第2章质点运动学.

上页下页结束返回第二章质点运动学第二章质点运动学§2.1质点的运动学方程§2.1.1质点的位置矢量与运动方程§2.1.2位移——位置矢量的增量上页下页结束返回第二章质点运动学第二章质点运动学§2.1质点的运动学方程§2.1.1质点的位置矢量与运动方程质点——具有一定质量，不计其形状与大小的物体,是理想模型.可以将物体简化为质点的两种情况：①物体不变形,只作平动.②物体本身线度和它活动范围相比小得很多.上页下页结束返回第二章质点运动学建立直角坐标系O–xyz，令原点与参考点重合，则：kjirzyx.,,,,轴方向的单位矢量分别为zyxkjix,y,z是质点的位置坐标.位置矢量的大小为：222zyxrr位置矢量——由原点(参考点)引向质点位置的有向线段.如图：1.位置矢量.表示用rpozxyOPr上页下页结束返回第二章质点运动学位矢方向:rzcosrxcosrycos1coscoscos2222.运动方程ktzjtyitxr)()()(建直角坐标系O–xyz,令原点与参考点重合，则：运动方程——质点的位置随时间变化的函数方程)(trr上页下页结束返回第二章质点运动学标量式x=x(t)y=y(t)z=z(t)等2021attvx轨迹方程——质点在运动过程中描出的曲线方程.06πsin26πcos2ztytx如：在运动方程中消去t就是轨迹方程，0422zyxy=y(x)3.轨迹方程如上页下页结束返回第二章质点运动学§2.1.2位移——位置矢量的增量1.位移位移——是由质点初位置引向末位置的矢量.)()(trttrr在直角坐标系中坐标分解式：kzjyixryxP)(ttrQOr()rt动画演示上页下页结束返回第二章质点运动学路程——质点经过的路径的总长度.如图：2.路程位移与路程不同，前者是矢量，后者是标量.321SSS[问题]二者何时相同？同rQrPprQrO2s1s3s上页下页结束返回第二章质点运动学[例题1]一质点在xOy平面内依照x=t2的规律沿曲线y=x3/320运动,求质点从第2秒末到第4秒末的位移(式中t的单位为s；x，y的单位为cm).[解])()(trttrrji6.1212(cm)jyyixx)()(1212])()([])()([jtyitxjttyittxjtyttyitxttx)]()([)]()([jttitt)320320()(61622122ji)32023204()24(6622上页下页结束返回第二章质点运动学cm4.17cm)6.12(1222r与水平轴夹角4.46ΔΔarctanxy＝[问题]位移与参考系的选择有关吗？上页下页结束返回第二章质点运动学§2.2瞬时速度矢量与瞬时加速度矢量§2.2.1平均速度与瞬时速度§2.2.2平均加速度与瞬时加速度上页下页结束返回第二章质点运动学§2.2瞬时速度矢量与瞬时加速度矢量§2.2.1平均速度与瞬时速度trvtrv__为路程stsv01.平均速度相同方向与r,__是矢量v平均速率OPQ)(tr)(ttr定义大小为.于时间的不均匀性不能反映位移变化相对vr上页下页结束返回第二章质点运动学2.瞬时速度(简称速度)vvt0lim是矢量，v方向：质点运动路径的切向.trvvddtrt0limtrdd瞬时速度反映质点在某时或某位置的运动状态.定义大小：P1rQvrd4rQ3rQ2rQ动画演示上页下页结束返回第二章质点运动学瞬时速率(简称速率)lim0trvtddlim0tstst是路程sktzjtyitxkvjvivvzyxdddddd在直角坐标系中的分解式vvzvcosvvxvcosvvyvcos222||zyxvvvvv上页下页结束返回第二章质点运动学ktjtrv1015ddktjtir251510[例题1]某质点的运动学方程为求:t=0,1s时质点的速度矢量.22)10(15tvv[解](单位m,s)yzO)(tv)0(v(单位m/s,s)2100225tm/s15vm/s135vvtvvz10cos00cosvvvxvvvy15cost=0时,t=1s时,0cos,1cos,0cos555.0132cos,832.0133cos,0cos上页下页结束返回第二章质点运动学)(ttvb1.平均加速度tva.方向不同与vvv方向同注意:)(tva)(ttvbv①说到平均加速度，一定要明确是哪一段时间或哪一段位移中的平均加速度.②一般§2.2.2平均加速度与瞬时加速度定义上页下页结束返回第二章质点运动学2.瞬时加速度（简称加速度）tvtvatdddlim0.,方向不同与一般是矢量vaa22dd)dd(ddtrtrt定义ktvjtvitvatyxddddddkajaiazyxktzjtyitx222222dddddd222||zyxaaaaa直角坐标中aazacosaaxacosaayacos上页下页结束返回第二章质点运动学ktjtir251510[例题2]某质点的运动学方程为求质点的加速度矢量.(单位m,s)[解]tvaddktr10dd22a=10m/s2方向沿z轴.上页下页结束返回第二章质点运动学§2.3质点直线运动——从坐标到速度和加速度§2.3.1运动学方程§2.3.2速度和加速度§2.3.3匀速与匀变速直线运动§2.3.4宇宙年龄和大小的估计·测量重力加速度上页下页结束返回第二章质点运动学§2.3质点直线运动——从坐标到速度和加速度§2.3.1运动学方程以质点运动直线为坐标轴，则质点运动学方程为x=x(t)OxPQx(t)x(t+t)itxtrr)()(标量式btax2ctbtaxtxxe0上页下页结束返回第二章质点运动学瞬时速度§2.3.2速度和加速度txvvxdd瞬时加速度22ddddtxtvaaxx瞬时速率txvddtOxPv-t曲线某点切线的斜率等于相应时刻的加速度.tOvPQx-t曲线某点切线的斜率等于相应时刻的速度.上页下页结束返回第二章质点运动学tOx12)(txxtOv21)(tvvxx1tan2tantOa)(taaxx1tan2tan可由质点的x-t图画出质点的vx-t图，根据质点vx-t曲线画出ax-t曲线.上页下页结束返回第二章质点运动学§2.3.3匀速与匀变速直线运动已知x=x(t)则txvxdd同理tvaxxddtavtvxx0)(20021)(tatvxtxxx两式消去t)(20202xxavvxxx设求导得其中，x0,v0x,ax为常数匀速vx=常数匀变速ax=常数上页下页结束返回第二章质点运动学[例题1]一质点沿x轴作直线运动，其位置与时间的关系为x=10+8t–4t2(单位m,s),求：（1）质点在第一秒第二秒内的平均速度.（2）质点在t=0、1、2s时的速度.[解]时刻）（1t2)(4)(810)(ttttxxtt时刻2)(488ttttxt内位移为tttxvx48824810ttx上页下页结束返回第二章质点运动学sm4m/s)488(21vsm4m/s)408(10v轴正向相反与xvm/s82ttxvx88dd2）（轴正向相同与xvm/s800s11此时转向vt方向与x轴正向相同.轴正向相反方向与x上页下页结束返回第二章质点运动学§2.3.4宇宙年龄和大小的估计·测量重力加速度[例题1]根据哈勃定律估计宇宙年龄和大小.rHv0[解]宇宙始于大爆炸，正在膨胀.由哈勃定律得100/Hvrtkm,1009.3pc10Mpc1196因得取),Mpckm/(s800H亿年120a102.1s109.310170t设宇宙以光速膨胀,则宇宙半径不会超过Mpc108.3km102.1km109.31033231750ctR实际上,由于万有引力的牵制,宇宙膨胀是减速的.上页下页结束返回第二章质点运动学[例题2]将真空长直管沿竖直方向放置.自其中O点向上抛小球又落至原处所用的时间为t2.在小球运动过程中经过比O点高h处,小球离开h处至又回到h处所用时间为t1.现测得t1、t2和h，试决定重力加速度g.[解]tOy1t2th建坐标系如图,20021gttvyyy测t2时，y0=0，v0y=v2，y=0，有22222100gttv上页下页结束返回第二章质点运动学又ghvv22122以上三式联立得21228tthg测t1时小球经h向上的速度为v0y=v1，有211121gttvhh上页下页结束返回第二章质点运动学[例题3]云室、气泡室和发光室是记录带电粒子径迹的仪器，它们是原子核物理和粒子物理研究的基本设备.在云室中,气体含有过饱和蒸气和酒精汽.当快速带电粒子射入云室时，在它所经过的路径上将产生离子，使过饱和蒸气以离子为核心凝结成液滴，从而可以用照相的办法记录带电粒子径迹.当云室中充以不同的气体时，带电粒子的运动方程具有不同的形式.设某云室中作直线运动的带电粒子的运动方程为tCCxe21并在带电离子进入云室时开始计时，试描述该离子的运动情况.上页下页结束返回第二章质点运动学[解]tCCxe21tCtxvedd2vCtvatedd22离子的初始状态为210CCx20Cv220Ca离子的最终状态为：1Cx0v0a上页下页结束返回第二章质点运动学§2.4质点直线运动——从加速度到速度和坐标§2.4.1从速度到运动学方程和位移§2.4.2已知加速度求速度和运动学方程上页下页结束返回第二章质点运动学§2.4质点直线运动——从加速度到速度和坐标§2.4.1从速度到运动学方程和位移已知vx求x=x(t)和xtvxddtxvxddCtxttvxx)(d)(C为任意常数，由初始条件确定将初始条件t=t0x=x0代入(2.4.1)式(2.4.1)上页下页结束返回第二章质点运动学t0t得)(00txxC)()(00txtxxx根据牛顿-莱布尼茨公式，有ttxttvtxtx0)d()()(0所以ttxttvxx0)d(0即(2.4.3)质点位移为ttxttvxxx0)d(Δ0(2.4.4)xOt上页下页结束返回第二章质点运动学初始条件给定，运动方程便唯一确定.Ox0t0xtxtxΔ上页下页结束返回第二章质点运动学§2.4.2已知加速度求速度和运动学方程tavxxdd已知ax求vx=vx(t)和x(t)tvaxddx1)(d)(CtvttavxxxC1为任意常数，由速度的初始条件确定将初始条件t=t0v=v0x代入(2.4.5)式(2.4.5)得)(001tvvCxx)()(00tvtvvvxxxx即上页下页结束返回第二章质点运动学根据牛顿-莱布尼茨公式，有ttxxxttavv0)d(0(2.4.7)ttxttvxx0)d(0由位置初始条件t=t0x=x0求运动学方程若a是常量(匀变速直线运动)，得tavtvxxx0