第3章信号分析及处理

62第3章信号分析及处理3．1知识要点3.1.1数字信号处理基础1.数字信号处理的基本步骤有哪些？（1）信号的预处理：是指在数字处理之前，把信号变成适于数字处理的形式，以减小数字处理的困难。（2）A／D转换：是将预处理以后的模拟信号经采样、量化并转换为二进制数的过程。（3）分析计算：对采集到的数字信号进行分析和计算，可用数字运算器件组成信号处理器完成，也可用通用计算机。（4）结果显示：一般采用数据和图形显示结果。2.什么是时域采样？采样定理的内容是什么？采样相当于在连续信号上“摘取”一系列离散的瞬时值，是利用采样脉冲序列从连续时间信号中抽取一系列离散样值，使之成为采样信号的过程，是把连续时间信号变成离散时间序列的过程。为了保证采样后的信号能真实地保留原始模拟信号的信息，使采样后的信号仍可准确的恢复其原始信号，采样信号的频率必须至少为原信号中最高频率成分的2倍，这一基本法则，称为采样定理。3.什么是量化和量化误差？把采样信号经过舍入或截尾的方法变为只有有限个有效数字的数字信号，即从一组有限个离散电平中取一个来近似代表采样点的信号实际幅值电平，这一过程称为量化。由量化引起的信号量化电平与信号实际电平之间的差值称为量化误差。4.什么是混叠、截断和泄漏？由于采样信号频谱发生变化，而出现高、低频成分发生混淆的一种现象叫混叠。截断就是将信号乘以时域的有限宽矩形窗函数。截断后信号的能量在频率轴分布扩展到现象称为泄漏。5.什么是窗函数？常用的窗函数有哪些？各有何特点？如何选择？为了减少频谱能量泄漏，可采用不同的截取函数对信号进行截断，截断函数称为窗函数。常用的窗函数有矩形窗、三角窗、汉宁（Hanning）窗、海明（Hamming）窗、高斯窗。(1)矩形窗：优点是主瓣比较集中，缺点是旁瓣较高，并有负旁瓣，导致变换中带进了高频干扰和泄漏，甚至出现负谱现象。(2)三角窗：三角窗与矩形窗比较，主瓣宽约等于矩形窗的两倍，但旁瓣小，而且无负旁瓣。(3)汉宁（Hanning）窗：汉宁窗主瓣加宽并降低，旁瓣则显著减小且衰减速度也较快，从减小泄漏观点出发，汉宁窗优于矩形窗，但汉宁窗主瓣加宽，相当于分析带宽加宽，频63率分辨力下降。(4)海明（Hamming）窗：海明窗与汉宁窗都是余弦窗，只是加权系数不同，海明窗加权的系数能使旁瓣达到更小且比汉宁窗衰减速度慢。(5)高斯窗：高斯窗谱无负的旁瓣，主瓣较宽，频率分辨力低，常被用来截断非周期信号。对于窗函数的选择，应考虑被分析信号的性质与处理要求。如果仅要求精确读出主瓣频率，而不考虑幅值精度，则可选用主瓣宽度比较窄而便于分辨的矩形窗，例如测量物体的自振频率等；如果分析窄带信号，且有较强的干扰噪声，则应选用旁瓣幅度小的窗函数，如汉宁窗、三角窗等；对于随时间按指数衰减的函数，可采用指数窗来提高信噪比。6.什么是频域采样、时域周期延拓和栅栏效应？在频域中用脉冲序列乘以信号的频谱函数过程称为频域采样。在频域中用脉冲序列乘信号的频谱函数在时域中相当于将信号与一脉冲序列做卷积，结果是将时域信号平移至各脉冲位置重新构图，从而相当于在时域中将窗内的信号波形在窗外进行周期延拓。对一信号进行采样，实质上就是“摘取”采样点上的对应函数值，其效果有如透过栅栏的缝隙观看外景一样，只有落在缝隙前的少数景象被看到，其余景象被栅栏挡住视为零，这种现象被称为栅栏效应。3.1.2相关分析1.什么叫相关、相关系数和相关函数？相关是指变量之间的线性关系。当两个随机变量之间具有某种关系时，随着某一个变量数值的确定，另一个变量却可能取许多不同的值，但取值有一定的概率统计规律，这时称两个随机变量存在着相关关系。描述变量x，y之间线性相关程度叫相关系数，用式（3-1）表示：yxyxxyyxE)])([(（3-1）式中：E为数学期望；μx为随机变量x的均值,μx=E[x]；μy为随机变量y的均值,μy=E[y]；σx,σy为随机变量x、y的标准差。变量)(tx和变量)(ty在不同时刻的乘积平均来描述如式（3-2）所示称为相关函数。TTxydttytxTR0)()(1lim）（（3-2）2.什么叫自相关函数？有何特点？)(tx是各态历经随机过程的一个样本函数，)(tx是)(tx时移后的样本，这定义自相关函数为）（xR如式（3-3）所示：TTxdttxtxTR0)()(1lim）（（3-3）自相关函数性质有：64（1））（xR为实偶函数。（2）时延值不同，）（xR不同，但0时，）（xR的值最大，并等于信号的均方值。（3））（xR值的取值范围为2222)(xxxxxR。（4）但时，)(tx和)(tx之间不存在联系。（5）但信号)(tx为周期函数时，自相关函数）（xR也是同频率的周期函数。3.什么叫互相关函数？有何特点？两个各态历经过程的随机信号)(tx和)(ty的互相关函数）（xyR定义如式（3-2）所示。互相关函数具有下列性质：（1）互相关函数是可正可负实函数。（2）互相关函数是非奇非偶函数。（3）互相关函数的峰值不在0处。（4）互相关函数的取值范围为yxyxxyyxyxR)(。（5）两个统计独立的随机信号，但均值为零时，这0）（xyR。（6）两个不同频率的周期信号的互相关函数为零。3.1.3功率谱分析1.什么叫自功率谱密度函数和互功率谱密度函数？随机信号的自功率谱密度函数（自谱）是该随机信号自相关函数的傅立叶变换，记为)(fSx，与自相关函数组成一对傅立叶变换对如式（3-4）所示，式（3-4）也成为微纳-辛钦公式。dfefSRdeRfSfjxxfjxx22)()()()(（3-4）随机信号的互功率谱密度函数（互谱）是该随机信号互相关函数的傅立叶变换，记为)(fSxy，与互相关函数组成一对傅立叶变换对，如式（3-5）所示。dfefSRdeRfSfjxyxyfjxyxy22)()()()(（3-5）2.巴塞伐尔定理的内容是什么？巴塞伐尔定理内容为在时域中计算的信号总能量,等于在频域中计算的信号总能量，如式（3-6）所示。dffXdttx22)()(（3-6）653.什么叫相干函数？用来评价测试系统的输入与输出信号之间的因果关系的函数叫相干函数)(2fxy，如式（3-7）所示。)()()()(22fSfSfSfyxxyxy1)(02fxy（3-7）3．2例题解析【例3.1】对信号)10.2sin()(1tAtx和)50.2sin()(2tAtx进行采样处理，采样间隔Ts=1/40，即采样频率fs=40Hz。请比较两信号采样后的离散序列的状态。解：因采样频率fs=40Hz，则t=nTs，所以1sss10()sin(2)sin()402xnTAnTAnT2ssss505()sin(2)sin()sin()4022xnTAnTAnTAnT图3.1)(1tx和)(2tx时域波形图经采样后，两信号的时域波形如图3.1所示，在采样点上两者的瞬时值(图3.1中的“×”点)完全相同，即获得了相同的数学序列。这样，从采样结果(数字序列)上看，就不能分辨出数字序列来自于x1(t)还是x2(t)，不同频率的信号x1(t)和x2(t)的采样结果的混叠，造成了“频率混淆”现象。【例3.2】对一模拟信号作数字化频谱分析，要求分析的频率范围是：0～200Hz，频率分辨率是Hzf1。求采样频率cf和采样点数N。解：为了防止混叠，先对信号作低通滤波。截止频率应定为所要求分析的频率范围的上界，即Hzfs200，此外，根据采用定理，采样频率应为csff2，考虑到滤波器有过度带，在实际工作中，sf一般取csff)4~3(，现取Hzffcs60020033。根据频率分辨率的要求，可确定采样点数N为：60016001ffftNst为采样间隔，为了便于做FFT运算，采样点数N取为1024。66解析：若抗混低通滤波器有较陡的过渡带，这采样频率可取低些，例如取csff5.2，则Hzfc5002005.2，这样N只需取512便可满足频率分辨率的要求，从而大大节省后续的计算时间和存储空间。【例3.3】求正弦函数)sin()(0txtx的自相关函数。解：具有圆频率为、幅值为0x、初始相位为的正弦函数，是一个零均值的各态历经随机过程。其平均值可用一个周期0T的平均值计算，其自相关函数为：dtttxTdttxtxTRTTTx002000])(sin[)sin(1)()(1lim）（/20T，令t，则/ddt，所以cos2)sin(sin2)sin(sin2202020220xdxdxRx）（解析：周期函数的自相关函数仍为同频率的周期函数，其幅值与原周期信号的幅值有关，而丢失了原信号的相位信息。【例3.4】求两个同频率的正弦函数)sin()(0txtx，)sin()(0tyty的互相关函数)(xyR。解：因为信号是周期函数，可以用一个共同周期内的平均值代替其整个历程的平均值，故：TTxydttytxTR0)()(1lim）（])(sin[)sin(100000tytxTT)cos(2100yx解析：互相关函数不仅保留了原信号幅值的信息，而且保留了相位差的信息。【例3.5】已知信号的自相关函数002cos)(fxRx，试确定该信号的均方值2x、均方根值rmsx和自功率谱)(fSx。解：02)0(xRxx，0rmsx，dteRfSfjxx2)()()]()([2)(000ffffxfSx其自功率谱图是两个强度为2/0x的脉冲。【例3.6】已知两个随机信号)(tx和)(ty联合平稳，其互相关函数为：02cos)()(ueRxy，求其互功率谱)(xyS及)(yxS。解：deRSjxyxy)()(67deeeedeejjjj)(21cos0002002deejjjj][21)2(0)2(0020200)2(2)2121(21jjjjjj根据互谱性质有：202)2(2)()(jjSSxyyx【例3.7】一线性系统，其传递函数为TssH11)(，当输入信号为tfxtx002sin)(时，求：（1）)(fSy；（2）)(yR；（3）)(fSxy；（4）)(fRxy。解：(1)线性系统的输入、输出关系为：)()()(2fSfHfSxydfefSRfjyy2)()()()()(fSfHfSxxy已知tfxtx002sin)(，则0202cos2)()()(fxdttxtxRx)(4)()(0202ffxdeRfSfjx由此可得：)()2(11)()()(2202fSTffSfHfSxxy)(.4.)2(1102020ffxTf(2)求)(yR有两种方法。其一是利用)(fSy的傅立叶逆变换；其二是先求出)(ty，再求)(yR，其三是直接利用公式)()()(2xyRfHR求。下面用第一种方法。dfeffxTfdfefSRfjfjyy2020202)(.4.)2(11)()()2cos()2(11.202020fTfx（3）由)()()(fSfHfSxxy可得：)(.4.211)(0200ffxTfjfSxy68(4))(xyR可