义：不循环当为逆循环当为顺循环当kjikjikjieijk,,0,,1,,1性质：kijkijikjijkeeee)(下标改变奇次位置时改变正、负号，下标改变偶数次位置时不改变符号。应用：ijijkkeeeeiijjijkijkabeababeeekjiijkkjiijkijaaaeaaaeaaaaaaaaaa321321333231232221131211或3．ijijke~之关系（恒等式）()()()abcacbabc矢量恒等式设kkSSttbCaaebece而()()()()kistStiistkstkiebceabcabcaeeeeijkistkstjeeabce又()()()()kkjjkkjjacbabcacbabcee[()]jsktksjtkstjabce123循环方向第2章张量分析12根据矢量恒等式，有：（矢量恒等则矢量的各分量应相等）tskjtksktjstskistijkcbacbaee)()(由于对任意的tskcba,,上式均成立，则：①jtksktjsistijkee进一步，有：②ktjtkjktjjijtijkee2③!362kkijkijkee§2.4坐标变换3210xxx：老坐标系123(,,)iii3210xxx：新坐标系（123,,)iii坐标轴夹角的方向余弦：cos(,)klkllkklLxxiiii构成一个二阶张量LklklLLii（与一般不同，它是两个坐标系的基矢构成的）称为转移张量（shifter）（总是新坐标在前，老坐标在后）性质：①不是对称张量klklLii而lklkLiiTkllkmnnmLLLLii②L是正交张量TklmlkmLLLLii（*）又新老坐标系基矢量的关系式：klklkllkLLiiii上面第一式两边乘以li则kkllLii上面第二式两边乘以ki则lklkLii则：kmkllmnnklmnlnklmlLLLLLLiiiimlklkmLL代入（*）式，有TkmkmLLiiI证毕张量L的应用：i）矢量的坐标变换：kkkkuuuiui又()klklklkluLiLuii则：lklkuuL或llkkuLu矢量形式为：TuLuuLu3x2x1x1i2i3io3i2i1i3x2x1x第2章张量分析1312ee11ee13eexxxzxyii）二阶张量的坐标变换：klklmnmnAAAiiAii与上同样：klnlkmmnklnlmkmnALLAALLA张量写法为：TTALALALAL§2.5张量的代数运算1．张量的坐标系不变性及其记法客观量都是与坐标系无关（坐标系只是人为的选择工具），如长度是不变的，但测量长度可用不同的工具），（若张量与坐标系选择无关，则张量反映了一个客观量）。a矢量（小写字母）ie笛卡儿坐标系基矢112233112233iiiiCiiaaaaaaaaaaeeeeeeeeb（ib为标准化的正交曲线坐标基矢）则ia与ia与eia有一定的变换关系（即坐标变换公式），通过基矢的变换来导出它们之间的变换关系。ie称为一阶基（由三个矢量构成的基）①矢量可用一个方向来确定，在n方向，应力矢为np在n方向，应力矢为np②但有些量不利用一个方向来确定，如应力：它与两个方向有关，常用的单元体也如此（n和作用面的法矢）。这样引入二阶基：ijee从数字上说，可引入12neeen阶基，n3个基矢与n阶基相关连的量称为n阶张量0n：标量1n：矢量2n：二阶张量（简称张量）张量的记法：nnpnpn第2章张量分析14直接记法（抽象记法）分量记法矩阵记法（0阶、一阶、二阶张量）标量a//矢量aiiae{},{}iaa二阶张量TijijTee[T],][ijT直接记法与坐标系选择无关，只用于描绘公式、不能进行计算。分量中标量称为伪标量，与坐标选择有关，这里能以分量记法变直接记法，反之亦然。2．张量的外乘（并乘），外积（并积），用记号:iijkikijkijkijkijkijkijkaBaBCcaBaBeeeeeeeeeCBaaB不适于交换率，与秩序有关。n个张量外乘，结果仍为张量，新张量的阶数为n个张量阶数之和ijijijijabCababeeC分量的组合有9个，该9个为二阶张量的分量。3．张量的内乘（点乘）内积（点积），用记号“•”）ijijkkijkijkijjiiiBaBaBaCBaeeeeeeeec张量的内乘法结果仍为张量，其阶数为二个张量的阶数之和再减去点乘的次数乘2。ijijklklijklijklijjlililijjlABABABCABABeeeeeeeeeeCiijjccaBbaBb4．张量的缩并第2章张量分析15()ijklijklijklijkliiklk