第2章自由振动分析

高等结构动力学第二章高等结构动力学自由振动分析高等结构动力学§2.1基本动力体系的组成§2.2基本动力体系的运动方程§2.3重力的影响§2.4支座激励的影响------（第一讲）§2.5无阻尼自由振动分析§2.6阻尼自由振动§2.7*广义单自由度体系：刚体集合§2.8*广义单自由度体系：分布柔性§2.9*广义体系的特性的表达式第二章自由振动分析高等结构动力学§2.1基本动力体系的组成图2-1理想化单自由度体系（a）基本元件（b）平衡力系§2.1基本动力体系的组成高等结构动力学§2.2基本动力体系的运动方程直接平衡法平衡表达式()IDSfffpt(2-1)Sfkv(2-2a)IfmvDfcv(2-2b)(2-2c)§2.2基本动力体系的运动方程高等结构动力学虚功分析体系作的总功()0IDSfvfvfvptv()mvcvkvpt(2-4)(2-5)因不为零v§2.2基本动力体系的运动方程单自由度体系的运动方程()mvcvkvpt（2-3）高等结构动力学变分的概念泛函的概念泛函的极值问题典型的变分问题请大家看一本简明变分原理教程《弹性力学中的变分原理》张振清§2.2基本动力体系的运动方程高等结构动力学Hamilton原理的应用12Tmv212VUkv()ncWptvcvv(2-6a*)(2-6b*)(2-6c*)体系动能由弹簧表达的位能力所作功的变分§2.2基本动力体系的运动方程高等结构动力学21()0ttmvcvkvptvdt(2-9*)21()0ttmvvcvvkvvptvdtdvvdt222111ttttttmvvdtmvvmvvdt(2-7*)(2-8*)整理由得到由变分的任意性可得()mvcvkvptv§2.2基本动力体系的运动方程高等结构动力学§2.3重力的影响§2.3重力的影响——静力的影响图2-2重力对单自由度体系平衡的影响高等结构动力学()mvcvkvptW(2-6)stvvSstfkvkkv()stmvcvkkvptW(2-7)(2-8)(2-9)弹簧力得stkW由()mvcvkvpt(2-10)()mvcvkvpt(2-11)总挠度、应力即为动力结果与静力结果的和§2.3重力的影响高等结构动力学图2-3支座激励对单自由度体系平衡的影响（a）体系的运动;(b)平衡力系§2.4支座激励的影响§2.4支座激励的影响高等结构动力学体系平衡0IDSffftIfmv0tmvcvkv(2-12)(2-13)(2-14)惯性力得tgvvv0gmvmvcvkv()()geffmvcvkvmvtpt(2-15)(2-16)(2-17)质量总位移得§2.4支座激励的影响高等结构动力学tttggmvcvkvcvkv代入tgvvv0mvcvkv()tttggeffmvcvkvcvkvpt支座激励的第二种列式得地震测量为加速度，速度和位移需要积分一次和两次才可获得，少用！将质量总位移(2-18)§2.4支座激励的影响高等结构动力学§2.5无阻尼自由振动分析1运动方程的解2无阻尼自由振动§2.5无阻尼自由振动分析高等结构动力学1运动方程的解单自由度运动方程的普遍形式****mvtcvtkvtpt（2-19）§2.5无阻尼自由振动分析高等结构动力学解的性质数学上：给定边界条件下二次微分方程的解；力学上：荷载与初始条件下结构的反应。§2.5无阻尼自由振动分析高等结构动力学自由振动0mvtcvtkvtstvtGe(2-21)解的形式(2-20)式中G是任意的复常数，表示指数函数。在后面的讨论中将动力荷载和反应用复数表达往往是方便的，因此现在简要地回顾复数的概念。exp()ststeRIGGiG或exp()GGicosRGGGGsinIiGiGRe图2-4复平面中的复常数表示法§2.5无阻尼自由振动分析高等结构动力学首先讨论复常数G，它可以如图2-4所示用复平面的一个矢量来表示。此图表明矢量可用实、虚部cartesian分量来表示。（2-22a）也可以在极坐标中用绝对值（即矢量的长度）和自实轴逆时针转过的角度来表示：（2-22b）另外，由如图所示的三角关系，显然式（2-22a）可改写为（2-22c）利用这个表达式并注意到及，容易证明一个矢量和i相乘，是该矢量在复平面中逆时针旋转弧度和90度的结果。同样，乘以-i可以看成是顺时针旋转90度的结果。现在令式（2-22c）和式（2-22b）相等，同样注意到负的虚部分量对应于负的矢量角，这可得到用于三角函数与指数函数变换的Euler对：RIGGiGGcossinGGiGcossin(2)sincos(2)2exp()GGi§2.5无阻尼自由振动分析高等结构动力学此外，联立求解式（2-23a）,可得Euler方程的逆形式：exp()cossinexp()cossiniiii1cos[exp()exp()]2sin[exp()exp()]2iiiii20stmscskGe2km(2-24)整理得§2.5无阻尼自由振动分析(2-23)高等结构动力学220cssm(2-25)S的值依赖于阻尼c的值§2.5无阻尼自由振动分析高等结构动力学微分方程的解法复数解法三角函数解法§2.5无阻尼自由振动分析高等结构动力学12ititvtGeGe(2-26)(2-27)变换为cossinitetitsincosvtAtBt(2-9*)(2-31)引入由0vB0vA0sin0cosvvttvt(2-33)2无阻尼自由振动C＝0si解得§2.5无阻尼自由振动分析高等结构动力学图2-7无阻尼自由振动反应图2-8自由振动旋转矢量表示§2.5无阻尼自由振动分析高等结构动力学频率2f21Tf周期也可表为cosvtt2200vv10tan0vv(2-34)(2-35)(2-36)(2-37)(2-38)§2.5无阻尼自由振动分析高等结构动力学能量振动的过程中能量是如何变化的?应如何理解参数：Tfω的力学意义和数学意义？§2.5无阻尼自由振动分析高等结构动力学§2.6阻尼自由振动2222ccsmm临界阻尼条件临界阻尼2ccm(2-40)(2-39)12tvtGGte001ttvvtvte(2-42)(2-43)具有临界阻尼的反应代入条件此时式（2-39）的两根相等，也即122ccssm(2-41)§2.6阻尼自由振动高等结构动力学图2-9具有临界阻尼的自由振动反应§2.6阻尼自由振动高等结构动力学低阻尼体系阻尼比2ccccm(2-44)22sDsi21D阻尼振动频率反应方程的复数形式1212DDDDtittititittvtGeGeeGeGesincostDDvteAtBt(2-48)三角函数形式(2-45)(2-46)(2-47)§2.6阻尼自由振动高等结构动力学图2-10频率比与阻尼比之间的关系图2-11低阻尼体系自由振动反应§2.6阻尼自由振动高等结构动力学由初始条件得00sin0costDDDvvvtetvt(2-49)旋转矢量表示costDvtet(2-50)1222000Dvvv(2-51)§2.6阻尼自由振动高等结构动力学100tan0Dvvv对数衰减率212ln221nnDvv当较小时22(2)122!e(3-34*)(2-52)§2.6阻尼自由振动高等结构动力学21nnveev当较小时112nnnvvv当非常小时2nnmnmvvmv(2-59)一个小例题！P24(2-56)(2-57)§2.6阻尼自由振动高等结构动力学超阻尼体系2ˆ1s2ˆ1(2-60)当时1反应方程ˆˆsinhcoshtvteAtBt(2-62)(2-61)§2.6阻尼自由振动高等结构动力学将广义单自由度结构区分为二类：（1）刚体的集合，在这种集合中弹性变形完全限定于在局部的弹簧元件中发生；（2）体系具有分布弹性，在这个体系里变形可以在整个结构上或它的某些元件上连续。§2.7*广义单自由度体系：刚体集合§2.7*广义单自由度体系：刚体集合高等结构动力学均质杆及均质板的质量及质量惯性矩§2.7*广义单自由度体系：刚体集合高等结构动力学2.8*广义单自由度体系：分布柔性假定这个体系只能按唯一的形状挠屈(,)vxtxZt(,)vxtxZt2'01(,)2LTmxvxtdx(2-23*)(2-24*)(2-25*)形状函数塔动能§2.8*广义单自由度体系：分布柔性高等结构动力学201(,)2LtVEIxvxtdx2'01(,)2Letvxtdx2'0(,)2LNNVvxtdx(2-26*)(2-27*)(2-28*)弯曲变形位能塔顶竖向位移分量轴向力N的位能Hamilton原理表示为210ttTVdt综上得2100''0,,(,)0tLLtttLmxvxtvdxEIxvxtvxdxNvxtvdxdt§2.8*广义单自由度体系：分布柔性高等结构动力学存在下列关系tgvvvvZvZtvvvZ''vZvZ(2-30*)得2120022'00()()()0tLLgtLLZZmxdxZvtmxdxZZEIxdxNZZdxdt(2-31*)''vZ§2.8*广义单自由度体系：分布柔性高等结构动力学积分21****()0tgefftmZkZkZptZdt(2-32*)*20Lmmxdx广义质量*20()LkEIxdx＝＝广义刚度2*'0LgkNdx＝广义几何刚度*0()()Leffgptvmxdx＝广义有效荷载(2-33*)§2.8*广义单自由度体系：分布柔性高等结构动力学运动方程***()()()effmZtkZtpt＝***gkkk＝－(2-34*)(2-35*)体系联合广义刚度§2.8*广义单自由度体系：分布柔性高等结构动力学单自由度临界压屈荷载Rayleigh法（近似）2***2'00()0LLgcrkkkEIxdxNdx＝－＝－202'0()LcrLEIxdxNdx（2-36*）为什么是近似的？近似程度取决于什么？§2.8*广义单自由度体系：分布柔性高等结构动力学§2.9*广义体系的特性的表达式****()()()()mZtcZtkZtpt任意单自由度体系得运动方程可表示为位移用广义坐标表示,()vxtxZt则广义质量为2*2200LiiiimmxxdxmI2*20Liiccxxdxc(2-37*)(2-38*)广义阻尼§