第33节minimax估计

一、minimax决策函数二、计算minimax决策函数步骤三、利用贝叶斯估计计算最小最大决策函数第3.3节minimax估计一、minimax决策函数*D给定一个统计决策问题，设是由全体决策函数组成的类，如果存在一个决策函数12****(,,,),,nddxxxdD使得对任意一个决策在贝叶斯决策中，通常以风险函数最小为衡量标准。但有的时候人们处于保守考虑，决策时考虑最坏情形，即风险最大时寻找最佳策略－最小最大决策.定义3.1012(,,,)nddxxx，总有**max(,)max(,),RdRddD*d则称为统计决策问题的最小最大决策函数。注函数达不到最大值时，可以理解为上确界.如果我们讨论的统计决策问题是一个估计问题，则由定义3.10得到的决策函数为最小最大估计量.下面介绍寻求最小最大决策函数的一般步骤二、计算minimax决策函数的步骤12*(,,,)max(,)nDdxxxRd1、对中每个决策函数，求出其风险函在上的最大风险值。计算minimax决策函数的步骤：2、在所有最大风险值中选取相对最小值，此值对应的决策函数便是最小最大决策函数。地质学家要根据某地区的底层结构来判断该地是否蕴藏有石油，地层结构总是0,1两种状之一，记该地层无油为0，记该地层有油为1，已知它们的分布规律如下表所示0.70.30.40.610x01例1(p102例3.17)设土地所有者有三种决策1{}a自己投资钻探石油2{}a出卖土地所有权3{}a该地区开辟旅游景点这些决策对应的损失函数为51006112a(,)La011a2a3a现在选用9个决策函数101x11()dx21()dx31()dx41()dx51()dx61()dx71()dx81()dx91()dx1a1a1a1a2a2a2a3a3a3a2a3a1a2a3a3a2a1a计算决策函数对应的风险函数，以第四个决策函数为例000401102110(,)(,)()(,)()RdLaPXLaPX120410654...1400710033(,)..Rd风险函数及其对应的最大值表68.58.46.5105.49.67.91258.51.56.51033.570648.4315.49.67.9121d2d3d4d5d6d7d8d9d()iidx0(,)iRd1(,)iRdmax(,)iRd4211minimax.0,.daa由最小最大决策函数的定义可知，为统计决策问题的决策函数即样本为时，选择样本为时，选择三、利用贝叶斯估计计算最小最大决策函数1212(,,,)(,,,)BnBndxxxdxxx的风险函数为一个常数，那么必定是这个统计决策问题的一个最小最大.决策函数定理3.8给定一个统计决策问题，如果存在某个先验分布，使得在这个先验分布下的贝叶斯决策函数证12()max(,)(,,,)MBnRdRddxxx记，且设的风险函数为(,),,BRdC因而它的贝叶斯风险为().BBRdC12(,,,)Bndxxx假设不是最小最大决策函数，12(,,,)ndxxx那么必定有一个决策函数，使得()()MMBRdRdC12(,,,)ndxxx于是，的风险函数满足(,)(),,MRdRdC(,)(),MRdRdC对在给定的先验分布下求期望得()((,))(),BBBRdERdCRd12(,,,)Bndxxx这表明不可能是这个先验分布下的12(,,,)minimax.Bndxxx贝叶斯决策函数，从而产生矛盾，因此必定是一个决策函数例2(p104例3.18)设总体X服从两点分布B(1,p),其中参数p未知，而p在[0,1]上服从分布，12(,,,)nXXXX来自总体，损失函数为平方损失，则参数p的贝叶斯估计为p的minimax估计量。22(,)nn解平方损失下的贝叶斯估计为：*()(|)(|)ddxEpXxphpxp而10(|)π()(|)π()(|)()(|)π()dqxppqxpphpxmxqxppp11111011()()()()dnniiiinniiiixnxxnxppppppp11112211122()(,)nniiiinnxnxnniiiippnnxnx1122|(,)nniiiinnpxxnx显然*ˆ()(|)dpdxphpxp111221011122()d(,)nniiiinnxnxnniiiipppnnxnx1111121222122(,)()(,)nniiiinniiiinnxnxnXnnnxnxˆp的风险函数为22121ˆ(,)(-)()nXRppEpn221212121()()()()nXnXDEpnn2241214121()()()()nppnppnnn2141()n（为常数）因而其为minimax估计.0d分别为相应的贝叶斯估计列和贝叶斯风险列，若.函数定理3.9给定一个贝叶斯决策问题，设为参数空间上的一个先验分布列，证0d设不是的最小最大估计，则存在这样的一个{():1}kk{:1},{():1}kkdkRdk0(,)Rd是的一个估计，且它的风险函数满足决策0max(,)lim()knRdRd0minimax.d则为的估计d估计，使得0max(,)max(,)RdRdkd是贝叶斯估计，因而(()(,)πmax(,)kkRdRdRdRd)()d由此可以得到01(max(,),kRdRdk)0lim(max(,)kkRdRd则)显然这与假设的条件矛盾，因此0.d是的最小最大估计定理3.10给定一个贝叶斯决策问题，证对任意的，有lim()knRd0minimax.d则为的估计00max(,)(,)lim()knRdRdRd若的一个00(,)dRd估计的风险函数在上为常数，且存在一个先{():1}kkkd验分布列，使得相应的贝叶斯估计的贝叶斯风险满足049..d显然满足了定理，因而是的最小最大估计例3(p106例3.19)12()TnXXXX设,,,为来自正态1(,)N总体的一个样本，取参数的先验分布为正态20(,),N分布其中已知，损失函数取为100,||,(,)0,||,dLdd其对应的参数的贝叶斯估计为121111()()()niidXXnn11310..nniiXXn试用定理证明是的最小最大估计证在对应损失函数下，参数的贝叶斯估计为211()()()niidXXn21{():1}{(0,):},kiikN先验分布列选取为{(),1,2,}.idXi相应的贝叶斯估计列为1222111()((1),(1))idXNnnn又由于d则的风险函数为(,)(||)1()RdPdPd2222112([(1)])([(1)])nnnnnn并且有lim(,)22()Rdn1(,)2,iiRd对序列，有于是利用勒贝格控制收敛定理知lim()lim((,)lim(,)iiiiiiRdERdERd(22()2(1()EnEn310..nX因而由定理可知，是的最小最大估计ThankYou!